微积分II真题含答案微积分真题.docx
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微积分II真题含答案微积分真题
微积分II真题含答案|微积分真题
微积分II真题含答案
一、填空题(每题3分,共30分)
1、函数
的定义域是____________.
2、设
,则________________.
3、广义积分的敛散性为_____________.
4、____________
.
5、若
.
6、微分方程
的通解是____.
7、级数
的敛散性为.
8、已知边际收益R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,则总收益函数R(x)=____________.
9、交换
的积分次序=
.
10、微分方程
的阶数为_____阶.
二、单选题(每题3分,共15分)
1、下列级数收敛的是()
A,
B,C,D,
2、,微分方程的通解为(
)
A,B, C,D,3、设D为:
,二重积分=(
)
A,B,C,D,04、若
A,B,C,D,5、=()
A,0B,
1C,
2D,三、计算下列各题(本题共4小题,每小题8分,共32分)
1.已知2.求,其中D是由
,x=1和x轴围成的区域。
3.已知z=f(x,y)由方程确定,求
4.判定级数的敛散性.
四、应用题(本题共2小题,每小题9分,共18分):
1.
求由
和x轴围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
2.
已知x表示劳动力,y表示资本,某生产商的生产函数为,劳动力的单位成本为200元,,每单位资本的成本为400元,总预算为100000元,问生产商应确定x和y,使产量达到最大?
。
五、证明题(5分)
一、填空题(每小题3分,共30分)
1,
2,
3,发散4,05,6,y=cx7,收敛8,R(x)=x3+1000x9,
10,2二、单选题(每小题3分,共15分)
1,B
2,B3,C4,C5,D三、计算题(每小题8分,共32分)
1、解:
令
2、3、整理方程得:
4、先用比值判别法判别
的敛散性,
(2分)
收敛,所以绝对收敛。
(交错法不行就用比较法)
(8分)四、应用题(每小题9分,共18分)
1、解:
2、解:
约束条为200x+400y-100000=0
(2分)
构造拉格朗日函数,
(4分)
求一阶偏导数,
(6分)
得唯一解为:
,
(8分)
根据实际意义,唯一的驻点就是最大值点,该厂获得最大产量时的x为40,y为230.
(9分)
五、证明题(5分)
证明:
设对等式两边积分,得:
(2分)
(4分)
解得:
题设结论得证。
(5分)
一、填空题(每题2分,共20分)
1、函数的定义域是_______
2、__________
3、_______
4、若___________
5、设可微,则
6.已知满足方程则
_______7、交换的积分次序=__________________
8、级数__________
9、若级数的收敛,则k的取值范围是
10、微分方程的通解是
____二、单选题(每题2分,共10分)
1、若广义积分,则k=()
A,
B,C,D,
2、若满足方程,则()
A,0B,1C,D,3、设D为:
,二重积分=____________
A,B,C,D,4、下列级数发散的是()A,
B,CD5、微分方程的阶数为
(
)
A,1B,2C3D4三、计算下列各题(本题共4小题,每小题8分,共48分)
1.计算
2.已知,求
3.计算二重积分,其中D由,,及所围成。
4.求一阶线性微分方程的通解.
5.
判别级数的收敛性,若收敛,是条收敛还是绝对收敛?
6.
计算定积分。
四、应用题(本题共2小题,每小题9分,共18分):
1.
求由曲线与所围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
2.
某厂生产两种产品,产量分别为x和y,总成本函数,需求函数分别为(p1,p2分别为两种产品的价格),产量受的限制,求该厂获得最大利润时的产量x和y。
五、证明题(4分)
证明:
一、填空题(每题2分,共20分)
1、,
2、,3、0
,
4、
,5、0
,6.
7、,8、
2
9、,10、(c为任意常数)
二、单选题(每题2分,共10分)
1、D
2、D,
3、C,
4、B,
5、C
三、计算下列各题(本题共4小题,每小题8分,共48分)
1.计算
解:
--------4分
-----------8分
2.已知,求
解:
两边去自然对数,两边关于x求偏导数,,---------4分整理得所以
------------8分3.计算二重积分,其中D由,,及所围成。
解:
画图(2分),Y-型,
-----------4分
-------------8分
4.求一阶线性微分方程的通解.
解:
方法1:
直接算,,,方法2:
原方程可以化为,,直接代入公式,------------4分
(c为任意常数)
--------------8分5.这是一个交错级数,一般项为。
先判断是否收敛,是一个P-级数,且P=,发散。
----------------2’----------------------------------4’----------------------------------6’根据莱布尼茨定理,级数收敛,而且是条收敛。
-----------------------------8’6.积分区间关于原点对称,又为偶函数,则
=2----------------------------------2’=
--------------------------------4’=
--------------------------------6’==
--------------------------------8’四、应用题(本题共2小题,每小题9分,共18分):
1.
求由曲线与所围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
解:
画图(2分)
-----------------5分=
----------------9分
2.
某厂生产两种产品,产量分别为x和y,总成本函数,需求函数分别为(p1,p2分别为两种产品的价格),产量受的限制,求该厂获得最大利润时的产量x和y。
解:
由题意知,收入函数为利润函数构造拉格朗日函数,-------------5分,解得----------------9分
五、证明题(4分)
利用级数的敛散性,证明:
证明:
先证明级数收敛,用比值判别法,所以级数收敛由级数收敛的必要条知道,,即
一、填空题(每小题3分,共15分)
1.
设,则=
.
2.
当时,收敛.
3.
交换积分次序.
4.
已知级数收敛,则=
.
5.
若,其中具有二阶偏导数,则=
.
二、单选题(每小题3分,共15分)1.().
(A);(B);(C);(D).
2.函数在上可积的必要条是在上(
)
(A)连续;
(B)有界;(C)
无间断点;(D)有原函数.
3.下列反常积分收敛的是()(A);(B);(C);(D).
4.下列级数发散的是().
(A);(B);(C);(D).
5.
微分方程的通解是()(A);(B);(C);(D).
三、计算题I(每题6分,共24分)1.求.
2.设,求.
3.求,其中D由围成.
4.判别级数的敛散性.
四、计算题II(每题8分,共24分)
5.求.
6.设由方程确定,其中可微,求.
7.求微分方程的特解.
五、应用题(每小题8分,共16分)
1.求由与所围成的平面图形的面积,并求此图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积.
2.设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为x和y(千),利润函数为(万元)
已知生产每千甲或乙产品均需要消耗某原料2吨,现有该原料12吨,问两种产品各生产多少时,总利润最大?
最大利润是多少?
六、证明题(6分)
证明:
若收敛,则发散.
一、1.;
2.;
3.;4.;5..
二、BBACD
三、1.解:
原式=
(3分).
(6分)
2.解:
(2分)
(4分)(6分)3.解:
原式=
(2分)
(4分)
.
(6分)
4.解:
记,取
(4分)又收敛故原级数收敛.
(6分)四、5.解:
令,即,则
当时,
(2分)
故原式
(4分)
(6分)
.
(8分)
6.解:
记
(4分)
(8分)
7.解:
原方程可化为------一阶线性微分方程
此时,
(2分)
故原方程的通解为
(4分)
(6分)
由,得从而,所求原方程的特解为.
(8分)
五、1.
解:
1>
故所求图形的面积为
(4分)
2>所求旋转体的体积为
(5分)
.
(8分)
2.解:
显然,有条成立,作辅助函数
(3分)令
解之得唯一驻点
(6分)故当生产甲产品3.8千,乙产品2.2千时,利润最大,且最大利润为(万元).
(8分)六、证明:
证明:
由于
(3分),又因为收敛,故收敛,从而,绝对收敛.
(6分)
1.
函数的定义域是.
2.
.
3.
若___________.
4.
设有连续的二阶偏导数,则.
5.
=
.
6.
广义积分收敛,则.
7.
交换积分次序=
.
8.
设D为所围区域,则.
9.
=
.
10.方程是
阶微分方程.
三、单选题(每小题3分,共15分)1.广义积分收敛于().
A.0;B.
;C.;
D..2.
设积分区域D是().
A.;B.;C.;D..3.下列级数中条收敛的是(
).
A.;B.;C.;D..4.设,其中可微,则()
A.;
B.
C.
D.
5.微分方程的通解是()。
A.;
B.;
C.;D..
三、计算题(每题8分,共32分)
1.求.
2.设D由曲线围成,求3.已知,求.
4.判别级数的敛散性.
四、应用题(每小题9分,共18分)
1.设D由与所围成,求:
(1)平面图形的面积;
(2)此图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积。
2.某厂生产两种产品,当产量分别为时,成本函数,需求函数分别为,分别为两种产品的价格,产品受的限制,求工厂获得最大利润时的产量和价格。
五、证明题(5分)
设,其中F可微。
证明:
一.
1.;
2.0
;3.;
4.;5.
0;6.;
7.;
8.
2(2ln2-1);9.1;
10.
2.
二.CADCB三.1.解:
原式=
(3分)
(6分)
(8分)
2.解:
画积分区域草图,联立方程求交点得:
,
(2分)
原式=.
(4分)
(5分)
(8分)
3.解:
令,则
(3分)
(5分)(8分)4.解:
用比值判别法
(2分)(4分)(6分)原级数收敛.
(8分)四.1.解:
(1)
,
(2分)
故所求图形的面积为
(5分)
(2)所求旋转体的体积为 .
(9分)
2.解:
由需求函数x,y得:
,利润函数=
=
(2分)作辅助函数
=
(4分)令
解之得唯一驻点
(6分)故当生产产量分别为及时工厂获得的利润最大,此时两种产品的价格分别为(9分)五.证明:
(3分),.
(5分)
故等式成立。
一、填空题(每小题3分,共30分)
1.函数的定义域是
.
2.设域是,则
.
3.交换积分次序
.
4.设资本投入为,劳动投入为时,某产品的产出量为,且为常数,则对资本的偏弹性,对资本的偏弹性.
5.设.
6.若则.
7.当满足条时收敛。
8.微分方程的通解为
.
9.设,其中可微,则.
10.
.
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.
=().
A.;B.;
C.;
D..2.
已知,则().
A.
B.
C.
D..
3.若,则().
A.
B.
C.
D.4.下列级数发散的是(
)A.;
B.
;C.;D..
5.微分方程的阶数为().
A.3
;B.
4;C.2;D.6.
三.
计算题(每小题8分,共32分)
1.设,求.
2.若D是由所围成的区域,求之值。
3.判别级数的收敛性。
4.求方程的通解。
四.应用题(每小题9分,共18分)
1.设平面区域D由抛物线与直线围成,求:
(1)D的面积;
(2)D绕轴旋转一周所得立体的体积。
2.设某种产品的产量是劳动力和原料的函数,若劳动力单价为100元,原料单价为200元,则在投入3万元资金用于生产的情况下,安排劳动力和原料,可使产量最多。
五.证明题(5分):
证明:
.
一.
1.;
2.;3.;4.;5.
;6.
5;7.;
8.y=;
9..10.tanx
二.
DBADA三.
1.解:
令,(2分)则(4分)
(8分).
2.解:
联立解得两个交点坐标
(2分)
(4分)
(8分)
3.解:
(4分)(4分)又是几何级数,公比收敛故由比较判别法知原级数收敛.
(8分)(或者用比较判别法的极限形式)4.解:
,代入原方程得
(2分)
分离变量
(4分)
两边积分将回代得方程的解
(8分)四.1.
解:
(1),故所求图形的面积为
(4分)
(2),所求旋转体的体积为
(9分)
2.
解:
显然,有条成立,作辅助函数
(3分)令
(5分)
解之得唯一驻点
(7分)由问题实际意义知最大产量存在,故当劳动力为单位,原料为单位时产量最大。
(9分)五.证明:
交换积分次序:
等式左边==右边.
故等式成立。
一、填空题(每题3分,共30分)
1.函数的定义域是.
2.=
.
3.=______.
4.
=
.
5.=
.
6.= .
7.设,其中
在D上连续,则=
.
8.方程是
阶微分方程.
9.设,则
=
.
10.交换积分次序=
.
二、单选题(每题3分,共15分)
1.
=().
A.
. B.
2. C.
0. D.
1.2.
设,其中可微,则=().
A.
B.
C.
D.13.
设,则=().
A.
B.
C.
D.
4.设D由圆周,及直线所围的第一象限部分,二重积分的值=(
).
A.. B.. C.. D..
5.下列级数发散的是(
).
A.
B.
C.
D.
三、计算题(每题8分,共32分)
1.求。
2.设由方程确定,求。
3.求。
4.求微分方程的通解。
四、应用题(每题9分,共18分)
1.设平面区域D由曲线围成,求D的面积及D绕x轴旋转所成的旋转体的体积。
2.设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为x和y(千),利润函数为(万元),已知生产每千甲或乙产品均需要消耗某原料2吨,现有原料10吨刚好用完,问两种产品各生产多少时,总利润最大?
最大利润是多少?
五、证明题(5分)
证明
一、填空题(每小题3分,共30分)
1.;
2.;
3.
0;4.
1;
5.
1;6.
2;7.
2;8.
二;9.;
10.
.
二、单选题(每小题3分,共15分)
1.
A
2.
B3.
A4.
B5.
C三、计算题(每小题8分,共32分)1.解:
令则原式
(5分)
.
(8分)
2.解设
则
(5分)
(8分)3.解:
(4分)
(6分)
(8分)
4.解:
代入原方程得分离变量
(4分)
两边积分
(6分)
得故原方程的通解为(C为任意常数)
(8分)四、应用题(每小题9分,共18分)
1.先求的交点(0,0),(1,1)
(4分)(9分)
2.
解:
显然,有条成立,作辅助函数(3分)令
解之得唯一驻点
(7分)故当生产甲产品3千,乙产品2千时,利润最大,且最大利润为(9分)
五、证明题(5分)
证明:
考察级数,由于
(3分)
所以此级数收敛,故
(5分)
一、填空题(每题3分,共30分)
1.函数的定义域是
.
2.=
.
3.设,则= .
4.=______.
5.=
.
6.
=
.
7.设,其中
在D上连续,则=
.
8.方程是
阶微分方程.
9.设,则
=
.
10.交换积分次序=
.
二、单选题(每题3分,共15分)
1.
在上的平均值是().
A.
B.
C.
D.
2.
=().
A.
. B.
. C.
. D.
.3.
设D由圆周,及直线所围的第一象限部分,二重积分的值=( ).
A.. B.. C.. D..
4.设
,其中可微,则=().
A.
B.
C.
D.
5.下列级数发散的是(
).
A.
B.
C.
D.
三、计算题(每题8分,共32分)
1.求。
2.设由方程确定,求。
3.求。
4.求微分方程
的通解。
四、应用题(每题9分,共18分)
1.设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为x和y(千),利润函数为(万元),已知生产每千甲或乙产品均需要消耗某原料1吨,现有原料5吨刚好用完,问两种产品各生产多少时,总利润最大?
最大利润是多少?
2.设平面区域D由曲线围成,求D的面积及D绕x轴旋转所成的旋转体的体积。
五、证明题(5分)
证明
一,填空题(每小题3分,共30分)
1.;
2.;
3.
0;4.
0;
5.
3;6.
6;7.
7;8.
二;9.;
10..
二,单选题(每小题3分,共15分)
1.
B
2.
A3.
B4.
A5.
D三,计算题(每小题8分,共32分)
1.解:
(4分)
(8分)
2.解设
则
(3分)(6分)
(8分)
3.解:
(4分)
(6分)
(8分)
5.解:
分离变量
(3分)
两边积分
(5分)
得故原方程的通解为(C为任意常数)
(8分)四,应用题(每小题9分,共18分)
1.
解:
显然,有条成立,作辅助函数(3分)令
解之得唯一驻点
(7分)故当生产甲产品3千,乙产品2千时,利润最大,且最大利润为(9分)
2.
(4分)
(9分)
五,证明题(5分)
证明:
考察级数,由于
(3分)
所以此级数收敛,故
(5分)
四、填空题(每题3分,共30分)
1.函数的定义域是.
2.=
.
3.=_
_____.
4.
=
.
5.=
.
6.广义积分收敛,则
.
7.设,其中
在D上连续,则=
.
8.方程是
阶微分方程.
9.设,则
=
.
10.交换积分次序=
.
五、单选题(每题3分,共15分)
1.
=().
A.
. B.
2. C.
0. D.
1.2.
函数,,由方程所确定,则=().
A.
2B.
-1C.
1D.-23.
设,则=().
A.
B.
C.
D.
4.可偏导的函数取得极值点必为(
).
A.零点. B.驻点. C.不可导点. D.驻点或不可导点.
5.下列级数发散的是(
).
A.
B.
C.
D.
六、计算题(每题8分,共32分)
1.求。
2.设由方程确定,求。
3.计算D由和围成的区域
4.求微分方程的通解。
四、应用题(每题9分,共18分)
1.设平面区域D由曲线围成,求D的面积及D绕x轴
旋转所成的旋转体的体积。
2.销售收入Q与用两种广告手段的费用x和y之间的函数关系为
,净利润是销售收入的减去广告成本,而广告预算是25,试确定分配两种手段的广告成本,以使利润最大?
最大利润是多少?
五、证明题(5分)
证明
一、填空题(每小题3分,共30分)
1.;
2.;
3.
0;4.
1;
5.
2;
6.
>3;7.
1;8.
二;9.;
10.
.
二、单选题(每小题3分,共15分)
1.
A
2.
B3.
A4.
B5.
C三、计算题(每小题8分,共32分)1.解:
令则原式
(5分)
.
(8分)
2.解设
则
(5分)
(8分)3.解:
原式
(4分)
(6分)
(8分)
5.解:
由于,由公式得其通解
(4分)
=
=
(6分)
故原方程的通解为(C为任意常数)
(8分)四、应用题(每小题9分,共18分)
1.先求的交点(0,0),(1,1)
(4分)(9分)
2.解:
显然,有条成立,所求利润函数
3.作拉格朗日函数(3分)令
解之得唯一驻点
(7分)故当两种广告费用分别为15,10时,利润最大,且最大利润为(9分)
五、证明题(5分)
证明:
令,则于是=
(3分)
所以原式成立
(5分)
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