第7章初等模型.docx
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第7章初等模型
第七章初等模型
如果研究的问题或对象的机理比较简单,通常用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时,基本上就可以用初等数学的方法构造和求解模型。
本章通过椅子放稳、学生会代表名额分配、汽车的安全刹车距离、生
猪体重的估计、核军备竞赛、使用新材料与新方法的房屋节能效果等问题,介绍用初等数学构造和求解模型的方法与技巧。
需要说明的是,一个数学模型的好差在于其应用效果,不在于其使用了多么高深的数学方法与技巧。
也就是说,一个问题可用初等数学构造和求解模型,也可用高等数学构造和求解模型,如果应用效果差不多,那么前者是好的。
§7.1椅子能在不平的地面上放稳吗
一、问题的提出
这个问题来自日常生活中一件普通的事实:
把椅子往不平的地面一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只要稍微挪动几次,就可以使四只脚同时着地,放稳了。
请用数学模型证明为什么能放稳。
二、问题分析
此问题与数学有关吗?
由常识我们知道,椅子是不能在台阶上放稳的。
同样地,如果地面某处凹凸太厉害,以至于凹凸的幅度超过椅腿的长度,椅子也不能放稳。
所以椅子能在地面上放稳是指在相对平坦的连续地面上放稳。
通常椅子有四条一样长的腿,四脚共圆;椅脚一般加工成较小的“面”,椅子在地面上放稳是四脚同时着地,而椅脚着地只要椅脚面上有一点与地面上一点接触就可以了。
移动椅子有三种方法:
旋转;平移;平移加旋转。
其中旋转要设1个变量;平移要2个;平移加旋转要3个。
为了简单起见采用旋转法。
如何
旋转?
由于四脚共圆,绕这个圆心旋转。
三、假设
1、四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚共圆;
2、地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面;
3、地面相对平坦,使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。
四、建立模型
以椅子移动前四脚所在的平面建立平面直角坐标系(见图7.1.1),使
得四脚A、B、C、D共圆的圆心与坐标原点重合。
用表示旋转,则四脚与地面的距离随的变化而变化,即四脚与地
面的距离都是关于的一元函数,分别用hA()、hB()、hC()、hD()表示旋转后脚A、脚B、脚C、脚D与地面的距离。
由假设2可知,hA()、
hB()、hC()、hD()均为的连续函数。
这时问题转化为:
求0,使
hA(0)hB(0)hC(0)hD(0)0。
这是一个数学问题,如何解决?
很容易让我们想到用连续函数的基本
性质解决,但面对4个函数不好直接证明,只能寻求转化。
把4个函数变成2个函数,可以通过两对角线分别组合;对边分别组合;也可以一脚成
一个函数,另三脚组合成一个函数。
因此一般模型这样建立:
对于四脚与地面距离有4个函数,旋转前不
着地的几脚与地面距离之和记为f(),其它脚与地面距离之和记为g()。
显然f(),g()是连续函数;对任意,f()g()0,且g(0)0,
f(0)0。
证明:
存在0,使f(0)g(0)0。
y
B'
B
A'
A
C
O
x
C'
D'
D
图7.1.1椅子四脚坐标图
五、模型求解
将椅子旋转
,使f()0
。
令h(
)
f()g(
),由f(
),
g()的
连续性知h(
)连续,而且h(0)
0和h(
)
0
。
如果h(
)
0
,那么f()
g()
0
,即椅子旋转
后四脚同时着地。
如果h(
)
0
,那么h(0)h(
)
0
。
据连续函数的基本性质
必存在
00
使使h(0)0,即使f(
0)
g(
0)。
因为f()g()
0
所以
f(0)
g(0)
0,即椅子从初始位置旋转
0后四脚同时着地。
六、评注
如果四脚呈正方形,通过两对角线分别组合构造f(),g();将椅
子旋转/2而证明。
如果四脚呈矩形,通过两对边分别组合构造f(),
g();将椅子旋转而证明。
§7.2学生会代表名额分配
一、问题的提出
某高校一学院有3个系共1000名学生,其中甲系有500名,乙系300名,丙系200名。
若学生代表会议设20个席位,公平而又简单的是按学生
人数的比例分配,显然甲乙丙三系分别应占有10,6,4个席位。
丙系30名学生提出转系,经批准各有15名学生分别转到甲系和乙系。
按学生人数的比例分配,三系分别应占有10.3,6.3,3.4个席位。
但席位
数只能是自然数!
于是有比例加惯例的分配法:
将取得整数的19席以10,6,3分配完毕后,三系同意剩下的一席分给比例中小数最大的丙系,于是
三系分别占有10,6,4席。
因为有20席的代表会议在表决提案时可能出现10:
10的局面,会议决定下一届增加1席。
他们按照比例加惯例的分配
法重新分配席位,三系分别占有
11,7,3席。
显然这个对丙系太不公平了,
总席位增加1席,而丙系却由
4席减为3席。
上述例子说明我们要找到衡量公平分配席位的指标,并由此建立新的
分配方法。
二、问题分析
A,B两方公平席位的情况。
我们先讨论
设两方人数分别
为p1和p2,
占有席位分别是
n1和n2,则两方每个席位代表的
人数分别为p1/n1和
p2/n2,而且我们知道显然仅当
p1/n1p2
/n2时席位的分配才是公平的,
但是因为人数和席位都是整数,
所以通常是
p1/n1和p2/n2并不相等,这时
的席位分配不公平,并且
pi/ni
(i1,2)数值较大的一方吃亏,或者说对这
方不公平。
三、建立公平分配席位的指标
不妨假设p1
/n1
p2/n2,则不公平程度可用数值
p1/n1
p2/n2描述
不公平,它衡量是不公平的绝对程度,常常无法区分两种程度明显不同的
不公平情况。
为了改进上述绝对标准,自然想到用相对标准,即把
p1/n1
p2/n2
定义为对A的相对不公平度rA(n1,n2)。
同样可定义为对B
p2
/n2
的相对不公平度
p2/n2
p1
/n1
rB(n1,n2)
/n1
。
p1
建立了衡量不公平程度的数量指标后,制定席位分配的方案的原则是使它们尽可能小。
四、公平分配席位的方法
假设A,B两方已占有n1和n2席,利用相对不公平度rA和rB
讨论,当
总席位增加一席时,应该分配给
A还是B。
不失一般性可设
p1
/n1
p2
/n2,当再分配一席时,关于pi
/ni
(i1,2)
的不等式可能有以下
3
种情况:
(1)p1/(n1
1)
p2
/n2,这说明即使A方增加一席,仍然对A不公平,
所以这一席显然应该分给
A方。
(2)p1/(n1
1)
p2/n2,说明当A方增加一席时将变得对
B不公平,
这时我们可计算出对
B的相对不公平度为
rB(n1
1,n2)
p2/n2
p1/(n11)
p2(n1
1)
p1/(n11)
p1n2
1
(3)p1/n1
p2
/(n21)
,即当B方增加一席时对A不公平,这时我
们可以计算出对
A的相对不公平度为
rA(n1,n2
1)
p1/n1
p2/(n21)
p1(n2
1)
p2
/(n21)
1
p2n1
由于公平席位的原则是使得相对不公平度尽量地小,如果
2
p2
2
rA(n1,n21)
rB
(n1
1,
n2),即
p1
,那么这
1席分给A
n1(n11)
n2(n2
1)
2
2
方;如果rA(n1
n21)
rB(n1
1,n2),即
p2
p1
,那么这1
1)
n1(n11)
n2(n2
席分给B方。
pi
2
记Qi
(i
1,2),则增加的1
席应分给Q值较大的一方。
ni(ni
1)
此方法可以推广到有
m方分配席位的情况:
设第
i方人数为pi,已占
2
有个席位ni,i
m。
当总席位增加
1席时,计算Qi
pi
1,2,
,
ni(ni1)
i1,2,,m,应将这一席分给Q值最大的一方。
如果算到两个或两个以上的Q值同时达到最大值时该怎么办呢?
这时只能用抽签的方法解决了。
五、问题的解决
应是
回到某高校一学院学生代表会议21个席位的分配问题,前10,6,3的分配方案,接下来的工作就是用Q值法分配第
19个席位
20、21席
了。
对于第
20席,由
Q1
96.4
、Q2
94.5
、Q3
96.3
知这一席应该分给
甲系。
对于第21席,由Q1
80.4
、Q294.5
、Q3
96.3知这一席应该分给
丙系。
注:
用Q值法从第1个席位一直算到第
21个席位后,分配结果仍是
甲、乙、丙三系的席位分别为
11,6,4。
这样,21个席位的分配结果是三系分别占有
11,6,4席,丙系保住
了险些丧失的一席。
六、评注
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗?
m方人数分别为p1,p2
pm,记总人数为
m
待分配的
P
i1pi
总席位为N。
设理想情况下
m方分配的席位分别为
n1,n2
nm
(自然应
有N
m
ni(p1,p2,,pm,N)),记qi
piN/P,
i1ni,并且ni
i1,2,,m,则席位分配的理想化准则
(1)[qi]ni[qi]1,i1,2,,m;
(2)ni(p1,p2,,pm,N)ni(p1,p2,,pm,N1),i1,2,,m。
“比例加惯例”满足原则
(1)而不满足原则
(2);Q值法满足原则
(2),不满足原则
(1)。
那么到底有没有一种方法能同时满足两个原则呢?
令人遗憾的是,没有找到能同时满足这两个法则的分配方法。
七、问题
设席位数分别为1,2,,计算各方一名代表代表的人数,从每一方一
名代表代表的人数尽可能接近来分配代表席位。
请用这种方法(D’Hondt)
对本节开始的某高校一学院学生代表会议的席位进行分配,并说明这种方法满足原则
(2)而不满足原则
(1)。
如果你学习了概率论,能否从数学期望和方差的角度提出一种分配方
法?
§7.3汽车的安全刹车距离
一、问题的提出
美国某些汽车司机培训课程中的驾驶规则:
在正常驾驶条件下,车速
每增加10英里/小时,后车与前车的距离应增加一个车身长度。
我们称为“车身规则”。
实现这个规则的简便方法是“2秒法则”:
后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志,而不管车速如何。
需要解决的问题:
“2秒法则”与“车身规则”是否一样;通过建立数学模型,寻求更好的驾驶规则。
二、问题分析
常识:
刹车距离与车速有关。
“10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(9米)”大于“车身的平均长度15英尺(4.6米)”。
由此可见,“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同。
刹车距离由反应距离和制动距离构成。
而反应距离受司机的反应时间及汽车速度影响。
每个司机的大脑反应状况不同,不同汽车的制动系统灵活性有差异,为了确定反应距离,需要在汽车制动系统灵活的条件下假定
司机的反应时间为常数(可以通过若干司机反应时间的平均值表示)。
制动距离由汽车制动器作用力、车重、车速、道路、气候等确定,最大制动力与车质量成正比,使汽车作匀减速运动。
由于各汽车的车重、车速不尽相同,汽车行驶的道路以及气候也有差异,为了确定制动距离,需要假定道路、气候对制动距离没有影响。
三、假设
1、刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和;
2、道路、气候对制动距离没有影响,汽车制动系统灵活,汽车最大
制动力F与汽车质量m成正比(比例系数为正常数c),使汽车作匀减速运动;
3、司机的反应时间t1为常数,反应距离与汽车速度成正比。
四、建立模型
用v表示刹车前的汽车速度(大小)。
由假设3,有
d1
vt1
(7.3.1)
刹车时使用最大制动力
F,F作功等于汽车动能的改变,即
2
(7.3.2)
Fd2mv/2
由假设2有
F
cm
(7.3.3)
把式(7.3.3)代入式(7.3.2),并记(2c)1
k,有
d2
kv2
(7.3.4)
结合式(7.3.1)与式(7.3.4),有
dvt1kv2
(7.3.5)
式(7.3.5)即是所建立的模型,反映了刹车距离与汽车速度的关系。
五、参数的估计
反应时间t1的经验估计值为0.75秒,利用交通部门提供的一组实际数
据(表7.3.1前三列,第三列括号内的数字为最大实际刹车距离)拟合
k。
表7.3.1实际数据与拟合后的计算数据
车速
实际刹车距离计算刹车距离刹车时间
(英里/小时)
(英尺/秒)
(英尺)
(英尺)
(秒)
20
29.3
42(44)
39.0
1.5
30
44.0
73.5(78)
76.6
1.8
40
58.7
116(124)
126.2
2.1
50
73.3
173(186)
187.8
2.5
60
88.0
248(268)
261.4
3.0
70
102.7
343(372)
347.1
3.6
80
117.3
464(506)
444.8
4.3
使用最小二乘法,编写Mathematica程序:
b={{29.3^2,42-29.3*0.75},{44^2,73.5-44*0.75},{58.7^2,116-58.7*0.75},{73.3^2,173-73.3*0.75},{88^2,248-88*0.75},{102.7^2,343-102.7*0.75},{117.3^2,464-117.3*0.75}];
fp=ListPlot[b,{PlotStyle->{PointSize[0.2],RGBColor[0,1,0]}}]
ft=Fit[b,{1,x},x]
gp=Plot[ft,{x,20,120},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]
Show[fp,gp]
运行程序后,有k0.0256
。
把k0.0256
代入式(7.3.5),计算刹车距离(表
7.3.1第四列)。
依据最大实际刹车距离可得刹车时间
(表7.3.1最后一列)。
六、问题的解决
“秒准则”(见表7.3.2)。
“2秒准则”应作修正,修正的准则称为
t
表7.3.2
t
秒准则
车速(英里/小时)
0~10
10~40
40~60
60~80
t(秒)
1
2
3
4
七、评注
修正的“t秒准则”能在实际中应用吗?
实际上应考虑车辆型号与载重量,还要考虑路况与天气。
请有兴趣的同学组成小组与汽车生产企业或交通安全部门合作研究。
§7.4生猪体重的估计
一、问题的提出
猪肉是我国人民的主要副食品,因此生猪的生产、收购和屠宰对猪肉的市场供应起着重要的作用。
自然产生问题:
生猪养殖者、生猪收购者乃至屠宰者需要对生猪体重作出估计。
二、问题分析
对生猪体重估计通常通过体形来估计,但生猪体形与多个几何指标、生理指标和物理指标有关。
注意到建模目的是用简单的方法对生猪体重作出估计,那么考虑动物的复杂生理结构而用复杂的生物模型就没有实际使用价值。
对于每个生猪,很容易看到体长与肥瘦,这样问题转化为:
在区分肥瘦的情况下,能否通过生猪体长来估计生猪体重。
三、假设与符号
1、生猪的躯干是圆柱体,长为l、直径为d。
这样我们把生猪体长规
定为躯干的长度,不考虑头和尾巴的长度。
2、将躯干类比为弹性梁,弹性梁的断面面积、下垂度分别为
3、生猪的体重f与躯干的体积成正比,比例常数为c1。
4、躯干的相对下垂度b/l是与生猪的尺寸、肥瘦无关的常数以看为生猪长期进化的结果。
s、b。
c2,这可
四、建立模型
弹性梁的弹性规律
fl
3
(7.4.1)
bk
2
sd
这里k为下垂度系数,为常数。
由假设2,有
f
c1sl
(7.4.2)
由式(7.4.1)和式(7.4.2)有
b
l3
(7.4.3)
l
c1k
2
d
但由假设
4知b/l
c2,把它代入式(
7.4.3)有
2
c1k
3
(7.4.4)
d
l
c2
注意到s
d
2/4,把式(7.4.4)代入式(7.4.2)有
2
f
kc1
l
4
cl
4
(7.4.5)
4c2
2
其中c
kc1
。
于是所建立的模型为
4c2
fcl4
(7.4.6)
五、模型求解
模型fcl4中的比例系数c可依据不同年龄、不同类型的生猪的实际
测量数据利用最小二乘法确定。
六、评注
类比法是数学建模中常用的一种方法。
把动物的躯体类比为弹性梁一个是大胆的假设,其可信程度需要实际检验。
但这种充分发挥想象力,把动物躯干长度与体重的关系类比为弹性梁的扰曲问题是值得借鉴的。
七、问题
某地区有
n(n
2)个商品粮生产基地,各基地的粮食数量分别为
m1、
m2、⋯、mn
(单位:
吨),每吨粮食一距离单位运费为
c,为使各基地到
仓库的总运费最小,问仓库如何选址
?
作如下假设
1、各商品粮生产基地的粮食集中于一处;
2、各商品粮生产基地及仓库看作点;
3、各商品粮生产基地与仓库之间道路按直线段考虑。
建立平面直角坐标系
xOy
,各商品粮生产基地的坐标分别为(xi,yi
),
i1,2,,n;仓库的坐标为
(x,y),则各商品粮生产基地到仓库的总运费
n
xi)2
yi)2
为f(x,y)
cmi(x
(y
,于是模型为
i1
min
f(x,y)
n
cmi
(xxi
)2
(yyi)2
x,y
i1
由f(x,y)
0,
f(x,y)
0,即
x
y
n
mi
(x
xi
)
0
i
1
(x
xi
)
2
(y
yi)
2
n
mi
(y
yi
)
0
(x
xi
)
2
(y
yi)
2
i
1
难以求解模型。
请用类比法建立数学模型来解决仓库选址问题。
§7.5核军备竞赛
一、问题的提出
冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全,实行“核威慑战略”,核军备竞赛不断升级。
随着前苏联的解体和冷战的结束,双方通过了一系列的核
裁军协议。
在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张,而存在暂时的平衡状
态。
估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量,这个数量受哪些因素影响。
当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时,平衡状态会发生什么变化。
二、假设
以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。
1、假定双方采取如下同样的核威慑战略:
认为对方可能发起所谓第一
次核打击,即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地;己方在经受第一次核打击后,应保存足够的核导弹,给对方重要目标以毁灭性的打击。
2、在任一方实施第一次核打击时,假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。
3、摧毁这个基地的可能性是常数,它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。
三、问题分析
线
y
甲方有
f(x)
当x
x枚导弹,乙方所需的最少导弹数为y,则yf(x)。
下证曲
是一条上凸的曲线。
0时yy0。
y0为乙方的威慑值,表示甲方实行第一次打击后已
经没有导弹,乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数。
用
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