离散数学课本知识题.docx
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离散数学课本知识题
习题1.1
1、用列举法给出下列集合:
a)小于5的非负整数的集合;
b)10到20之间的素数的集合;
c)不超过65的12之正整数倍数的集合。
2、用命题法给出下列集合:
a)不超过100的自然数的集合;
b)Ev和Od;
c)10的整倍数的集合。
3、用归纳定义法给出下列集合:
a)允许有前0的十进制无符号整数的集合;
b)不允许有前0的十进制无符号整数的集合;
c)允许有前0和后0的有有限小数部分的十进制无符号实数的集合;
d)不允许有前0的十进制无符号偶数的集合;
e)Ev和Od;
f)集合{0,1,4,9,16,25,…}。
4、确定下列集合中哪些是相等的:
A={x|x为偶数且x2为奇数}
B={x|有y€I使x=2y}
C={1,2,3}
D={0,2,-2,5,-3,4,-4}
E={2x|x€I}
F={3,3,2,1,2}
G={x|有x€I且x3-6x2-7x-6=0}
5、
确定下列关系中哪些是正确的,并简单说明理由。
a)
b)
c)
{}
d)
{}
e)
{a,b}{a,b,c,{a,b,c}}
f)
{a,b}{a,b,c,{a,b,c}}
g)
{a,b}{a,b,{a,b}}
h)
{a,b}{a,b,{a,b}}
6、
设A、B和C为集合。
证明或用反例推翻以下的各个命题:
a)
若AB且BC,则ACo
b)
若AB且BC,则ACo
c)
若AB且BC,则ACo
d)
若AB且BC,则ACo
7、
若A、B为集合,则AB与AB能同时成立吗?
请证明你的结论o
8、
列举出下列集合中每个集合的所有子集:
a)
{1,2,3}
b)
{1,{2,3}}
c)
{{1,{2,3}}}
d)
{}
e){,{}}
f){{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}
g){{,2},{2}}
9、给出下列集合的幂集:
a){a,{b}}
b){1,}
c){x,y,z}
d){,a,{a}}
e)({})
10、设(A)=(B)。
证明A=B。
习题1.2
1.设U={1,2,3,4,5},A={1,4},B={1,2,5},C={2,4}。
试求下列集合:
a)A~B;
b)(AB)~C;
c)~(AB);
d)~A~B;
e)(A-B)-C;
f)A-(B-C);
g)(AB)C;
h)(AB)(BC)
2.设A={n|nI+且n<12},B={n|nI+且n8},C={2n|nI+},D={3n|nI+}且
E={2n-1|nI+}试用A,B,C,D和E表达下列集合:
a){2,4,6,8};
b){3,6,9};
c){10};
d){n|n为偶数且n>10};
e){n|n为正偶数且n10,或n为奇数且n9}。
3.证明:
4.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
证明
a)
如果AB且CD,则A
A(B-A)=
A(B-A)=AB;
A-(BC)=(A
A-(BC)=(A
A-(A-B)=A
A-(B-C)=(A-B)
A=B当且仅当
B)
B)
B;
(A
C)。
AB=;
CBD且ACBD;
(A-C);
(A-C);
b)
A
B=B
A;
c)
(A
B)
C=A
(B
C);
d)
A
(B
C)=(A
B)
(AC);
e)
(B
C)
A=(B
A)
(CA)。
判断
一下结论是否成立,
如果或成立,
就给予证明,如果不成立,
就用文氏图加以说明。
a)若ACBC且ACBC,
则AB;
b)若AB=AC且AB=AC,贝UB=C;
c)若AB=AC,则B=C;
d)若AB=AC,则B=C;
e)AB=AC,贝UB=C;
f)若ABC,贝UAB或AC;
g)若BCA,贝UBA或CA。
6.给出下列各式成立的充分必要条件,并加以证明。
a)
(A-B)
(A-C)=A;
b)
(A-B)
(A-C)=;
c)
(A-B)
(A-C)=A;
d)
(A-B)
(A-C)=A;
e)
(A-B)
(A-C)=A;
f)
(A-B)
(A-C)=;
g)
AB=AB;
h)
A-B=B;
i)
A-B=B-A;
j)
AB=A;
k)
(A)
(B)=(AB);
7.设A,B为任意两个集合,证明
a)
(A)
(B)(AB);
b)
(A)
(B)=(AB)。
8.试求出和,其中为:
a){{}};
9.
10.
11.
b){,{}};
设Ro
设An
设Ax
{a|a
{x|x
{yly
1},
n},
x},
{a|aR且a(1】)},iI。
证明
i
N,试求
An和An
xR。
试求JAx和什Axo
x1x1
RRo
12.
,我们称A和A分别为集合序列Ao,^,A2^|的上极
限和下极限,证明:
a)A为由一切属于无限多个A的元素组成的集合;
b)A为由一切属于"几乎所有”的A的元素组成的集合。
习题1.3
1、用归纳法证明:
a)
1
1?
2
1
2?
3
1n
;
n?
(n1)n1
b)2+22+23+-+2n=2n+1-2;
c)2n=2n;
d)3|n3+2n;
nn1n2n3
e)123+234+•••+n(n+1)(n+2)=-
f)任意三个相邻整数的立方和能被9整除;
g)11"2+122n+1是133的倍数;
111l
h)右nI+贝H———in。
Ji<2Un
2、设ao,ai,a2,…为由自然数组成的严格单调递增序列。
证明:
若nN,贝UnQn。
3、斐波那契(Fibonacci)数列定义为
Fo=0
Fi=1
Fn+1=Fn+Fn-1,n1+
1
证明:
若nI+,贝U-
站f
n
1■5
2
2
4、设n,mI+且n>m。
假定有n个直立的大头针,甲、乙两人轮流把这些直立的大头针扳倒。
规定每人每次可扳倒1至m根,且扳倒最后一根直立的大头针者为获胜者。
试证明:
如果甲先扳且(m+n)不能整除n,则甲总能获胜。
5、证明以下的二重归纳原理的正确性:
设io,joN。
假定对任意自然数i为。
及j>jo,皆有一个命题P(i,j)满足:
i)P(i0,j0)真;
ii)对任意自然数k>i0及l>j0,若P(k,l)真,贝UP(k+1,l)和P(k,l+1)皆真。
则对任意自然数i>i0及jjP(i,j)皆真。
6、证明:
若nN,则nn。
7、证明:
若n,mN,则nm当且仅当nm。
8、证明:
若n,mN,则nm当且仅当n+m+。
9、证明:
若n,mN,贝Unvm当且仅当有xN使m=n+x+。
10、证明:
若nN,则不可能有mN使nvmvn+。
习题1.4
1、设A={0,1},B={1,2}。
试确定下列集合:
a)AX{1}xB
b)A2xB
c)(BxA)2
2、证明或用反例推翻下列命题:
a)(AUB)X(CUD)=(AXC)U(BXD)
b)(AQB)x(CQD)=(AxC)Q(BxD)
c)(A-B)x(C-D)=(AxC)-(BxD)
d)(AB)x(CD)=(AxC)(BxD)
3、如果BUCA,则(AXB)—(CxD)=(A-C)x(B-D)。
这个命题对吗?
如果对,则给予
证明;如果不对,则举出反例。
f)4、证明:
若xC且yC,贝U
5、证明:
6、把三元偶定义为{{a},{a,b},{a,b,c}}合适吗?
说明理由。
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