人教版数学九年级上册第22章二次函数能力提升训练.docx
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人教版数学九年级上册第22章二次函数能力提升训练
九年级上册第22章能力提升训练
一.选择题
1.下列各式中,y是x的二次函数的是( )
A.y=3x﹣1B.y=
C.y=3x2+x﹣1D.y=2x3﹣1
2.关于x的函数y=(m+2)x
是二次函数,则m的值是( )
A.2B.4C.﹣2或2D.﹣4或4
3.抛物线y=(x﹣3)2﹣5的顶点坐标是( )
A.(3,5)B.(﹣3,5)C.(3,﹣5)D.(﹣3,﹣5)
4.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为P(﹣1,0),则下列结论错误的是( )
A.b>0
B.a=c
C.当x>0时,y随x的增大而增大
D.若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,则x1+x2=2
5.如图,抛物线y=x2+2x﹣1与x轴相交于A,B两点,与y轴交于点C,点D在抛物线上,且CD∥AB,则线段CD的长为( )
A.2B.3C.4D.
6.二次函数y=﹣x2+4x+1的图象中,若y随x的增大而减小,则x的取值范围是( )
A.x<2B.x>2C.x<﹣2D.x>﹣2
7.将抛物线y=
x2+1绕顶点旋转180°,则旋转后的抛物线的解析式为( )
A.y=﹣2x2+1B.y=﹣2x2﹣1C.y=﹣
x2+1D.y=﹣
x2﹣1
8.关于二次函数y=﹣(x﹣2)2的图象,下列说法正确的是( )
A.开口向上
B.最高点是(2,0)
C.对称轴是直线x=﹣2
D.当x>0时,y随x的增大而减小
9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
10.在平面直角坐标系中,已知a≠b,设函数y=(x﹣a)(x﹣b)的图象与x轴有M个交点,函数y=(ax+1)(bx+1)的图形与x轴有N个交点,则( )
A.M=N﹣1或M=N+1B.M=N﹣1或M=N+2
C.M=N或M=N+1D.M=N或M=N﹣1
二.填空题
11.二次函数y=(x﹣5)2+8的最小值是 .
12.在平面直角坐标系中,将抛物线y=(x+1)2先向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到的抛物线的解析式是 .
13.二次函数y=x2﹣1图象的顶点坐标是 .
14.在平面直角坐标系中,将二次函数y=x2﹣2x+3的图象先向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为 .
15.已知实数a,b满足b2﹣a=3,则代数式a2+4a+4b2+1的最小值为 .
三.解答题
16.已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点(1,﹣4)和(﹣1,0).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)x在什么范围内,y随x增大而减小?
该函数有最大值还是有最小值?
求出这个最值.
17.已知抛物线y=x2﹣(m﹣3)x﹣m.求证:
无论m为何值时,抛物线与x轴总有两个交点.
18.某世界顶尖中国手机公司在市场销售“China2020”品牌手机,由于手机价格会随着时间的变化而变化,该手机在第x年(x为整数)的售价为y元,y与x满足函数关系式:
y=﹣500x+5000.该公司预计第x年的“China2020”手机的销售量为z(百万台),z与x的对应关系如表:
第x年
1
2
3
4
5
…
销售量z(百万台)
14
16
18
20
22
…
(1)求z与x函数关系式;
(2)设第x年“China2020”手机的年销售额为W(百万元),试问该公司销售“China2020”手机在第几年的年销售额可以达到最大?
最大值为多少百万元?
(3)若生产一台“China2020”手机的成本为3000元,如果你是该公司的决策者,要使得公司的累计总利润最大,那么“China2020”手机销售几年就应该停产,去创新新的手机?
19.如图,已知抛物线y=x2﹣(k+1)x+1的顶点A在x轴的负半轴上,且与一次函数y=﹣x+1交于点B和点C.
(1)求k的值;
(2)求△ABC的面积.
20.已知自变量x含绝对值的函数y=x2﹣2|x|+2=
.
(1)求该函数的最小值;
(2)当|x|≤m时,该函数的最小值为m1,最大值为m2,若m1+m2=4m,求m的值;
(3)若直线y=
与该函数的图象交于A、B两点,点C在该函数的图象上且位于直线AB的下方,是否存在点C使得△ABC的面积为整数?
若存在,请求出满足条件的点C的个数,若不存在请说明理由.
参考答案
一.选择题
1.解:
A、y=3x﹣1是一次函数,故此选项不合题意;
B、y=
不是二次函数,故此选项不合题意;
C、y=3x2+x﹣1是二次函数,故此选项符合题意;
D、y=2x3﹣1不是二次函数,故此选项不合题意;
故选:
C.
2.解:
∵关于x的函数y=(m+2)x
是二次函数,
∴m+2≠0且m2﹣2=2,
解得:
m=2,
故选:
A.
3.解:
抛物线y=(x﹣3)2﹣5的顶点坐标是(3,﹣5),
故选:
C.
4.解:
A.由开口方向知a>0,结合对称轴在y轴左侧知b>0,此选项正确;
B.将(﹣1,0)代入解析式得a﹣b+c=0,由x=﹣
=﹣1知b=2a,则a﹣2a+c=0,整理得a=c,此选项正确;
C.当x>0时,函数图象自左向右逐渐上升,所以此时y随x的增大而增大,此选项正确;
D.若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,则
=﹣1,即x1+x2=﹣2,此选项错误;
故选:
D.
5.解:
函数的对称轴为直线x=﹣1,
∵CD∥AB,
∴CD=1×2=2,
故选:
A.
6.解:
∵二次函数y=﹣x2+4x+1=﹣(x﹣2)2+5,
∴当x>2时,y随x的增大而减小,当x<2时,y随x的增大而增大,
∴若y随x的增大而减小,则x的取值范围是x>2,
故选:
B.
7.解:
y=
x2+1的顶点坐标为(0,1),
∵抛物线y=
x2+1绕顶点旋转180°,
∴旋转后的抛物线的顶点坐标还是(0,1),形状不变开口向下,
∴旋转后的抛物线的解析式为y=﹣
x2+1.
故选:
C.
8.解:
∵二次函数y=﹣(x﹣2)2的图象开口向下,
∴对称轴是x=2,顶点坐标是(2,0),
∴函数有最高点(2,0),当x>2时,y随x的增大而减小.
说法正确的是B
,
故选:
B.
9.解:
∵y=ax2+bx+c的图象的开口向下,
∴a<0,
∵对称轴在y轴的左侧,
∴b<0,
∴一次函数y=ax+b的图象经过二,三,四象限.
故选:
C.
10.解:
当y=0时,(x﹣a)(x﹣b)=0,解得x1=a,x2=b,抛物线y=(x﹣a)(x﹣b)与x轴的交点为(a,0),(b,0),
所以M=2,
当y=0时,(ax+1)(bx+1)=0,当a≠0,b≠0,解得x1=﹣
,x2=﹣
,抛物线y=(ax+1)(bx+1)与x轴的交点为(﹣
,0),(﹣
,0),此时N=2,
当a=0,b≠0,或b=0,a≠0时,函数y=(ax+1)(bx+1)为一次函数,则N=1,
所以M=N,M=N+1.
故选:
C.
二.填空题
11.解:
∵二次函数y=(x﹣5)2+8中a=1>0,
∴当x=5时,y取得最小值8,
故答案为:
8.
12.解:
将抛物线y=(x+1)2先向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到的抛物线的解析式是y=(x+1﹣2)2+3,即y=(x﹣1)2+3.
故答案为:
y=(x﹣1)2+3.
13.解:
二次函数y=x2﹣1图象的顶点坐标是:
(0,﹣1).
故答案为:
(0,﹣1).
14.解:
y=x2﹣2x+3
=(x﹣1)2+2,
∵将二次函数y=x2﹣2x+3的图象先向左平移1个单位,
∴得到的抛物线的解析式为:
y=x2+2,
∵再向下平移2个单位,
∴得到的抛物线的解析式为:
y=x2.
故答案为:
y=x2.
15.解:
∵b2﹣a=3,
∴b2=3+a,
∴3+a≥0,即a≥﹣3,
∴代数式a2+4a+4b2+1=a2+4a+4(3+a)+1=(a+4)2﹣3,
∴当a=﹣3时,代数式a2+4a+4b2+1有最小值为﹣2,
故答案为﹣2.
三.解答题
16.解;
(1)根据题意得
,解得
,
所以抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)∵y=(x﹣1)2﹣4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,﹣4),
∵a>0,
∴当x<1时,y随x增大而减小,该函数有最小值,最小值为﹣4.
17.证明:
a=1,b=﹣(m﹣3),c=﹣m.
△=b2﹣4ac=(m﹣3)2+4m
=m2﹣2m+9
=(m﹣1)2+8.
∵(m﹣1)2≥0,8≥0.
则△>0,
∴无论m为何值时,抛物线与x轴总有两个交点.
18.解:
(1)由表格数据看,z与x的对应关系为一次函数关系,设其表达式为z=kx+b,
将(1,14)、(2,16)代入上式得
,解得
,
故z=2x+12;
(2)由题意得:
W=(2x+12)(﹣500x+5000)=﹣1000(x﹣2)2+64000,
∵﹣1000<0,故抛物线开口向下,W有最大值,
当x=2(年)时,W最大值为64000(百万元),
第二年销售额最大,为64000百万元;
(3)由题意得:
(2x+12)(﹣500x+5000﹣3000)=0,
﹣1000(x+1)2+25000=0,
x1=4,x1=﹣6(舍),
∴第四年该手机应该停产.
19.解;
(1)∵抛物线y=x2﹣(k+1)x+1的顶点A在x轴的负半轴上,
∴
=0,且﹣
<0,
解得,k=﹣3;
(2)∵k=﹣3,
∴抛物线为y=x2+2x+1,
解x2+2x+1=﹣x+1得,x1=0,x2=﹣3,
∴B(﹣3,4),C(0,1),
由直线y=﹣x+1可知与x轴的交点D为(1,0),
∵抛物线为y=x2+2x+1=(x+1)2,
∴A(﹣1,0),
∴AD=2,
∴S△ABC=
×2×4﹣
=3.
20.解:
(1)当x≥0时,y=x2﹣2x+2,
对称轴为x=﹣
,
当x=1时,
,
当x<0时,y=x2+2x+2,
对称轴x=﹣
,
当x=﹣1时,
,
∴该函数的最小值为1;
(2)将|x|=m代入y=x2﹣2|x|+2得y=m2﹣2m+2,
当0<m≤1时,m2=2,
,
∴
,
∴m2﹣6m+4=0,
解得,
,
(舍去),
当x>1时,m1=1,
,
∴
,
∴m2﹣6m+3=0,
解得,
,
,
∴m的值为:
或
;
(3)存在,
联立方程组:
,
x≥0时,
,
整理得,7x2﹣19x﹣36=0,
解得,
,m1=﹣1(舍去),
x<0时,
,
整理得,7x2+9x﹣36=0,
解得,x1=﹣3,
(舍去),
∴A、B横坐标分别为
,﹣3;
∴
×|xA﹣xB|
=
=
,
要使S△ABC为整数,则
为14的倍数,
∴有2个.
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