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数模
1.任务1:
石油耗尽问题
1.1.简介
为了预测石油何时枯竭,我们用微分方程的方法做出一个石油消耗的指数增长的线性模型,然后又通过函数拟合对模型进行完善。
我们假设可利用的石油总量包括未探明的储量和已探明但仍未利用的储量(现有储量),其中以2002年为起点。
现在地球上现有储量为16000桶石油,通过查资料,我们估计地球上还有2000亿桶石油未探明,这样石油总储量为18000亿桶石油。
基于历年的数据,我们得到从2002年开始石油消耗量曲线。
根据以下比较理想的假设,即不考虑其他因素的影响,石油将以最快的速度枯竭。
1.2.假设
●石油不能人工产生,石油的总量是有限的。
●根据经济规律,石油的供给和价格成反比,石油的需求和价格呈正比。
●石油冶炼的能力足够。
●石油储量包括凝析油、气体汽油和原油。
●表达式中的第0年是2002年。
1.3.微分模型
1.3.1.石油消耗分析
根据查阅的资料,我们画了一张2002年到2012年世界石油消耗的表:
表1
石油消耗
2002
2003
2004
2005
2006
2007
百万吨
3640.2
3719.0
3865.2
3911.6
3950.1
4009.7
石油消耗
2008
2009
2010
2011
2012
百万吨
3994.8
3921.6
4038.2
4081.4
4130.5
由表1,我们得到了如下图所示的石油消耗趋势图:
从上面的图形可以看出,从2002年到2012年除了2008年和2009年之外,每年的石油消耗量稳定增长。
这可能是因为2008年的全球次贷危机影响到经济从而影响到石油消耗,且这种影响持续到2009年。
但是2009年之后,每年石油消耗量又呈现稳定增长的趋势。
所以在理想的情况下(不考虑经济等因素的影响),可以假设在石油消耗增长的过程中,净相对增长率是常数,记此常数为r,记第t年的石油消耗量为C(t)
在t到t+
这段时间石油消耗量的增长量为
C(t+
)
C(t)=rC(t)
(1)
于是C(t)满足的微分方程
=C
r
(2)
得C=c
(3)
把
=0(即2002年),
=3640.2代入表达式可得c=
=3640.2
(4)
所以C(t)=3640.2
(5)
把t=10(即2012年),C(t)=4130.5带入(5)式得到r=0.01264
所以C(t)=3640.2
根据表达式和原有数据用MATLAB画出图形
由于石油消耗受多方面的影响,随着人口的增长,经济条件的波动等,使得石油供需量发生变化,从而影响到石油的消耗。
同时由于石油资源的有限性,石油消耗的指数型增长模型就有很大的局限性,所以下面我们根据原始数据采用曲线拟合的方法得到石油消耗量和石油开采量曲线图:
显然,从图可以看出石油消耗量和石油开采量呈现S型曲线,所以我们采用非线性曲线拟合
得到石油消耗量和开采量的非线性表达式
消耗量n=
开采量m=
通过比较,发现如果舍去离曲线比较远的点2009年和2012年,曲线拟合的效果就会比较好。
所以可以得出曲线拟合的结果更符合实际。
我们定义石油消耗总量为
(2002≤k≤2012):
每年石油的消耗量
石油消耗总量的非线性函数与每年的石油消耗量的非线性函数有类似的性质,石油消耗总量的曲线图:
我们认为地球石油储备总量等于地球现有石油储备总量加上未探明的总量。
根据1992年至2002年和其他年份的数据,我们推测地球未探明的总量为2000亿吨。
用我们的模型可以预测出石油将在2059年或2060年枯竭。
考虑到石油开采量和石油消耗量不同,所以我们认为在同一张图中画出石油开采量和石油消耗量的曲线图会更有说服力。
(在之后的讨论中,石油消耗量和开采量的不同很可能会影响到我们的计算。
我们找出了联系两者关系的曲线图。
如下所示)
通过比较,我们发现石油消耗量和石油开采量的差异很小,可以忽略。
1.3.3.预测结果和总结
下面的曲线图,我们成功得预测了石油将在2059年或2060年枯竭
模型优缺点:
数据不充足,因为我们只用了2002年到2012年的数据。
另一个缺点是探明总储量中包含一些其他的燃料,所以总的石油储量会比我们的结果稍微小一些。
1.任务2:
校准模型
1.1.简介
现实世界中,石油开采与很多因素密切相关:
经济、人口、政治与政策、环境的限制。
因此,我们将这四项因素也纳入考虑范围,以之为依据对模型进行修建,从而更好的预测未来的石油消费。
1.2.假定前提
●各因素间不存在相互影响。
●政治对需求与消费产生的影响相同。
●国内生产总值的增长率为一个常数。
●将政府的宏观调控排除在外,将石油看作商品。
●年人均消费不变。
1.3.经济因素
我们把GDP作为经济的衡量标准。
表二显示2002-2008年世界GDP年总值及该年的石油消耗量:
表二
全球国内生产总值(美元)和世界石油消费总量(吨),2002-2008
年份
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
GDP
14538
16410
19316
22358
26578
33824
43274
石油消耗量
3640.2
3719.0
3866.2
3911.6
3950.1
4009.7
3994.8
由上述图表,我们能够得到GDP与石油消费之间的粗略关系,即随着国内生产总值的增加,石油消费相应上升。
下我们采用函数拟合的方式,进一步得到更精确的结果。
下图为关于GDP~石油消费的关系曲线
:
以该曲线为基础,调整在50%,30%,20%,10%这些不同增长率下GDP的情况,可计算石油耗尽的时间。
图中,水平线表示石油总储量,十字坐标点与曲线代表石油枯竭的时间。
GDP增长率越大,石油消费的速度也越快,石油殆尽的时间也会随之提前。
1.4.人口的影响
人口增长模型共分两种,一为指数模型,一为逻辑模型。
考虑到指数模型需满足环境不抑制人口扩张的前提,在有限空间和有限资源下不能应用。
我们舍弃指数模型,采用逻辑模型以取代。
物流模型的方程:
其中,
●x(t)表示世界人口
●t表示以t0=2000为初值的时间
●x(t)表示人口(以十亿为单位,以x0=61.24为初值)
●K表示环境容量(取k=10,即地球的最大人口数十亿人);
●R表示内在的人口增长率(由数据确定)。
运用2000年x0=61.24亿的人口数据和2005年x(t)=65.15亿代入方程,得
6.515=10/[1+(10/6.124-1)]得r=-0.0336
x(t)=10/[1+(10/6.124–1)](*)
由(*),我们可得下表所示的未来人口预测:
表3
运用物流模型估算出的世界人口(十亿)
年份
2010
2015
2020
2025
2030
人口/
6.8856
7.2340
7.5573
7.8540
8.1236
假设平均每年人均消费不变,随着人口的扩张,年均人均消费将会不断上升,这意味着石油将会更快消耗殆尽。
政治影响
我们已经发现,油价是一个等同于石油消费的重要石油需求指数,因而,我们将范围缩小,仅关注政治因素中战争对石油消费的影响。
由图5可知,当战争(1861年,与美国内战,1973年第四次中东战争,1980年与1980年两伊战争)爆发时,油价暴跌。
由供求原理,价格应该归因于变化波动的需求。
因此,可以推断,石油需求萎缩会导致价格下降。
即石油消费的减少在很大程度上受到战争的影响。
环境影响
石油泄漏在开发的过程中是不可避免的污染环境,同时也会浪费大量的石油资源。
因此,在环境影响下,可用的石油资源总量将会降低,石油的消耗将会加速。
下表显示了从2008年到2012年每年全球石油泄漏:
图表4
从2008年到2008年每年全球石油泄漏(百万升)
年份
2008
2009
2010
2011
2012
人口/
3.4
1.2
1.7
0.6
0.8
为了估计石油耗尽时石油泄漏的总量,我们使用从2008年到2012年的漏油事件中平均每年代表的石油泄漏量的估计值。
X=;
Z=x*t
其中:
●X:
石油泄漏的平均数量
●:
每年的石油泄漏
●Z:
石油泄漏消耗的石油总量
由等式,可得x=1.54*liter=1.386*kg;
Z=0.0809*ton
经过仔细计算,我们预测石油将在58.3年内殆尽。
使用我们任务1中的模型,我们得到的结果为58.4年。
将两种结果相比,我们可以得出的结论是:
石油泄漏加剧石油消耗。
结论
考虑到人口的增长和经济不断发展,人类对能源的需求也会不断增加。
由于矿产资源不足,所以可以推测新能源产业前景光明。
参考文献
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