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如何用数学方法来解决物理问题
如何用数学方法来解决物理问题
方法归纳
数学是解决物理问题的重要工具,借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性,能达到打通关卡、所向披摩地解决问题的目的.中学物理《考试大纲》中对学生应
用数学方法解决物理问题的能力作出了明确的要求,要求考生有“应用数学办理物理问题”的能力.对这一能力的观察在历年高考试题中也层见迭出.
所谓数学方法,就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来,并进行推导、演算和解析,以形成对问题的判断、讲解和展望.能够说,任何物理问题的解析、办理
过程,都是数学方法的运用过程.本专题中所指的数学方法,都是一些特别、典型的方法,
常用的有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差(比)数列求和法等.
一、极值法
数学中求极值的方法好多,物理极值问题中常用的极值法有:
三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的鉴识式法等.
1.利用三角函数求极值
y=acosθ+bsinθ
=a2+b2(
a
b
sinθ)
cosθ+
a2+b2
a2+b2
令sinφ=
a
,cosφ=
b
a2+b2
a2+b2
则有:
y=
a2+b2(sinφcosθ+cosφsinθ)
=a2+b2sin(φ+θ)
π
有最大值,且
ymax=
a2+b2.
所以当φ+θ=时,y
2
2.利用二次函数求极值
4ac-b2
b
b2
b2
b
)2
+
二次函数:
y=ax2+bx+c=a(x2+x+
4a
2)+c-
=a(x+
2a
4a
(其中a、b、c
a
4a
为实常数),当x=-b
时,有极值ym=
4ac-b2
a>0,y有极小值;若
a<0,
2a
4a
(若二次项系数
y有极大值).
3.均值不等式
关于两个大于零的变量
a、b,若其和a+b为必然值p,则当a=b时,其积ab获取极
p2
a、b、c,若其和a+b+c为必然值q,则当a=b=c时,
大值4;关于三个大于零的变量
其积abc获取极大值
q3
.
27
二、几何法
利用几何方法求解物理问题时,常用到的有“对称点的性质”、“两点间直线距离最
短”、“直角三角形中斜边大于直角边”以及“全等、
相似三角形的特点”等相关知识,
如:
带电粒子在有界磁场中的运动类问题,
物体的变力解析时经常要用到相似三角形法、
作图法
等.与圆相关的几何知识在力学部分和电学部分的解题中均有应用,
特别在带电粒子在匀强
磁场中做圆周运动类问题中应用最多,
此类问题的难点经常在圆心与半径的确定上,
确定方
法有以下几种.
1.依切线的性质确定.从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点,过切点作
切线的垂线,两条垂线的交点为圆心,圆心与切点的连线为半径.
2.依垂径定理(垂直于弦的直径均分该弦,且均分弦所对的弧
)和订交弦定理(若是弦与
直径垂直订交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比率中项
)确定.如图8-1
所示.
1
图8-1
由EB2=CE·ED
=CE·(2R-CE)
2
得:
R=EB+CE
也可由勾股定理得:
R2=(R-CE)2+EB2
解得:
R=EB2+CE.
2CE2
以上两种求半径的方法常用于求解“带电粒子在匀强磁场中的运动”这类习题中.
三、图象法
中学物理中一些比较抽象的习题常较难求解,若能与数学图形相结合,再合适地引入物理图象,则可变抽象为形象,打破难点、疑点,使解题过程大大简化.图象法是历年高考的热点,所以在复习中要亲近关注图象,掌握图象的鉴识、绘制等方法.
1.物理图象的分类
整个高中教材中有好多不同样种类的图象,按图形形状的不同样可分为以下几类.
(1)直线型:
如匀速直线运动的s-t图象、匀变速直线运动的v-t图象、定值电阻的U
-I图象等.
(2)正弦曲线型:
如简谐振动的x-t图象、简谐波的y-x图象、正弦式交变电流的e-
t图象、正弦式振荡电流的i-t图象及电荷量的q-t图象等.
(3)其他型:
如共振曲线的A-f图象、分子力与分子间距离的f-r图象等.
下边我们对高中物理中接触到的典型物理图象作一综合回顾,以期对物理图象有个较为
系统的认识和归纳.
图象函数形式
y=c
y=kx
特例物理意义
做匀速直线运动的
匀速直线运动的v
质点的速度是恒矢
-t图象
量.
①匀速直线运动的s①表示物体的位移
-t图象大小随时间线性增
②初速度v0=0的匀大.
加速直线运动的v②表示物体的速度-t图象(若v0≠0,大小随时间线性增
则纵截距不为零)大.③纯电阻电路的I-③表示纯电阻电路
2
U图象
中I随导体两端的电
压U线性增大.
①匀减速直线运动
①表示物体的速度
大小随时间线性减
的v-t图象
y=a-kx
小.
②闭合电路中的
U
②表示路端电压随
-I图象(U=E-Ir)
电流的增大而减小.
①由纯电阻用电器
组成的闭合电路的
a
y=x+b·x
(双曲线函数)
E①表示纯电阻电路U-R图象(U=R+r中电源的端电压随
R)
外电阻而非线性增
②在垂直于匀强磁
大.
场的[XCzt71.tifBP]
②将达到牢固速度
导轨上,自由导体棒
FR总
在一恒定动力F的
vm=B2L2.
作用下做变加速运
动的v-t图象
y=kx2
(抛物线函数)
xy=c
(双曲线函数)
①小灯泡耗资的本质功率与外加电压
的P-U图象②位移与时间的s-
t图象(s=12at2)
机械在额定功率下,其牵引力与速度的关系图象(P=Fv)
①表示小灯泡耗资的本质功率随电压的增大而增大,且增大得越来越快.②表示位移随时间的增大而增大,且增大得越来越快.
表示功率一准时,牵引力与速度成反比.
y=Asinωt
交流电的
e-t图象
表示交流电随时间
m
变化的关系.
(e=Esinωt)
2.物理图象的应用
(1)利用图象解题可使解题过程更简化,思路更清楚.
利用图象法解题不但思路清楚,而且在好多情况下可使解题过程获取简化,起到比解析
法更巧妙、更灵便的独到收效.甚至在有些情况下运用解析法可能力所不及,但是运用图象法规会使你豁然开朗,如求解变力解析中的极值类问题等.
(2)利用图象描述物理过程更直观.
从物理图象上能够比较直观地观察出物理过程的动向特点.
(3)利用物理图象解析物理实验.
运用图象办理实验数据是物理实验中常用的一种方法,这是由于它除了拥有简短、直观、便于比较和减罕有时误差的特点外,还可以够由图象求解第三个相关物理量,特别是无法从实验中直接获取的结论.
3.对图象意义的理解
(1)第一应明确所给的图象是什么图象,即认清图象中比纵横轴所代表的物理量及它们
的“函数关系”,特别是对那些图形相似、简单混淆的图象,更要注意区分.比方振动图象
3
与颠簸图象、运动学中的
s-t图象和v-t图象、电磁振荡中的i-t图象和q-t图象等.
(2)要注意理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义.
①点:
图线上的每一个点对应研究对象的一个状态.要特别注意“起点”、“终点”、
“拐点”、“交点”,它们经常对应着一个特别状态.如有的速度图象中,
拐点可能表示速
度由增大(减小)变为减小(增大),即加速度的方向发生变化的时辰,而速度图线与时间轴的
交点则代表速度的方向发生变化的时辰.
②线:
注意观察图线是直线、曲线还是折线等,从而弄清图象所反响的两个物理量之间
的关系.
③斜率:
表示纵横坐标上两物理量的比值.
常有一个重要的物理量与之对应,
用于求解
定量计算中所对应的物理量的大小以及定性解析变化的快慢.
如v-t图象的斜率表示加速
度.
④截距:
表示纵横坐标两物理量在“界线”条件下物理量的大小.
由此经常可获取一个
很有意义的物理量.如电源的
U-I图象反响了U=E-Ir的函数关系,两截距点分别为
(0,
E
E)和r,0.
v-t
⑤面积:
有些物理图象的图线与横轴所围的面积经常代表一个物理量的大小.如
图象中面积表示位移.
4.运用图象解答物理问题的步骤
(1)
看清纵横坐标分别表示的物理量.
(2)
看图象自己,鉴识两物理量的变化趋势,从而解析详尽的物理过程.
(3)看两相关量的变化范围及给出的相关条件,明确图线与坐标轴的交点、图线斜率、图线与坐标轴围成的“面积”的物理意义.
四、数学归纳法
在解决某些物理过程中比较复杂的详尽问题时,常从特别情况出发,类推出一般情况下
的猜想,尔后用数学归纳法加以证明,从而确定我们的猜想是正确的.利用数学归纳法解题要注意书写上的规范,以便找出其中的规律.
五、微元法
利用微分思想的解析方法称为微元法.它是将研究对象(物体或物理过程)进行无量细
分,再从中抽取某一渺小单元进行谈论,从而找出被研究对象的变化规律的一种思想方法.微
元法解题的思想过程以下.
(1)隔断选择合适的微元作为研究对象.微元能够是一小段线段、圆弧或一小块面积,也能够是一个小体积、小质量或一小段时间等,但必定拥有整体对象的基本特点.
(2)将微元模型化(如视为点电荷、质点、匀速直线运动、匀速转动等),并运用相关的物理规律求解这个微元与所求物体之间的关系.
(3)将一个微元的解答结果实行到其他微元,并充分利用各微元间的对称关系、矢量方向关系、近似极限关系等,对各微元的求解结果进行叠加,以求得整体量的合理解答.
六、三角函数法
三角函数反响了三角形的边、角之间的关系,在物理解题中有较广泛的应用.比方:
讨
论三个共点的平衡力组成的力的三角形时,常用正弦定理求力的大小;用函数的单调变化的临界状态来求取某个物理量的极值;用三角函数的“和积公式”将结论进行化简等.
七、数列法
凡涉及数列求解的物理问题都拥有过程多、重复性强的特点,但每一个重复过程均不是原来的完好重复,而是一种变化了的重复.随着物理过程的重复,某些物理量渐渐发生着前后有联系的变化.该类问题求解的基本思路为:
(1)逐个解析开始的几个物理过程;
(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的重点);
(3)最后解析整个物理过程,应用数列特点和规律求解.
无量数列的求和,一般是无量递减数列,有相应的公式可用.
等差:
Sn=n(a1+an)=na1+n(n-1)d(d为公差).
22
4
n
a1(1-q)
等比:
Sn=(q为公比).
八、比率法
比率计算法能够避开与解题没关的量,直接列出已知和未知的比率式进行计算,使解题
过程大为简化.应用比率法解物理题,要谈论物理公式中变量之间的比率关系,要清楚公式的物理意义和每个量在公式中的作用,以及所要谈论的比率关系可否建立.同时要注意以下几点.
(1)比率条件可否满足.物理过程中的变量经常有多个,谈论某两个量间的比率关系时要注意只有其他量为常量时才能成比率.
(2)比率可否吻合物理意义.不能够仅从数学关系来看物理公式中各量的比率关系,要注
U
意每个物理量的意义.(如不能够依照R=I认定电阻与电压成正比)
(3)比率可否存在.谈论某公式中两个量的比率关系时,要注意其他量可否能认为是不
变量.若是该条件不能立,比率也不能够建立.
(如在串通电路中,不能够认为
P=
U2
中P与R
R
成反比,由于R变化的同时,U也随之变化而并特别量
)
m
好多物理量都是用比值法来定义的,常称之为“比值定义”.如密度
ρ=V,导体的电
阻R=U,电容器的电容C=Q,接触面间的动摩擦因数
μ=f,电场强度
E=F等.它们的
IUFNq
共同特点是:
被定义的物理量是反响物体或物质的属性和特点的,它和定义式中对照的物理
量没关.对此,学生很简单把它当作一个数学比率式来办理而忽略了其物理意义,也就是说
授课中还要防范数学知识在物理应用中的负迁移.
数学是“物理学家的思想工具”,它使物理学家能“有条理地思虑”并能想象出更多的
东西.能够说,正是有了数学与物理学的有机结合,才使物理学日臻完满.物理学的严格定
量化,使得数学方法成为物理解题中一个不能或缺的工具.
热点、重点、难点
●例1如图8-2甲所示,一薄木板放在正方形水平桌面上,木板的两端与桌面的两
端对齐,一小木块放在木板的正中间.木块和木板的质量均为m,木块与木板之间、木板与
桌面之间的动摩擦因数都为μ.现突然以一水平外力F将薄木板抽出,要使小木块不从桌面
上掉下,则水平外力F最少应为________.(假设木板抽动过程中向来保持水平,且在竖直
方向上的压力全部作用在水平桌面上)
图8-2甲
A.2μmg
B.4μmg
C.6μmg
D.8μmg
【解析】解法一
F越大,木块与木板分别时的速度、位移越小,木块越不能能从桌面
滑下.设拉力为F0时,木块恰好能滑至桌面的边缘,再设木块与木板分其他时辰为
t1,在0~
t1时间内有:
1
(F-μmg-2μmg)
2-
12=L
0
μgt1
2·
m
1
2
·t
2
对t1时间后木块滑行的过程,有:
v12=(μgt1)2=L-1μgt12
2μg2μg22
解得:
F0=6μmg.
解法二F越大,木块与木板分别时的速度、位移越小,木块越不能能从桌面滑出.若
木块不从桌面滑出,则其v-t图象如图8-2乙中OBC所示,其中OB的斜率为μg,BC的斜率为-μg,t1=t2
5
图8-2乙
有:
S△OBC=1
·μgt12
×2≤L
2
2
7-2乙中的直线OA,则S△OAB=L
设拉力为F时,木板的v-t图象为图
即12
L
2
1
1
2(v
-v
)·t=2
其中v1
F-3μmg
1
2
1
=μgt,v=
m
·t
解得:
F≥6μmg
即拉力最少为6μmg.
[答案]
C
【谈论】关于两物体间的多过程运动问题,在明确物理过程的基础上,画出物体各自的
运动图象,这样两物体的运动特点就很明显了.利用图线与坐标轴所夹面积的关系明确物体
间的位移关系,可省略一些物理量的计算,从而快速、简捷地解答问题,同类题可见专题一能力演练第3题.
●例2如图8-3甲所示,在竖直平面内的直角坐标系中,一个质量为m的质点在外
力F的作用下从坐标原点O由静止沿直线ON斜向下运动,直线ON与y轴负方向成θ角(θ
π
<4),则F的大小最少为________;若F=mgtanθ,则质点的机械能大小的变化情况是
__________________________.
[2008年高考·上海物理卷]
6
图8-3甲
【解析】该质点在重力和外力F的作用下从静止开始做直线运动,说明质点做匀加
速直线运动,如图8-3乙所示,当F的方向为a方向(垂直于ON)时,F最小为mgsinθ;
若F=mgtanθ,即F可能为b方向或c方向,故除重力外的力F对质点可能做正功,也可
能做负功,所以质点的机械能增加、减少都有可能.
图8-3乙
[答案]mgsinθ增加、减少都有可能
【谈论】运用平行四边形(三角形)定则解析物体受力的变化情况(或用相似三角形比较受
力)是一种常用的方法,同类题可见专题一同类拓展2和例题4.
●例3总质量为80kg的跳伞运动员从离地500m的直升机上跳下,经过2s拉开绳索开启降落伞,图8-4是跳伞过程中的v-t图象,试依照图象求:
(取g=10m/s2)
7
图8-4
(1)t=1s时运动员的加速度和所受阻力的大小.
(2)估计14s内运动员下落的高度及战胜阻力做的功.
(3)估计运动员从飞机上跳下到着地的总时间.
[2008年高考·上海物理卷]
【解析】
(1)从图象中能够看出,在
t=2s内运动员做匀加速运动,其加速度的大小为:
a=
vt
16
m/s2=8m/s2
=
2
t
f,依照牛顿第二定律,有:
mg-f=ma
设此过程中运动员碰到的阻力大小为
得:
f=m(g-a)=80×(10-8)N=160N.
(2)v-t图象与t轴所包围的面积表示位移,由图象可知
14s内该面积包含的格子为39
格
所以h=39×2×2m=156m
依照动能定理,有:
mgh-Wf=1mv2
2
所以Wf=mgh-12mv2
1
=(80×10×156-2×80×62)J
≈×105J.
(3)14s后运动员做匀速运动的时间为:
t′=H-h=500-156
s≈57s
v
6
运动员从飞机上跳下到着地所需要的总时间为:
t总=t+t′=(14+57)s≈71s.
[答案]
(1)160N
(2)1.23×105J
(3)71s
【谈论】关于本题,应明确v-t图象中“面积”的含义,在数小方格个数时需注意合
理弃取,即大于半格的算
1个,小于半格的舍去.
●例4
如图8-5甲所示,一质量
m=1kg的木板静止在圆滑水平川面上.开始时,
木板右端与墙相距L=0.08m,一质量m=1kg的小物块以初速度v0=2m/s滑上木板左端.木
板的长度可保证物块在运动过程中不与墙接触.物块与木板之间的动摩擦因数μ=,木板
与墙碰撞后以与碰撞前瞬时等大的速度反弹.取g=10m/s2,求:
8
图8-5甲
(1)从物块滑上木板到两者达到共同速度时,木板与墙碰撞的次数及所用的时间.
(2)达到共同速度时木板右端与墙之间的距离.
【解析】解法一物块滑上木板后,在摩擦力的作用下,木板从静止开始做匀加速运
动.设木板的加速度大小为a,经历时间T后与墙第一次碰撞,碰撞时的速度为v1,则有:
μmg=ma
12
L=2aT
v1=aT
可得:
a=1m/s2,T=0.4s,v1=0.4m/s
物块与木板达到共同速度从前,在每两次碰撞之间,木板碰到物块对它的摩擦力作用而
做加速度恒定的运动,所以木板与墙相碰后将返回至初态,所用时间为T.设在物块与木板
达到共同速度v从前木板共经历了n次碰撞,则有:
v=v0-(2nT+t)a=a·Δt
式中t是碰撞n次后木板从初步地址至达到共同速度所需要的时间上式可改写为:
2v=v0-2nTa
由于木板的速率只幸亏
0到v1之间,故有:
0≤v0-2nTa≤2v1
解得:
≤n≤
由于n是整数,故n=2
解得:
v=0.2m/s,t=0.2s
从开始到物块与木板达到共同速度所用的时间为:
t=4T+t=1.8s.
(2)物块与木板达到共同速度时,木板右端与墙之间的距离为:
12
s=L-2a·Δt
解得:
s=0.06m
解法二
(1)物块滑上木板后,在摩擦力的作用下,木板做匀加速运动的加速度
a1=μg
=1m/s,方向向右
物块做减速运动的
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