矢通量分裂格式.docx
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矢通量分裂格式
迁移方程
(10-1)
若a为大于零的正数,则Euler后差格式
(10-2)
稳定。
若a为小于零的负数,则Euler前差格式
(10-3)
稳定。
若a是可正可负的变量,则需将a进行分裂,令
式中,
,
于是有,
,
迁移方程可写为,
(10-4)
迎风格式,
(10-5)
总是稳定的。
当时,式(10-5)与(10-2)相当,当时,式(10-5)与(10-3)相当。
对于一维Euler方程
(10-6)
式中,
补充状态方程,
(10-7)
对于方程(10-6),若设
则方程(10-6)成为
(10-8)
如何分裂A?
两个步骤:
1,求出A
2,求出A的特征值。
可将矢通量F写成矢恒量U的显函数形式,即
第1个步骤:
(10-9)
(10-10)
第2个步骤,求出A的特征值。
对A作相似变换
(10-11)
式中,
对可以进行分裂,设
(10-12)
其中,
由式(10-11)可得,
(10-13)
将(10-12)代入(10-13)得
(10-14)
设
于是式(10-14)成为
从而完成了第2个步骤,分裂了A,于是Euler方程(10-8)可写成
迎风格式可写成
(10-16)
这是非守恒型的迎风格式,并不常用。
一.对守恒型Euler方程采用矢通量分裂措施
应当直接分裂Euler方程中的F,即对Euler方程(10-6)
实施迎风格式,这就是所谓矢通量分裂格式。
定理:
若函数恒等地满足下列关系
则称是一个次的齐次函数。
对于这种函数,只要它可微,就有
上式称为齐次函数的Euler公式。
在Euler方程中,F是关于U的一次齐次函数,即。
根据微分学中齐次函数的Euler公式,有
(10-17)
由于对A已进行了分裂(),于是有
令
(10-18)
于是,完成了对F的分裂
Euler方程(10-6)成为
矢通量分裂格式可写为:
归纳一下,分裂F的步骤:
1.求出A()
2.找到矩阵P,使
3.求出,(,)
4.求出,(,)
5.求得,(,)
对于二维和三维情况,可以依次类推。
例如,对于二维Euler方程,
同样可进行矢通量分裂,即
于是,Euler方程就成为
那么矢通量分裂格式可写成:
二.矢通量分裂格式(采用矢通量分裂措施的差分格式)
1.一阶精度显式格式
2.空间精度为二阶的格式
3.MacCormack格式
由于采用了一侧差分,破坏了格式的对称性,只有一阶精度。
4.AF格式(C-N格式)
式中,下标b表示后差,f表示前差。
对上式作近似分解:
以上四个格式都是针对一维Euler方程的,可以直接推广到二维和三维。
三.人工粘性
MC格式和AF格式由于采用中心差分使其等价微分方程中的二阶导数项都消失了,引起非物理的数值振荡,所以必须人为地把这些消失了的二阶项再加到格式中去,这些二阶项称为人工粘性。
对于MC格式(以一维Euler方程为例),有
对于AF格式(以二维Euler方程为例)
式中,
,,
在以上格式中,、、、和均为待定系数。
如何确定这些系数?
四.人工粘性与矢通量分裂格式的关系
对于迁移方程
迎风格式
(10-5)
式中,,,代入上式,整理得,
上式表明,迎风格式相当于Euler中心差分格式加上二阶粘性。
对于一维Euler方程
(10-19)
简记——后差
——前差
——中心差
则一阶精度矢通量分裂格式可写为:
(10-20)
我们已知
而,(10-21)
而,(10-22)
而,(10-23)
于是,将式(10-23)代入式(10-22),有
显然,令
于是,
同理,
代式(10-24)入式(10-21),有
,
于是
(10-25)
根据定义:
代入式(10-25),得
(10-26)
代入一阶精度矢通量分裂格式(10-20),得
(10-27)
可见,一阶精度的矢通量分裂格式相当于中心差分格式加上二阶粘性。
这是一条重要结论。
另外,空间精度为二阶的矢通量分裂格式可写成
(10-28)
式中,
一侧三点后差:
一侧三点前差:
同理可从(10-28)导出下面的式子
(10-29)
式中,
(四点中心差分)
由(10-29)可得到另一条重要结论:
空间二阶精度的矢通量分裂格式相当于中心差分格式加上四阶粘性。
五.确定人工粘性的系数
根据上述两条重要结论,可以确定MC格式和AF格式中的人工粘性系数、、、和。
由(10-27)可知,应取
一般用(谱半径)代替,于是就有
同理可得,
而
由(10-29)可知,应取
根据AF格式稳定性要求,不能取太大,一般取
由于二阶人工粘性会降低格式的精度,因此只在激波区域(物理量变化剧烈的地方)加入;在光滑区,只需加入四阶粘性即可。
因此可以引入一个非线性人工粘性:
式中,
其中,,
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- 通量 分裂 格式