二次函数与相似的综合题docx.docx
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二次函数与相似的综合题docx
1.已知二次函数y=加+3的图像与兀轴交于点A(1,0)与B(3,0),交y轴于点C,
其图像顶点为£>•
(1)求此二次函数的解析式;
(2)试问与△BCO是否相似?
并证明你的结论;
(3)若点P是此二次函数图像上的点,月=试求点P的坐标.
由题意知
9q+3b+3=0
(2分)
所以二次函数解析式是y=x2-4x+3.(1分)
(2)ZVIBD与△BCO相似.
由
(1)知:
C((),3),D(2,-l).(1分)
(2分)
(1分)
于是AB=2,AD=BD=4i,BC=3y[i,0B=0C=3,即竺=空=也,—
OBOCBC
所以△ABD^/XBCO相似.
(3)设P(x,x2-4x+3),作P0丄x轴,垂足为0作丄BC,垂足为H.
易知为等腰直角三处形,则AH=BH=y/2,
由ZPAB=ZACB,ZAQP=ZCHA=90°f
所以△APQ与△CAH相似,(2分)
于是些=空,
AQCH
丄
2
2.抛物线y=mx2-5mx+兀与y轴正半轴交于点C,与兀轴分别交于点A和点5(1,0),
且OC?
=OAOB.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是y轴上一点,当AP3C和\ABC相似吋,求点P的坐标.
2.解:
(1)由题意,得抛物线对称轴是直线%=-,(1分)
2
・・•点4和点〃关于直线x=|对称,点B(1,0),・・・4(4,0)(1分)
VOC2=OA-OB=4xI=4f・・・OC=2(1分)
•・•点C在),轴正半轴上,・・・C(0,2)(1分)
195
Ay=—x2x+2(2分)
22
(2)由题意,可得AB=3,BC=V5,AC=2^5(1分)
•:
OC2=OAOB,,又ZBOC=ZCOA
OCOA
:
.\BOC-\COA,AZOCB=ZOAC(1分)
・・・\PBC和AABC相似时,分下列两种情况:
311
:
・OP=OC—CP=2——=-,/.P(Q-).(2分)
222
2。
当竺=竺时,得头空..心』,
BCABV533
1044
AOP=CP-OC=——2=-,・・・P(0,—一).(2分)
333
14综合1。
、2。
,当APBC和AA3C相似时P(0,-)或P(0,-一).
23
3.如图,己知直线y=x与二次函数y二<+加+c的图像交于点人、0,(0是处标原点),
点P为二次函数图像的顶点,0A=3&,AP的中点为B.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求线段0B的长;
(3)若射线0B上存在点0,使得△A0Q与相似,求点Q的朋标.
・・•点A在直线y=x上,且0A=3y/2・・・A(3,3)
・・•点0(0,0)A(3,3)在y=x2-^bx+c的图像上,
・•・二次函数的解析式为y=/_2x(1分)
(2)由题意得顶点P(l,-1)(1分)
(2分)
AA0=3^2,PO=-x/2,AP=2a/5
・・・AO2+PO2=AP2:
.ZAOP=90°
VZAOP=90°,3为AP的中点/.OB=y/5(1分)
(3)VZAOP=90°,B为AP的中点AOB=AB:
.ZAOB=ZOAB
若A40Q与zMOF
A()APO「
贝ij①△AOPsAoqa.・・一=—.•.OQ.=-V5(1分)
OQOA15
AHAp「
®/\AOP^/\OAQ:
.——=——OQ.=2V5(1分)
AOOQ-
189
•・・B(2,1)A2,(—,-),g2(4,2)(2分)
18Q
即点Q的处标0(—),a(4,2)时,△AOQ与相似。
4、在平面直角坐标系xOy(图12),已知抛物线y=ax2+4ax+c(a^0)经过4(0,4)、
B(-3,l)两点,顶点为C.
(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标;
(2)将
(1)中求得的抛物线沿y轴向上平移加(加>0)个单位,所得新抛物线与y轴
的交点记为点£>.当4ACD是等腰三角形时,求点D的坐标;
4.解:
(1)由抛物线y=ax2+4ax+c经过A(0,4),B(-3,l),
c=4,
9a—12a+c=1•
(1分)
解这个方程纟R,得
c=4,a=l.
(1分)
因此,所求的抛物线的表达式为y=/+4兀+4.
11111
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
■11111
-6・5-4-3-2
123456
-1
・2
由),=/+4兀+4=(兀+2)2,易得顶点C的处标为(一2,0).
x
(1分)
图12(1分)
(3)若点P在
(1)屮求得的抛物线的对称轴上,联结P0,将线段PO绕点P逆时针旋
转90。
得到线段PO',若点0’恰好落在
(1)屮求得的抛物线上,求点P的坐标.
图12-2
・・・ZO'EP=ZPCO=90°,ZO'PE=ZPOC,
PO=POf,・•・5O'PE竺5POC・
;・O'E=PC,PE=OC.
当点P在第二象限时(如图12-2),
0,E=PC=n,PE=OC=2,EC=2+n.
故而可得点O'的坐标为(〃—2,n+2).……(1分)
备注:
若点0’在第一彖限,其坐标也是5-2,n+2),下同.
:
•点0(n-2rn+2)恰好在y=(x+2)2±,/.(n-2+2)2=n+2.
整理,得a?
一〃—2=0.解得®=2,n2=-1(舍去).
故町得点F(-2,2)
当点P在第三象限时(如图12-3),
0fE=PC=-n,PE=0C=2,EC=2+n.由此可得点O'的坐标为(〃一2,〃+2)……(1分)
n+2)在抛物线y=(x+2)2上,
整理,得n2-n
图12-3
L
lA
9*
2
(1分)
(
P
・・・⑺一2+2尸—2=0,解得n}=2(舍去),n2=-1.
7
5.如图,在直角他标系xOy中,二次函数)-—〒+处+5的图像与x轴、y轴的公共点分
3
(1分)
(I分)
(1)
(2)
(3)
别为A(5,())、B,点C在这个二次函数的图像上,且横坐标为3・P'求这个二次函数的解析式;
求ABAC的正切值;
如果点D在这个二次函数的图像上,且ZDAC=45°,求点D的坐标.
5.解:
(1)J二次函数y=--x2+bx+5的图像经过点A
2
•••——x52+5/?
+5=0•
3
解得b=~.
3
77
・・・二次函数的解析式是}J=-±x2+-x+5.(1分)
33
(2)当兀二0时,得y=5.・・・B(0,5).(1分)
77
当x=3时,得v=--x32+-x3+5=6,・•・C(3,6).……(1分)33
联结BC.
■・・AB=7(5-0)2+(0-5)2=5^2,BC=7(0-3)2+(5-6)2=>/10,
AC=7(5-3)2+(0-6)2=2V10,
・・・AB2=BC2+AC2.
(1分)
(1分)
(1分)
(3)设D(m,h).
过点D作DE丄x轴,垂足为点E.贝I」AE=5-m,DE=n.
•・・A(5,0),B(0,5),・・・OA=OB.
乂•.・ZA0B=9O。
,.•・‘840=45。
,(1分)
即得上DAE+ZBAD=45°.
乂・・•ZDAC=45°,即Z^D+ZB4C=45°,
・•・ZDAE=ZBAC.
乂•・•ZDEA=ZACB=90°,
:
.'DAEs'BAC.(1分)
DEBC1
AE_AC_2
•I—-—=—.即得n=—(5-m).
5-m22
V点Q在二次函数y=-1兀2+*+5的图像上,
・227c1、
…——叶+—加+5=-(3-m)•
332
3
解得m{=—,m2=5(不合题意,舍去)•
4
323
6.已知:
如图九,二次函数y=-x2--x一兰的图
333
像与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),抛物线的顶点为Q,直线QB与y轴交于点E.
(1)求点E的坐标;
(2)在x轴上方找一点C,使以点C、0、B为顶点的三角形^jABOE相似,请直接写出点C的坐标.
6.(本题满分12分第
(1)小题6分,第
(2)小题6分)
⑴令炖,得討十一导0(I分)
解方程得X,=-2,x2=43(4,0)(1分)乂y二彳(兀_1)2_6
・・・Q(1,_6)(1分)
设直线BQ:
y=kx+b(k^O)j4k+b=0
[k+b=-6
解得y=—8(1+1分)
/.£(0,-8)(1分)
(2)G(0,2),C2(0,8),C3(4,2),C4(4,8),C5(^,|),C64,|)(6分)
JJ
7.如图,点A在兀轴上,0A=4f将线段OA绕点0顺时针旋转120。
至OB的位置.
(1)求点3的坐标;
(2)求经过点A、0、3的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,
使得以点、P、0、B为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,求点F的坐标;若不存在,说明理由.
7.解:
(1)如图,过点B作BC丄兀轴,垂足为的点C.
(1分)
VZAOB=nO°,・•.ZBOC=60°.乂TO4二0B=4,
;|0C|=2,0C|=2的.・・・点B的坐标为(-2,-2^3).(2分)
(2)・・・抛物线过原点0和点A、B,
・••可设抛物线的解析式为y=ax2+bx(a工0),(1分)
将4(4,0),5(-2,-2^3)代入,得
16a+4b=(),
4a-2b=-2^3.。
分)
解得
6
t2x/3b-.
3
・・・此抛物线的解析式为y=-—x+(2分)
63
(3)存在.(1分)
解:
如图,抛物线的对称轴是兀=2,直线兀=2与兀轴的交点为D,
设点P的丛标为(2,y).
①若OB=OP,贝lj22+lyl2=42,解得y=±2^3,
当尸2巧时,在Rt/\POD中,ZPDO=90。
pr\/o
sinZP0D=——=—,•••ZP0D=6O°.
OP2
•••ZPOB=ZPOD+ZAOB二60。
+120°=l80°,
即P、0、B三点在同一直线上.・・・尸2內不符合题意,舍去.
・••点P的坐标为(2,・2^3).
(1分)
2若BO=BP,贝lj42+ly+2a/3l2=42,解得)=-2^3.
・••点P的坐标为(2,-2^3).(1分)
3若PO=PB,贝lj22+lyl2=42+ly+2V3I2,解得尸-2翻.
・••点P的坐标为(2,-2x/3).(1分)
综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为(2,・2^3).(1分)
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