小学奥数25完全平方数知识交流.docx
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小学奥数25完全平方数知识交流
小学奥数25完全平方数
2.7完全平方数
2.7.1相关概念
完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1,2*2,3*3等等,依此类推。
若一个数能表示成某个整数的平方的形式,则称这个数为完全平方数。
完全平方数是非负数。
2.7.2性质推论
例如:
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…
观察这些完全平方数,可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质:
性质1:
末位数只能是0,1,4,5,6,9。
此为完全平方数的必要不充分条件,且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数”,0为整数,故0是完全平方数
性质2:
奇数的平方的个位数字一定是奇数,十位数字为偶数;偶数的平方的个位数字一定是偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一:
10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9
分别平方后,得
(10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)2=100a2+100a+25=20(5a+5a+1)+5
(10a+7)2=100a2+140a+49=20(5a+7a+2)+9
(10a+9)2=100a2+180a+81=20(5a+9a+4)+1
综上各种情形可知:
奇数的平方,个位数字为奇数1,5,9;十位数字为偶数。
性质3:
如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。
证明已知m2=10k+6,证明k为奇数。
因为k的个位数为6,所以m的个位数为4或6,于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)2=100+(8n+1)x10+6
或10k+6=(10n+6)2=100+(12n+3)x10+6
即k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴k为奇数。
推论1:
如果一个数的十位数字是奇数,而个位数字不是6,那么这个数一定不是完全平方数。
推论2:
如果一个完全平方数的个位数字不是6,则它的十位数字是偶数。
性质4:
(1)凡个位数字是5,但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数;
(2)末尾只有奇数个“0”的自然数(不包括0本身)不是完全平方数;
100,10000,1000000是完全平方数,10,1000,100000等则不是完全平方数。
(3)个位数字为1,4,9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
需要说明的是:
个位数字为1,4,9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数,如:
11,31,51,74,99,211,454,879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。
但个位数字为1,4,9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。
如:
21,44,89不是完全平方数,但49,64,81是完全平方数。
性质5:
偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为(2k+1)2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1 (2k)2=4k2
性质6:
奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。
在性质4的证明中,由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数;由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。
性质7:
完全平方数的形式必为下列两种之一:
3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类:
3m,3m+1,3m+2。
平方后,分别得
(3m)2=9m2=3k
(3m+1)2=9+6m+1=3k+1
(3m+2)2=9+12m+4=3k+1
同理可以得到:
性质8:
不能被5整除的数的平方为5k±1型,能被5整除的数为5k型。
性质9:
平方数的形式具有下列形式之一:
16m,16m+1,16m+4,16m+9。
除了上面关于个位数,十位数和余数的性质之外,还可研究完全平方数各位数字之和。
例如,256它的各位数字相加为2+5+6=13,13叫做256的各位数字和。
如果再把13的各位数字相加:
1+3=4,4也可以叫做256的各位数字的和。
下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加,如果得到的数字之和不是一位数,就把所得的数字再相加,直到成为一位数为止。
我们可以得到下面的命题:
一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
下面以四位数为例来说明这个命题。
设四位数为,则
1000a+100b+10c+d
=999a+99b+9c+(a+b+c+d)
=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
显然,a+b+c+d是四位数被9除的余数。
对于n位数,也可以仿此法予以证明。
关于完全平方数的数字和有下面的性质:
性质10:
完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
证明因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式,而
(9k)2=9(9k2)+0
(9k±1)2=9(9k2±2k)+1
(9k±2)2=9(9k2±4k)+4
(9k±3)2=9(9k2±6k)+9
(9k±4)2=9(9k2±8k+1)+7
性质11:
a2b为完全平方数的充分必要条件是b为完全平方数。
性质12:
如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数。
证明由题设可知,a有质因数p,但无因数,可知a分解成标准式时,p的次方为1,而完全平方数分解成标准式时,各质因数的次方均为偶数,可见a不是完全平方数。
性质13:
在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。
即若 n2 性质14: 一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。 2.7.3重要结论 1、个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数; 2、个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数; 3、个位数是6,十位数是偶数的整数一定不是完全平方数; 4、形如3n+2型的整数一定不是完全平方数; 5、形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数; 6、形如5n±2型的整数一定不是完全平方数; 7、形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数; 8、数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。 9、四平方和定理: 每个正整数均可表示为4个整数的平方和 10、完全平方数的因数个数一定是奇数。 2.7.4典型例题 例1一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数,求此数。 解: 设此自然数为x,依题意可得 x-45=m2⑴ x+44=n2⑵ (m,n为自然数) ⑵-⑴可得: n^2-m^2=89 因为n+m>n-m 又因为89为质数, 所以: n+m=89;n-m=1 解之,得n=45。 代入⑵得。 故所求的自然数是1981。 例2求证: 四个连续的整数的积加上1,等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。 解: 设四个连续整数分别为n-1、n、n+1、n+2. 这时, (n-1)n(n+1)(n+2)+1 =…① 易知该式可被分解为两个二次因式的乘积,设为 得ad=1,ae+bd=2,af+be+cd=-1,bf+ce=-2,cf=1,解得a=d=e=b=1,c=f=-1 故①可被分解为,因为n与n+1是连续两个整数,故n(n+1)为偶数,所以[n(n+1)-1]为奇数,即(n-1)n(n+1)(n+2)+1为一个奇数的平方。 例3求证: 11,111,1111,11111……这串数中没有完全平方数。 (1972年基辅数学竞赛题。 解: 易知该串数中若存在完全平方数,则为末尾是1或9的数的平方。 当该串数中存在末尾为1的数的平方时,则,其中n、k为正整数。 但,易知n2需满足十位数为偶数,矛盾。 解2: 完全平方数除以四余数为0或1,而根据除以四余数性质(一个数除以四的余数=这个数末两位除以四的余数)可得,这串数除以四余数为3,矛盾,所以这串数中没有完全平方数。 例4用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数? 解: 设由300个2和若干个0组成的数为A,则其数字和为600 3|600∴3|A 此数有3的因数,故9|A。 但9|600,∴矛盾。 故不可能有完全平方数。 例5试求一个四位数,它是一个完全平方数,并且它的前两位数字相同,后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。 解: 设该四位数为1000a+100a+10b+b,则 1000a+100a+10b+b=1100a+11b=11(100a+b) 故100a+b必须被11整除=>a+b被11整除,又因为(a+b)≤18 所以a+b=11, 带入上式得四位数=11×(a×100+(11-a))=11×(a×99+11)=11×11×(9a+1) 故9a+1必须为完全平方数。 由a=2、3、4、5、6、7、8、9验证得,9a+1=19、28、27、46、55、64、73。 所以只有a=7一个解;此时b=4。 因此四位数是7744=112×82=88×88。 例6求满足下列条件的所有自然数: ⑴它是四位数。 ⑵被22除余数为5。 ⑶它是完全平方数。 解: 设,其中n,N为自然数,可知N为奇数。 11|N-5或11|N+6 或 n=1不合 n=21369 n=334812601 n=465615329 n=59025 所以此自然数为1369,2601,3481,5329,6561,9025。 例7矩形四边的长度都是小于10的整数(单位: 公分),这四个长度数可构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这四位数是一个完全平方数,求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。 解: 设千位与百位的数字为A,十位与个位数字为B 则该四位数为: 1000A+100A+10B+B=11*(100A+B)且为完全平方数 所以100A+B能被11整除=>A+B能被11整除,又因为A+B≤18 故A+B=11 易知100A+B除以11后得数为完全平方数,且各个数位之和为10 验证得该数64 所以A=7,B=4,则四位数是7744 例8求一个四位数,使它等于它的四个数字和的四次方,并证明此数是唯一的。 (1986年第27届IMO试题)设正整数d不等于2,5,13,求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a,b,使得ab-1不是完全平方数。 解: 显然2*5-1=92*13-1=255*13-1=64都为完全平方数 假设2d-1为完全平方数,注意到d为正整数,2d-1为奇数不妨设2d-1=(2n-1)^2得d=2n^2-2n+1 此时5d-1=10n^2-10n+4不是完全平方数 同理假设5d-113d-1为完全平方数可以分d为奇偶去证明. 例9求k的最大值,使2010可以表示为k个连续正整数之和。 解: 假设这k个数为a,a+1,a+2,...,a+(k-1) 它们的和为ka+k(k-1)/2=2010 k(k+2a-1)=2*2010=2^2*5*3*67=60*67 显然k最大只能是60,此时a=4 例10某校2001年的学生人数是个完全平方数。 该校2002年的学生人数比上一年多101人,这个数字也是完全平方数。 该校2002年学生人数是多少? 解: 设2001年的学生人数是X^2,2002年的学生人数是Y^2,则 Y^2-X^2=101即: (Y+X)(Y-X)=101=101*1 所以: X+Y=101Y-X=1 解之得Y=56X=55 所以该校2002年的学生人数是: 56*56=3136
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