河南省八校届高三上学期第一次联考数学理试题 扫描版含答案.docx
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河南省八校届高三上学期第一次联考数学理试题扫描版含答案
河南八校2014-2015学年上学期第二次联考
高三数学(理)试题
参考答案
一、选择题DCDCDDCCBBCA
二、填空题
13、14、1015、16、①④
17.解:
(Ⅰ)由得:
,
,又……………6分
(Ⅱ)由余弦定理得:
,
又,,
…………12分
18.解:
依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i=0,1,2,3,4),则
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率3分
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则,
由于与互斥,故
所以,这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为………7分
(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.由于与互斥,与互斥,故
,
。
所以ξ的分布列是
ξ
0
2
4
P
随机变量ξ的数学期望12分
19.解
(1)证明:
如图,取的中点,连接,因,则
由平面侧面,且平面侧面,
得,又平面,所以.
因为三棱柱是直三棱柱,则,所以.
又,从而侧面,又侧面,故.-------6分
(2)解法一:
连接,由
(1)可知,则是在内的射影
∴即为直线与所成的角,则在等腰直角中,,且点是中点,∴,且,
∴过点A作于点,连,由
(1)知,则,且∴即为二面角的一个平面角且直角中:
,又,∴,
且二面角为锐二面角∴,即二面角的大小为----12分
解法二(向量法):
由
(1)知且,所以以点为原点,以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示,且设,则,,,,,,,
设平面的一个法向量,由,得:
令,得,则设直线与所成的角为,则得,解得,即
又设平面的一个法向量为,同理可得,设锐二面角的大小为,则
,且,得
∴锐二面角的大小为.------------12分
20.解:
(1)设椭圆的方程为,则.由,得
∴椭圆C的方程为.……2分
(2)()解:
设,直线的方程为,代入,
得由,解得
由韦达定理得.四边形的面积
∴当,.……4分
()解:
当,则、的斜率之和为0,设直线的斜率为
则的斜率为,的直线方程为由…………6分
(1)代入
(2)整理得
同理的直线方程为,可得
∴
所以的斜率为定值.…………12分
21、解:
(1)的定义域为.
当时,,故在单调递增;
当时,,故在单调递减;
当时,令,解得
即时,;时,;
故在单调递增,在单调递减;…………(6分)
(2)不妨设,而,由
(1)知在单调递减,从而对任意,恒有…..(8分)
令,则等价于在单调递减,
即,从而,
故的取值范围为…………….(12分)
另解:
设,
则
当,。
∴∴
22、
(1)连接,因为,所以.
为半圆的切线,∴.∵,.
.平分.5分
(2)连接,由
(1)得,∴.
∵四点共圆.∴.∵AB是圆O的直径,∴是直角.∴∽,
.∴.10分
23.()直线的普通方程为:
;曲线的直角坐标方程为---4分
()设点,则
所以的取值范围是.---------10分
24.解:
解:
(Ⅰ)当时,原不等式可变为,可得其解集为
(Ⅱ)设,则由对数定义及绝对值的几何意义知,
因在上为增函数,则,当时,,
故只需即可,即时,恒成立.
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