高中数学等比数列练习题.docx
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高中数学等比数列练习题
一、等比数列选择题
1.已知单调递增数列的前n项和满足,且,记数列的前n项和为,则使得成立的n的最小值为()
A.7B.8
C.10D.11
2.已知是正项等比数列且,,成等差数列,则()
A.B.C.D.
3.已知等比数列中,,公比,则()
A.B.C.D.
4.已知数列满足,.设,,且数列是单调递增数列,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
5.已知等比数列的前n项和为Sn,则下列命题一定正确的是()
A.若S2021>0,则a3+a1>0B.若S2020>0,则a3+a1>0
C.若S2021>0,则a2+a4>0D.若S2020>0,则a2+a4>0
6.等比数列的各项均为正数,且.则()
A.3B.505C.1010D.2020
7.已知等比数列{an}中a1010=2,若数列{bn}满足b1=,且an=,则b2020=()
A.22017B.22018C.22019D.22020
8.等比数列的前项和为,,,则公比为()
A.B.或1C.1D.2
9.若1,,4成等比数列,则()
A.1B.C.2D.
10.已知等比数列的前项和的乘积记为,若,则的最大值为()
A.B.C.D.
11.等比数列中各项均为正数,是其前项和,且满足,,则=()
A.B.C.D.
12..在等比数列中,若,,则()
A.2B.2或C.D.
13.设等差数列的公差,若是与的等比中项,则()
A.3或6B.3或-1
C.6D.3
14.设等比数列的前项和为,若,,则()
A.31B.32C.63D.64
15.已知等比数列的通项公式为,则该数列的公比是()
A.B.9C.D.3
16.若数列是等比数列,且,则()
A.1B.2C.4D.8
17.已知等比数列的公比为2,其前n项和为,则=()
A.2B.4C.D.
18.数列满足:
点(,)在函数的图像上,则的前10项和为()
A.4092B.2047C.2046D.1023
19.已知正项等比数列满足,若存在两项,使得,则的最小值为()
A.B.C.D.
20.在数列中,,,则()
A.32B.16C.8D.4
二、多选题
21.在数列中,如果对任意都有(为常数),则称为等差比数列,k称为公差比下列说法正确的是()
A.等差数列一定是等差比数列
B.等差比数列的公差比一定不为0
C.若,则数列是等差比数列
D.若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比
22.设数列的前项和为,关于数列,下列四个命题中正确的是()
A.若,则既是等差数列又是等比数列
B.若(,为常数,),则是等差数列
C.若,则是等比数列
D.若是等差数列,则,,也成等差数列
23.已知等差数列,其前n项的和为,则下列结论正确的是()
A.数列|为等差数列B.数列为等比数列
C.若,则D.若,则
24.已知正项等比数列的前项和为,若,,则()
A.必是递减数列B.C.公比或D.或
25.已知数列的前项和为,,数列的前项和为,,则下列选项正确的是()
A.B.C.D.
26.关于递增等比数列,下列说法不正确的是()
A.当B.C.D.
27.在等比数列{an}中,a5=4,a7=16,则a6可以为()
A.8B.12
C.-8D.-12
28.已知数列满足,,,是数列的前n项和,则下列结论中正确的是()
A.B.
C.D.
29.已知等比数列的公比为q,前n项和,设,记的前n项和为,则下列判断正确的是()
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
30.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:
1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”,记为数列的前项和,则下列结论正确的是()
A.B.
C.D.
31.已知正项等比数列满足,,若设其公比为q,前n项和为,则()
A.B.C.D.
32.定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列,数列仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的四个函数中,是“保等比数列函数”的为()
A.B.
C.D.
33.已知数列{an}为等差数列,首项为1,公差为2,数列{bn}为等比数列,首项为1,公比为2,设,Tn为数列{cn}的前n项和,则当Tn<2019时,n的取值可以是下面选项中的()
A.8B.9C.10D.11
34.在递增的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1a4=32,a2+a3=12,则下列说法正确的是()
A.q=1B.数列{Sn+2}是等比数列
C.S8=510D.数列{lgan}是公差为2的等差数列
35.对于数列,若存在数列满足(),则称数列是的“倒差数列”,下列关于“倒差数列”描述正确的是()
A.若数列是单增数列,但其“倒差数列”不一定是单增数列;
B.若,则其“倒差数列”有最大值;
C.若,则其“倒差数列”有最小值;
D.若,则其“倒差数列”有最大值.
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一、等比数列选择题
1.B
【分析】
由数列与的关系转化条件可得,结合等差数列的性质可得,再由错位相减法可得,即可得解.
【详解】
由题意,,
当时,,
所以,
整理得,
因为数列单调递增且,所以,即,
当时,,所以,
所以数列是以为首项,公差为1的等差数列,
所以,
所以,
,
所以,
所以,
所以,,
所以成立的n的最小值为8.
故选:
B.
【点睛】
关键点点睛:
解决本题的关键是数列与关系的应用及错位相减法的应用.
2.D
【分析】
根据,,成等差数列可得,转化为关于和的方程,求出的值,将化简即可求解.
【详解】
因为是正项等比数列且,,成等差数列,
所以,即,所以,
解得:
或(舍),
,
故选:
D
3.A
【分析】
由等比数列的通项公式可计算得出,代入数据可计算得出结果.
【详解】
由.
故选:
A.
4.C
【分析】
由可知数列是公比为2的等比数列,,得,结合数列{bn}是单调递增数列,可得对于任意的*恒成立,参变分离后即可得解.
【详解】
由可知数列是公比为2的等比数列,
所以,
∵数列是单调递增数列,
∴对于任意的*恒成立,
即,整理得:
,
故选:
C.
【点睛】
本题主要考查了已知数列的单调性求参,一般研究数列的单调性的方法有:
一、利用数列单调性的定义,由得数列单增,得数列单减;
二、借助于函数的单调性研究数列的单调性.
5.A
【分析】
根据等比数列的求和公式及通项公式,可分析出答案.
【详解】
等比数列的前n项和为,当时,
,
因为与同号,
所以,
所以,
当时,
,
所以,
所以,
综上,当时,,
故选:
A
【点睛】
易错点点睛:
利用等比数列求和公式时,一定要分析公比是否为1,否则容易引起错误,本题需要讨论两种情况.
6.C
【分析】
利用等比数列的性质以及对数的运算即可求解.
【详解】
由,
所以
.
故选:
C
7.A
【分析】
根据已知条件计算的结果为,再根据等比数列下标和性质求解出的结果.
【详解】
因为,所以,
因为数列为等比数列,且,
所以
所以,又,所以,
故选:
A.
【点睛】
结论点睛:
等差、等比数列的下标和性质:
若,
(1)当为等差数列,则有;
(2)当为等比数列,则有.
8.A
【分析】
由,列出关于首项与公比的方程组,进而可得答案.
【详解】
因为,
所以,
所以,
解得,
故选:
A.
9.B
【分析】
根据等比中项性质可得,直接求解即可.
【详解】
由等比中项性质可得:
,
所以,
故选:
B
10.A
【分析】
根据得到,再由,求得即可.
【详解】
设等比数列的公比为,
由得:
,
故,即.
又,
所以,
故,
所以,
所以的最大值为.
故选:
A.
11.D
【分析】
根据等比数列的通项公式建立方程,求得数列的公比和首项,代入等比数列的求和公式可得选项.
【详解】
设等比数列的公比为.∵,
∴,即.
∴,∴或(舍去),
∵,∴,
∴,
故选:
D.
12.A
【分析】
由等比数列的性质可得,且与同号,从而可求出的值
【详解】
解:
因为等比数列中,,,
所以,
因为,所以,
所以,
故选:
A
13.D
【分析】
由是与的等比中项及建立方程可解得.
【详解】
是与的等比中项
,
,.
故选:
D
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的基础知识,属于基础题.
14.C
【分析】
根据等比数列前项和的性质列方程,解方程求得.
【详解】
因为为等比数列的前项和,所以,,成等比数列,
所以,即,解得.
故选:
C
15.D
【分析】
利用等比数列的通项公式求出和,利用求出公比即可
【详解】
设公比为,等比数列的通项公式为,
则,,,
故选:
D
16.C
【分析】
根据等比数列的性质,由题中条件,求出,即可得出结果.
【详解】
因为数列是等比数列,由,得,
所以,因此.
故选:
C.
17.C
【分析】
利用等比数列的通项公式和前项和公式代入化简可得答案
【详解】
解:
因为等比数列的公比为2,
所以,
故选:
C
18.A
【分析】
根据题中条件,先得数列的通项,再由等比数列的求和公式,即可得出结果.
【详解】
因为点(,)在函数的图像上,
所以,因此,
即数列是以为首项,以为公比的等比数列,
所以的前10项和为.
故选:
A.
19.B
【分析】
设正项等比数列的公比为,由,可得,解得,根据存在两项、使得,可得,.对,分类讨论即可得出.
【详解】
解:
设正项等比数列的公比为,
满足:
,
,
解得,
存在两项、使得,
,
,
,的取值分别为,,,,,
则的最小值为.
故选:
B.
20.C
【分析】
根据,得到数列是公比为2的等比数列求解.
【详解】
因为,
所以,
所以数列是公比为2的等比数列.
因为,
所以.
故选:
C
二、多选题
21.BCD
【分析】
考虑常数列可以判定A错误,利用反证法判定B正确,代入等差比数列公式判定CD正确.
【详解】
对于数列,考虑,无意义,所以A选项错误;
若等差比数列的公差比为0,,则与题目矛盾,所以B选项说法正确;
若,,数列是等差比数列,所以C选项正确;
若等比数列是等差比数列,则,
,所以D选项正确.
故选:
BCD
【点睛】
易错点睛:
此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意:
(1)常数列作为特殊的等差数列公差为0;
(2)非零常数列作为特殊等比数列公比为1.
22.BCD
【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解.
【详解】
选项A:
得是等差数列,当时不是等比数列,故错;
选项B:
,得是等差数列,故对;
选项C:
,当时也成立,是等比数列,故对;
选项D:
是等差数列,由等差数列性质得,,是等差数列,故对;
故选:
BCD
【点睛】
熟练运用等差数列的定义、性质、前项和公式是解题关键.
23.ABC
【分析】
设等差数列的首项为,公差为,,其前n项和为,结合等差数列的定义和前n项的和公式以及等
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