机械优化设计课后习题答案.docx
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机械优化设计课后习题答案
第一章习题答案
1-1某厂每日(8h制)产量不低于1800件。
计划聘请两种不同的检验员,一级检验员的标准为:
速度为25件/h,正确率为98%,计时工资为4元/h;二级检验员标准为:
速度为15件/h,正确率为95%,计时工资3元/h。
检验员每错检一件,工厂损失2元。
现有可供聘请检验人数为:
一级8人和二级10人。
为使总检验费用最
省,该厂应聘请一级、二级检验员各多少人?
解:
(1)确定设计变量;
解:
(1)确定设计变量;
2)建立数学模型的目标函数;取弹簧重量为目标函数,即:
22
f(X)=rx1x2x3
4
3)本问题的最优化设计数学模型:
g2(X)=10-x2≤0
g3(X)=x2-50≤0
g4(X)=3-x3≤0
g5(X)=(1x1)8Fx32≤0
2x2x1
3
8Fx2x3≤0
g6(X)=4≤0
Gx14
3
1-3某厂生产一个容积为
8000cm3的平底、无盖的圆柱形容器,要求设计此容器消耗原材料最少,试写出这
x1底面半径r
x2高h
一优化问题的数学模型。
解:
根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为
表面积为目标函数,即:
x12+2x1x2
考虑题示的约束条件之后,该优化问题数学模型为:
minf(X)=
T2
X=[x1,x2]∈R
s.t.g1(X)=-x1≤0
g2(X)=-x2≤0
2
h1(X)=8000-x12x2=0
3
4元、6元和12
1-4要建造一个容积为1500m3的长方形仓库,已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为元。
基于美学的考虑,其宽度应为高度的两倍。
现欲使其造价最低,试导出相应优化问题的数学模型。
解:
(1)确定设计变量;
根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为
X=
x2
宽;
x3
高
x1长
2)建立数学模型的目标函数;取总价格为目标函数,即:
f(X)=8(x1x3+x2x3)+6x1x2+12x1x2
3)建立数学模型的约束函数;
3
1)仓库的容积为1500m3。
即:
1500-x1x2x3=0
2)仓库宽度为高度的两倍。
即:
x2-2x3=0
3)各变量取值应大于0,即:
x1>0,x2.>0.,则-x1≤0,-x2≤0
4)本问题的最优化设计数学模型:
3·minf(X)=8(x1x3+x2x3)+18x1x2X∈R
s.t.g1(X)=-x1≤0
g2(X)=-x2≤0
g3(X)=-x3≤0h1(X)=1500-x1x2x3=0
h2(X)=x2-2x3=0
1-5绘出约束条件:
222
x1x28;2x1x28;x1x24所确定的可行域
1-6试在三维设计空间中,用向量分别表示设计变量:
X1[132T;]X2[234]T;X3[414]T。
第二章习题答案
2-1请作示意图解释:
X(k1)X(k)(k)S(k)的几何意义。
2-2已知两向量P1[1220]T,P2[2021]T,求该两向量之间的夹角。
2-3求四维空间内两点(1,3,1,2)和(2,6,5,0)之间的距离。
2-4计算二元函数f(X)x13x1x225x16在X(0)[11]T处,沿方向S[12]T的方向导数fs'(X(0))
和沿该点梯度方向的方向导数f'(X(0))。
2-5已知一约束优化设计问题的数学模型为
22minf(X)(x13)2(x24)2
X[x1,x2]Tg1(X)x1x250g2(X)x1x22.50g3(X)x10g4(X)x20
求:
(1)以一定的比例尺画出当目标函数依次为f(X)1、2、3、4时的四条等值线,并在图上画出可行区的范围。
(2)找出图上的无约束最优解X1和对应的函数值f(X1),约束最优解X2和f(X2);
(3)若加入一个等式约束条件:
h(X)x1x20
求此时的最优解X3,f(X3)。
解:
下图为目标函数与约束函数(条件)设计平面其中的同心圆是目标函数依次为f(X)=1、2、3、值线;阴影的所围的部分为可行域。
由于目标函数的等值线为一同心圆,所以无约束最优解为该圆圆心即:
*T
X1*=[3,4]T
函数值f(X1*)=0。
而约束最优解应在由约束线g1(X)=0,g2(X)=0,g3(X)=0,g4(X)=0,组成的可行域(阴影线内侧)
*x1x250
内寻找,即约束曲线g1(X)=0与某一等值线的一个切点X2*,可以联立方程:
12,解得x1x210X2*=[2,3]。
*22
函数值f(X2*)=(2-3)2+(3-4)2=2。
加入等式约束条件,则X3*为可行域上为h1(X)=0上与某一条等值线的交点,可以联立方程:
4222
2-6试证明在(1,1)点处函数f(X)x142x12x2x12x222x15具有极小值。
证明:
求驻点:
f(X)4x134x1x22x12,f(X)2x122x2
x1x2
海赛矩阵H(X)10424
42
2-7求函数f(X)3x122x222x1x210的极值点,并判断其极值的性质。
f(X)f(X)
解:
6x12,4x21
x1x2
x1
由f(X)0,f(X)0,得:
极值点x*[1/31/4]T,极值f(x*)229/24x2
H(X)是正定的,所以,f(X)为凸函数。
得:
极值点X*[1/31/4]T,极值f(x*)229/24
22
2-8试判断函数f(X)2x12x222x1x2x11的凸性。
H(X)是正定的,
所以,f(X)为凸函数。
是一个凸函数。
各阶主子式:
a11a12a1120,
a21a22
H(X)是正定的,
所以,f(X)为凸函数。
2-10现已获得优化问题
2
minf(X)4x1x2212
s.t.g1(X)x12x22250
22
g2(X)x12x2210x110x2340
22
g3(X)(x13)2(x21)20
g4(X)x10
g5(X)x20
的一个数值解X[1.000,4.900]T,试判定该解是否上述问题的最优解。
第三章习题答案
3
3-1函数f(X)3x38x9,当初始点分别为x00及x01.8时,用进退法确定其一维优化的搜索区间,取初始步长T00.1。
解:
当x00时
(1)取TT00.1,A10,A2T0.1
F1F(A1)f(X(0))9
XX(0)A2S=0.1
F2F(A2)f(X(0)A2S)8.203
比较F1、F2,因F1F2,所以应作前进搜索。
⑵步长加倍:
T2T0.2,A2A2T120.3
F1F28.203
XX(0)A2S=0.3
F2F(A2)f(X(0)A2S)6.681
再比较F1、F2,因F1F2,所以还应再向前搜索,为此应舍去上一次的A1点。
所以:
A1A2T0.30.20.1。
(3)步长加倍:
T2T0.4,A2A2T0.30.40.7
F1F26.681
XX(0)A2S=0.7
F2F(A2)f(X(0)A2S)4.429.
比较F1、F2,因F1F2,所以还应再向前搜索,A1A2T0.70.40.3。
(4)步长加倍:
T2T0.8,A2A2T1.5
F1F24.429
XX(0)A2S=1.5
F2F(A2)f(X(0)A2S)7.125.
比较F1、F2,因F1F2。
已找到具有“高-低-高”特征的区间
即:
1A10.3时,F
(1)6.681
2A2T0.7时,F
(2)4.429
3A21.5时,F(3)7.125。
所以,F
(1)F
(2)F(3),单峰区间为:
A1A10.3,B3A21.5。
当x01.8时
同理可得:
A1A11.5,B3A20.3
3-
0.05。
2用黄金分割法求函数F()22在区间[35]中的极小点,要求计算到最大未确定区间长度小于解:
(1)在初始区间[a,b]=[-3,5]中取计算点并计算函数值
(1)b0.618(ba)0.056;f1f(
(1))0.115136
(2)a0.618(ba)1.944;f2f(
(2))7.667
(2)比较函数值,缩短搜索区间
因有f1≤f2,则b
(2)1.944;f2f(
(2))0.115136
(1)b0.618(ba)1.11139;f1f(
(1))0.98759
(3)判断迭代终止条件
b-a>ε不满足迭代终止条件,比较函数值f1、f2继续缩短区间。
将各次缩短区间的有关计算数据列于下表。
表黄金分割法的搜索过程
区间缩短次数
a
b
(1)α
(2)α
f1
f2
(原区间)
-3
5
0.056
1.944
0.115
7.667
1
-3
1.944
-1.111
0.056
-0.987
0.115
2
-3
0.056
-1.832
-1.111
-0.306
-0.987
3
-1.832
0.056
-1.111
-0.665
-0.987
-0.888
4
-1.832
-0.665
-1.386
-1.111
-0.851
-0.987
(5-8)略
9
-1.11122
-0.94097
-1.046
-1.006
-0.997867
-0.999964
3-3用二次插值法求函数F()832273的最优解。
已知搜区间为[02],选代精度0.01。
解:
采用Matlab编程计算得:
0.6207
3-4函数f(X)x12x1x2x222x14x2,取初始点为X(0)[22]T,规定沿X(0)点的负梯度方向进行一次
一维优化搜索,选代精度:
x105,f106。
(1)用进退法确定一维优化搜索区间;
(2)用黄金分割法求最优化步长及一维优化最优值;
(3)用二次插值法求最优化步长及一维优化最优值;
(4)上述两种一维优化方法在求解本题时,哪一个种方法收取更快,原因是什么?
解:
最优点X*[02]T,最优值f(X*)4二次插值法更快
3-5求F()
(1)
(2)2的极小点,选代精度x0.1,f0.1。
要求:
(1)从0出发,T00.1为步长确定搜索区间;
(2)用黄金分割法求极值点;
(3)用二次插值法求极值点。
解:
(1)①由已知条件可得,10,F1F
(1)4
21T00.1
F2F
(2)(21)(22)2(0.11)(0.12)23.971
因为F2F1,应作前进搜索。
②步长加倍,T2T00.2,F1F23.971,
22T0.10.20.3
F2F
(2)(21)(22)2(0.31)(0.32)23.757
因为F2F1,所以还应再向前搜索,为此应舍去上一次的1点。
所以:
120.3
③步长加倍,T2T0.4,F1F23.757,
22T0.30.40.7
22
F2F
(2)(21)(22)2(0.71)(0.72)22.873
因为F2F1,所以还应再向前搜索,为此应舍去上一次的1点。
所以:
120.7
④步长加倍,T2T0.8,F1F22.873,
22T0.70.81.5
F2F
(2)(21)(22)2(1.51)(1.52)20.625
因为F2F1,所以还应再向前搜索,为此应舍去上一次的1点。
所以:
121.5
⑤步长加倍,T2T1.6,F1F20.625,
22T1.51.63.1
22
F2F
(2)(21)(22)2(3.11)(3.12)24.961
因为F2F1,所以已找到具有“高—低—高”特征的区间
即10.7时,F
(1)2.873;
21.5时,F
(2)0.625;
33.1时,F(3)4.961。
2)由
(1)确定的搜索区间[0.7,3.1],利用Matlab进行黄金分割法一维优化搜索得:
*2.0082,f(*)(2.00821)(2.00822)22.023104
3)由
(1)确定的搜索区间[0.7,3.1],利用Matlab进行二次插值法一维优化搜索得:
*1.9504,f(*)(1.95041)(1.95042)27.258103
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