一 最优化问题.docx
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一最优化问题
第一讲统筹与优化
战国时期,齐威王与将军田忌赛马。
规定从自己的上等马、中等马、下等马中各选一匹来赛。
如果按同等马相比,田忌的马都不如齐威王的马,看来田忌要连输三局了。
后来,田忌请教了当时著名军事家孙膑,孙膑向田忌献策,设计了三种马出场的先后顺序:
第一场:
用下等马跟齐王的上等马比,田忌输了一场;
第二场:
用上等马跟齐王的中等马比,田忌赢了一场;
第三场:
用中等马跟齐王的下等马比,田忌又赢了一场。
结果,田忌以二比一获胜,这就是历史上有名的“田忌赛马”的故事。
故事中巧妙地安排上、中、下三种马出场参赛的顺序,就是一个“最优化”问题,这也是著名数学家华罗庚先生生前积极推广和普及的“统筹方法”和“优选法”。
通常我们所碰到的最优化问题,就是在某些条件的限制下,通过科学地规划安排,合理地设计,找到一种最佳方案,使所用的时间最少、或所耗的费用最少、或所需的人力最少。
在众多方案中寻求一种最合理、最科学的方案,这就是统筹与优化。
【例1】在一个漆黑的夜晚,A、B、C、D四个人结伴同行,途中要经过一座木桥,这座木桥最多能承受两个人的重量,如果单独过去A要1分钟,B要3分钟,C要8分钟,D要12分钟,而此时四个人只有一只手电简。
请同学们帮助他们设计一种最佳的过桥方法,使他们能在最短时间内通过这座桥?
思路点拨:
由于这座桥每次只能通过两个人,且只有一只手电简。
所以,必须两人同时过去.然后让其中一人回来送手电筒。
四个人要用最短的时问通过这座桥应从以下两方面考虑:
一是返回送手电筒的人用的时间越少越好,二是让用的时间最多的两个人一起过桥。
解方案一:
让两个用时较多的C、D一起过桥。
那么第一次过桥的人应是A和B,用时3分钟。
然后由A用1分钟时问把手电筒送回来,交给C、D,这两个人过桥时间为12分钟。
再由B用3分钟时间送回手电。
再由A、B同时过桥用时3分钟,返回送手电简用时1分钟。
全部通过所用时问为:
3+l+12+3+3=22(分).
方案二:
让用时最少的A去送其余三人。
A先送D过去,用时12分钟,然后用1分钟回来,A再送C过去,用时8分钟,然后用1分钟回来;A再和B过去,用时3分钟。
全部通过所用时问为:
12+l+8+1+3=25(分).
通过比较知,第一种方案用时较少。
答:
他们五人最短用22分钟通过这座木桥。
【例2】妈妈让小明给客人烧水沏茶,洗开水壶用1分钟,烧开水要用15分钟,洗茶壶要1分钟,洗茶杯要1分钟,放茶叶要2分钟。
小明算了一下,完成这些工作要花20分钟。
为了使客人早喝上茶,按照你认为最合理的安排,多少分钟就能沏茶了?
思路点拨:
题要做的事中,花时间最长的是烧开水,要15分钟。
所以不管
怎么安排,至少要15分钟才能沏上茶。
但在烧开水的同时,可以做洗茶壶、洗茶杯、放茶叶这三件事情.
解小明先洗开水壶用1分钟,接着烧开水用15分钟,在等待水开的过程中,同时洗茶壶、茶杯、拿茶叶,水开了就沏茶,这样用的时间最省,最省时间为1+15=16(分钟)。
具体程序如下图:
说明:
这个例子告诉我们,在做一件事时,经常会遇到如何统筹兼顾,科学安排,以加快工作进度,提高工作效率的问题。
为了省时间、提高效率,能同时去做的事应尽量同时去做。
【例3】车间里有5台机床同时出了故障,只有一个修理工,从第1台到第5台的修复,时间依次为15、8、29、7、10分钟。
每台机床停产一分钟造成经济损失5万元。
那么应怎样安排修复顺序,使经济损失最小?
最小是多少元?
思路点拨:
5台机床总的修复与等待的时间越少,经济损失越小,陪等修复时间长的机床越少越有利,因此,让修复时间长的陪等修复时间短的。
解总的等待与修复时间为:
7×5+8×4+10×3+15×2+29×1
=156(分钟)
损失5×156=780(万元)
答:
修复顺序为第4台、第2台、第5台、第1台,第3台,可使经济损失最少,此时最少的损失为780万元。
说明:
例3是一个比较简单的排队问题,为了使所用时间最少,在规划排队先后顺序时,应尽量让时间用的少的排在前面。
【例4】在一条公路上,每隔100千米有一个仓库,共有5个仓库。
1号仓库有10吨货物,2号仓库有20吨货物,5号仓库有40吨货物,其余两个仓库是空的,现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里,如果每吨货物运输1千米需要0.5元运输费,那么最少需要多少运费才行?
思路点拨:
要使运费最少,必须综合考虑两个因素:
(1)运走的货物尽可能少;
(2)要运货物运输的路程尽可能短。
一共有货物10+20+40=70(吨),先比较两端的货物,10<40,可以先把1号仓库中的10吨运往2号仓库,这样2号仓库就有了30吨,30<40,所以应该把2号的货物运往5号仓库。
解需要把货物都运往五号仓库,运费为:
0.5×(10×4×100+20×3×100)=5000(元)
想一想:
若一号仓库有30吨货物,二号仓库有20吨货物,其他仓库的货物不变,那么应该运往哪个仓库集中呢
说明:
这是一个厂址设置问题,常见解决方法为:
(1)如果只有两个原料产地,它们有一条公路相连,要在公路上找一处(包括两个产地在内)设工厂,使原料运输总量最少:
①如果两个原料产地产量一样,则工厂设在公路的任一点(包括端点)都行。
②如果两个原料产地产量不相等,则工厂应设在产量较大的原料产地,即把原料少的产地的原料往产量大的原料产地运,这叫“小往大靠”。
(2)如果不止两个原料产地,它们分布在一个道路设有圈的交通图上(图1-2)。
先计算各原料产地的原料总和,然后看各原料产地的产量,若小于总和的一半,则把它运往前一站,这叫“抓各端,小半进一站”。
反复运用这一原理,最后看原料都集中何处,这处便是厂址,它能使原料运输总量最少。
【例5】甲、乙两厂生产同一型号的西服,甲厂每月用16天的时间生产上衣,用14天的时间生产裤子,共生产896套西服;乙厂每月用12天的时间生产上衣,用18天的时间生产裤子,共生产1440套西服。
现在两个工厂合并,问每月(按30天计算)最多能生产多少套西服?
思路点拨:
安排生产时要发挥每个厂子的生产优势,让善于生产上衣的去生产上衣,让善于生产裤子的去生产裤子。
甲厂每天生产上衣:
896÷16=56(件),裤子:
896÷14=64(条);乙厂每天生产上衣:
1440÷12=120(件),裤子:
1440÷18=80(条)。
可知,甲厂生产裤子快,乙厂生产上衣快。
让甲厂专门生产裤子,乙厂先生产上衣与之配套,然后再独立生产。
解甲厂一个月可生产裤子:
896÷14×30=1920(条)
乙厂先生产上衣1920件与之配套,需1920÷(1440÷12)=16(天)
乙厂在剩下的30-16=14(天)中,可生产(1440÷30)×14=672(套)
两厂共生产:
1920+672=2592(套)
答每月最多能生产2592套西服。
说明:
科学安排要坚持两个原则:
一是效率优先,即让每个车间生产比另一个车间产量高的那种产品;二是成套生产,生产的上衣和裤子必须完全配套。
【例6】某公司运输队有2辆汽车,为4个工厂作循环运输,每个工厂需配备的装卸工如图1-6所示。
如果每个工厂固定的装卸工太多会造成人力浪费,可以让部分工人跟车。
那么派多少人跟车,怎样留人固定,才能使装卸工的总人数最少?
思路点拨:
先假定所有的装卸工都在各点等车,我们从每一个点抽出一名装卸工(共抽4人),每辆车上安排一人(共2人),则汽车到各点的装卸工的人数未变,但装卸工的人数可节约2人。
装卸工人数最少的工厂是4人,这样抽了4次后,各点人数为A(4人)、B(2人)、C(0人)、D(1人),此时人数不为0的点还有3个:
A、B、D,多于车辆数2,可以再从这三个点各抽1人,每辆车上再多派1人,又可节约1人。
若再继续抽调调整的话,装卸工人总数不会再减少,这时装卸工的总数是:
5×2+3+1=14(人)其中每辆车上5人。
每个工厂的人数分别为:
A(3人)、B(1人)、C(0人)、D(0人)
想一想:
若车队派出3辆车,怎样安排才能使装卸工的人数最少?
说明:
这类题我们可以采用“逐步调整法”来验证这一调整方案是否最优的。
注意,只有当人数不为0的工厂的数量不大于车的数量时,才停止抽调。
【例7】仓库里存有一批8米长的钢筋,现在要截出3米长的毛坯40根,2米长的毛坯40根,试设计最省料的下料方案。
问要几根原材料?
思路点拨:
最合理下料方案就是8米长的钢筋截取后所余下的废料最少。
可以把一根8米长的钢筋截成两种毛坯的不同方法一一枚举,如下表所示。
然后把不同方法综合起来,便达到题目的要求,构成一个下料方案。
解要使原材料最省,应该尽量不用有残料的方案二。
从表上看出,要截3米毛坯40根,如果用方案一截20根原材料,这时得到了3米毛坯40根,2米毛坯20根,再用方法三截5根原材料,可得2米毛坯20根,合起来正好满足题目要求。
说明:
一般来说,一定长度的材料要截取几种毛坯的下料问题,常常先通过枚举法列出几种截取方法,通过分析、比较,看哪几种方法残料比较少,然后得出最佳的下料方案。
【例8】北京和上海同时制成计算机若干台,北京可调运外地10台,上海可调运外地4台,现决定给重庆8台,汉口6台,若每台计算机的运费如下表,怎样调运使运费最省?
思路点拨:
先作图(见图1-7),使题中的条件集中在图上反映出来,便于分析。
根据“就近分配”的原则,先就近分配,然后进行适当调整。
假如上海的4台全发运汉口,北京10台发重庆8台,发汉口2台,这时总运费为800×8+400×2+300×4=8400(元)。
这时我们设想,北京一台改发汉口,节省运费400元,上海发汉口改为发重庆,经费增加200元,合计节省运费200元,于是将上海4台全发往重庆,北京发重庆的4台改发汉口,一共可节省200×4=800(元),这时总运费为8400-800=7600元。
解上海4台发往重庆,北京发4台至重庆,6台至汉口,总运费为:
500×4+800×4+400×6=7600(元)
答:
上海4台发往重庆,北京发4台至重庆,6台至汉口。
说明:
在确定最佳方案的过程中,要注意调整、比较的方法,本题中应该先比较一下需要量多运费也多的地方如何运最省。
练习一
1.用一只平底锅煎饼,每次只能放2个饼,煎一个需要2分钟(正、反面各1分钟)。
问:
(1)煎三个饼至少需要几分钟?
怎样煎?
(2)煎n个饼(n≥3)至少需要几分钟?
煎三个饼需要3分钟.方法:
两个饼先煎一面,1分钟后,拿下一个饼,另一个翻面并放上第三个饼,再煎1分钟,一个饼已煎好,把拿下去的饼及第三个饼都翻一面再煎1分钟就都煎好了.
煎n个饼用n分钟,当n为奇数时,先用上法煎三个饼,用去3分.余下偶数个饼,每两个饼用2分钟煎。
2.小明骑在牛背上赶牛过河,共有甲、乙、丙、丁4头牛。
甲牛过河需2分钟。
乙牛过河需3分钟,丙牛过河需6分钟,丁牛过河需7分钟。
每次只能赶两头牛过河,那么小明要把这4头牛都赶到对岸,最少要用几分钟?
18分钟提示:
甲、乙先过,甲回来,丙、丁一起过,乙回来,最后甲、乙过。
3.小明早晨起来淘米要2分钟,插上开关用电饭锅烧饭要18分钟,背外语单词要12分钟,刷牙洗脸要3分钟,吃早饭要8分钟,小明经过合理安排,起床后多少分钟就能上学了?
他是怎样合理安排的?
28分钟,安排顺序如图:
‘
4.某加油站能够对两辆车同时进行加油,现在有6辆车同时来到加油站加油,各辆车加油所需时间分别为:
A车7分钟,B车5分钟,C车4分钟,D车10分钟,E车3分钟,F车2分钟,问:
加油站怎样安排加油顺序,才能使这6辆车加油总共需要的时间最短?
这6辆车分两组加油,顺序是F、C、A和E、B、D一共需要的时间是:
3×(2+3)+2×(44-5)+(7+10)=50(分),也可以分为F、B、A和E、C、D两组,并按此顺序加油总时间也是50分.
5.李乡长下乡召开甲、乙、丙、丁四个村的干部会议,这些村都相距4千米,如图1-8。
参加会议的人数分别为7人、6人、2人、8人,请你想一想,李乡长在哪个村召开会议最为合理。
乙处
6.如图,是某个城市的部分街道图,相邻两个交点之间的连线表示道路,连线旁标注的数表示该道路在单位时间内最多可以通过的汽车数.现从A点向B点发车,汽车可以分开沿不同的路线行驶,那么,在单位时间内最多可以通过多少辆汽车?
19辆提示:
3+4+6+6=19(辆)
7.有284吨货物运往“希望工程”,大卡车载重量为8吨,小卡车载重量为4吨,它们的耗油量分别为12升和7升,用大小车各多少辆参加运输,耗油量最少?
35辆大卡车,1辆小卡车提示:
大卡车每吨耗油量少,应尽量安排大卡车
8.工地上有手推车20辆,其中10辆从A到B运垃圾,要60车次运完,另外10辆从C到D运砖块,要40车次运完。
各地距离如图所示(单位:
米)。
有人说这样的安排不合理,因为跑空车的路程可以再少些。
那么,怎样安排才合理呢?
运垃圾和运转头的车都不必返回,按A→B→C→D→A的顺序循环运输,使运垃圾和运转头交替进行。
每走一圈空车路程由360米、300米分别缩短为90米、240米。
9.彩虹服装公司的A,B两个制衣车间,生产同一款式的西服。
A车间每月生产这种西服600套,其中生产上衣需18天,生产裤子需12天。
B车间每月也可以生产这种西服600套,其中生产上衣和裤子各需15天。
如果让两个车间合作,则可以提高每个月的产量。
A,B两个车间应怎样合作生产,可以使每月产量达到最大?
最大月产量是多少套?
(每月按30天计算)
1320套提示:
比较可知,A生产裤子的效率比B高,B生产上衣的效率比A高,让B用30天时间生产上衣,共生产上衣1200件,A生产裤子与之配套,用时1200÷(600÷12)=24天,剩下6天可生产西服(600÷30)×6=120(套),因此,最大月产量是1200+120=1320(套)。
10.解放军某部有4辆汽车,要陆续派往A、B、C、D、E五个地方执行循环运输任务,各点所需装卸战士人数如图1-9所示。
装卸的战士可以固定在装卸地,也可以跟车流动,问怎样安排才能使装卸战士人数最少?
最少要多少人?
每辆车跟车4人,A、C各固定1人,B固定2人,共需4×4+1×2+2=20(人)
11.仓库内有一批14米长的钢筋,把它们割成3米长的和5米长的各50根。
试设计最省料的下料方案,问最少要几根钢筋?
最少要30根提示:
割成3根3米和1根5米的钢筋需10根,割成1根3米和2根5米的钢筋需20根.
12.某人从家外出有两种方案,一种是骑自行车去,另一种是乘公共汽车去。
显然,公共汽车的速度比自行车的速度快,但乘公共汽车有一个等候时间(侯车时间可看作是固定不变的)。
在任何情况下,他总是采用花时间最少的方案。
下表表示他到达A、B、C三地采用最佳方案所需的时间。
如果他家距离D地7千米,他选择最佳方案前往D地,需要多长时间可以到达?
目的地
目的地距家的路程(千米)
最佳方案所需的时间(分)
A
2
12
B
3
15.5
C
4
18
25.5分钟提示:
B与C不可能骑车,否则到A地的12分钟就不是最佳方案(如到C地是骑车,则每骑1千米需18÷4=4.5分钟,到A地需要4.5×2=9分钟,比12分钟少).比较B、C,可知公共汽车1千米需18-15.5=2.5(分钟),由此可求得候车时间是18-2.5×4=8(分钟),到D处乘车去需8+2.5×7=25.5(分钟,骑车去需要(12÷2)×7=42(分钟),所以最佳方案是乘车去需要25.5分钟。
5个空瓶可以换一瓶汽水,某班同学喝了2000瓶汽水,其中有一些是用喝下来的空瓶换的,他们至少要买瓶汽水。
1600提示:
买4瓶喝5瓶,2000÷5×4=1600(瓶)
甲、乙两个仓库各有100吨化肥,春耕时北乡要60吨化肥,南乡要80吨化肥,两个仓库到两乡的路程见图1-10所示,(单位:
千米),如果每吨化肥运1千米要1元的运费,要使运费最省,必须从甲仓库运多少吨?
运费最省要多少元?
就近原则,从甲库运出40吨化肥,运费最省要1860元
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