浙教版九年级数学上第一章 二次函数 单元练习试题含详细答案.docx
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浙教版九年级数学上第一章二次函数单元练习试题含详细答案
第一章二次函数
一.选择题(共14小题)
1.下列函数中,属于二次函数的是( )
A.y=2x+1B.y=(x﹣1)2﹣x2
C.y=2x2﹣7D.
2.关于函数y=(500﹣10x)(40+x),下列说法不正确的是( )
A.y是x的二次函数B.二次项系数是﹣10
C.一次项是100D.常数项是20000
3.在同一坐标系中一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图,a<0,b>0,c<0,那么二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
5.若一次函数y=kx+b的图象如图所示,则下列结论中,正确的有( )个
①二次函数y=x2+kx+b的图象一定经过点(0,2)
②二次函数y=x2+kx+b的图象开口向上
③二次函数y=x2+kx+b的图象对称轴在y轴左侧
④二次函数y=x2+kx+b的图象不经过第二象限
A.1B.2C.3D.4
6.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,它与x轴x=2正半轴相交于点A,与y轴相交于点C,对称轴为直线x=2,且OA=OC,则下列结论:
①abc>0;②9a+3b﹣c>0;③c>﹣1;④关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为
,其中正确的结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:
①4ac<b2;
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;
③3a+c>0;
④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3;
⑤当x<0时,y随x增大而增大;
其中结论正确的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.点P1(﹣1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1=y2>y3B.y1>y2>y3C.y3>y2>y1D.y3>y1=y2
9.若直线y=x+m与抛物线y=x2+3x有交点,则m的取值范围是( )
A.m≥﹣1B.m≤﹣1C.m>1D.m<1
10.将抛物线y=5x2先向左平移2个单位,再向上平移3个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的表达式是( )
A.y=5(x+2)2+3B.y=5(x﹣2)2+3
C.y=5(x﹣2)2﹣3D.y=5(x+2)2﹣3
11.函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+c﹣4=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根B.有两个异号的实数根
C.有两个不相等的实数根D.没有实数根
12.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分.当y<0时,自变量x的范围是( )
A.x<﹣1或x>2B.x<﹣1或x>5C.﹣1<x<5D.﹣1<x<2
13.某畅销书的售价为每本30元,每星期可卖出200本,书城准备开展“读书节活动”,决定降价促销.经调研,如果调整书籍的售价,毎降价2元,每星期可多卖出40本.设每件商品降价x元后,毎星期售出此畅销书的总销售额为y元,则y与x之间的函数关系为( )
A.y=(30﹣x)(200+40x)B.y=(30﹣x)(200+20x)
C.y=(30﹣x)(200﹣40x)D.y=(30﹣x)(200﹣20x)
14.图
(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m.如图
(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( )
A.y=﹣2x2B.y=2x2C.y=﹣
x2D.y=
x2
二.填空题(共5小题)
15.已知点A(a,m)、B(b,m)、P(a+b,n)为抛物线y=x2﹣2x﹣2上的点,则n= .
16.二次函数y=x2﹣8x的最低点的坐标是 .
17.用配方法把二次函数y=2x2﹣3x+1写成y=a(x﹣h)2+k的形式为
18.二次函数y=(a﹣1)x2﹣x+a2﹣1的图象经过原点,则a的值为 .
19.如图,用长为20cm的篱笆,一边利用墙(墙足够长)围成一个长方形花园,设花园的宽AB为xcm,围成的花圃面积为ycm2,则y关于x的函数表达式为 .
三.解答题(共7小题)
20.若二次函数图象的顶点坐标是(2,1),且经过点(1,﹣2),求此二次函数的解析式.
21.已知:
抛物线y=ax2+bx+3经过点A(3,0)、B(﹣1,8),求抛物线的函数表达式,并通过配方写出抛物线的顶点坐标.
22.已知抛物线y=﹣x2+4x+5.
(1)用配方法将y=﹣x2+4x+5化成y=a(x﹣h)2+k的形式;
(2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(3)若抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),如果x1>x2>2,试比较y1与y2的大小.
23.已知抛物线y1=x2+mx+n,直线y2=2x+1,抛物线y1的对称轴与直线y2的交点为点A,且点A的纵坐标为5.
(1)求m的值;
(2)若点A与抛物线y1的顶点B的距离为4,求抛物线y1的解析式;
(3)若抛物线y1与直线y2只有一个公共点,求n的值.
24.位于郑州市二七区的二七德化步行街是郑州最早的商业文化购物步行街,在郑州乃至中原都相当有名,德化步行街某店铺经营某种品牌童装,购进时的单价是40元,根据市场调查,当销售单价是60元时,每天销售量是200件,销售单价每降低1元,就可多售出20件.
(1)求出销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)求出销售该品牌童装获得的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(3)若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于56元且不高于60元,则此服装店销售该品牌童装获得的最大利润是多少?
25.如图,已知直线=﹣2x+m与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点,且点A(1,4)为抛物线的顶点,点B在x轴上.
(1)求m的值;
(2)求抛物线的解析式;
(3)若点P是x轴上一点,当△ABP为直角三角形时直接写出点P的坐标.
26.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣3,0),点B(1,0)两点,与y轴交于点C
(1)求抛物线的解析式:
(2)若点P是抛物线上在第二象限内的一个动点,且点P的横坐标为t,连接PA、PC、AC.
①求△ACP的面积S关于t的函数关系式.
②求△ACP的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
参考答案
一.选择题(共14小题)
1.解:
A、是一次函数,故此选项错误;
B、整理后,二次项系数为0,不是二次函数,故此选项错误;
C、符合二次函数定义,故此选项正确,
D、不是二次函数,故此选项错误;
故选:
C.
2.解:
y=﹣10x2+100x+20000,
A、y是x的二次函数,故A正确;
B、二次项系数是﹣10,故B正确;
C、一次项是100x,故C错误;
D、常数项是20000,故D正确;
故选:
C.
3.解:
A、由抛物线可知,a>0,x=﹣
>0,得b<0,由直线可知,a>0,b<0,正确;
B、由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,错误;
C、由抛物线可知,a<0,x=﹣
>0,得b>0,由直线可知,a<0,b<0,错误;
D、由抛物线可知,a<0,由直线可知,a>0,错误.
故选:
A.
4.解:
由a<0可知,抛物线开口向下,排除D;
由a<0,b>0可知,对称轴x=﹣
>0,在y轴右边,排除B,
由c<0可知,抛物线与y轴交点(0,c)在x轴下方,排除C;
故选:
A.
5.解:
①当x=0时,b=2,
∴二次函数y=x2+kx+b的解析式为y=x2+kx+2,
∴一定经过点(0,2);
∴①正确;
②∵y=x2+kx+b中a=1,
∴开口向上;
∴②正确;
③y=x2+kx+b的对称轴为x=﹣
,
由图象可知k<0,
∴﹣
>0,
∴③错误;
④y=x2+kx+b中k<0,b=2,
∴经过第二象限,
∴④错误;
故选:
B.
6.解:
由图象开口向下,可知a<0,
与y轴的交点在x轴的下方,可知c<0,
又对称轴方程为x=2,所以﹣
>0,所以b>0,
∴abc>0,故①正确;
由图象可知当x=3时,y>0,
∴9a+3b+c>0,
∵c<0,即﹣c>0
∴9a+3b>0,
∴9a+3b﹣c>0,故②正确;
由图象可知OA<1,
∵OA=OC,
∴OC<1,即﹣c<1,
∴c>﹣1,故③正确;
假设方程的一个根为x=﹣
,把x=﹣
代入方程可得
﹣
+c=0,
整理可得ac﹣b+1=0,
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0,
即方程有一个根为x=﹣c,
由②可知﹣c=OA,而当x=OA是方程的根,
∴x=﹣c是方程的根,即假设成立,故④正确;
综上可知正确的结论有三个:
①②③④4个.
故选:
D.
7.解:
∵抛物线与x轴有2个交点,
∴b2﹣4ac>0,即4ac<b2,所以①正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
而点(﹣1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3,所以②正确;
∵x=﹣
=1,即b=﹣2a,
而x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0,
∴a+2a+c=0,
∴3a+c=0,所以③错误;
由图象知,当y>0时,x的取值范围是﹣1<x<3,所以④错误;
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴当x<1时,y随x增大而增大,
∴当x<0时,y随x增大而增大,所以⑤正确;
即正确的个数是3个,
故选:
C.
8.解:
二次函数y=﹣x2+2x+c的图象的对称轴为直线x=﹣
=1,
而P1(﹣1,y1)和P2(3,y2)到直线x=1的距离都为2,P3(5,y3)到直线x=1的距离为4,
所以y1=y2>y3.
故选:
A.
9.解:
令x+m=x2+3x,
则x2+2x﹣m=0,
令△=22﹣4×1×(﹣m)≥0,
解得,m≥﹣1,
故选:
A.
10.解:
抛物线y=5x2的顶点坐标为(0,0),把点(0,0)向左平移2个单位,再向上平移3个单位后得到对应点的坐标为(﹣2,3),所以新抛物线的表达式是y=5(x+2)2+3.
故选:
A.
11.解:
∵函数的顶点的纵坐标为4,
∴直线y=4与抛物线只有一个交点,
∴方程ax2+bx+c﹣4=0有两个相等的实数根.
故选:
A.
12.解:
∵由函数图象可知,函数图象与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),对称轴为直线x=2,
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(5,0),
∴当y<0时,﹣1<x<5.
故选:
C.
13.解:
设每本降价x元,则售价为(30﹣x)元,销售量为(200+20x)本,
根据题意得,y=(30﹣x)(200+20x),
故选:
B.
14.解:
设此函数解析式为:
y=ax2,a≠0;
那么(2,﹣2)应在此函数解析式上.
则﹣2=4a
即得a=﹣
,
那么y=﹣
x2.
故选:
C.
二.填空题(共5小题)
15.解:
∵抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣2=(x﹣1)2﹣3,
∴该抛物线的对称轴是直线x=1,
又∵点A(a,m)和B(b,m)关于直线x=1对称,
∴
=1,
∴a+b=2,
把(2,n)代入抛物线的解析式得,n=22﹣2×2﹣2=﹣2.
故答案是:
﹣2.
16.解:
y=x2﹣8x=(x﹣4)2﹣16,
∵a=1>0,
∴二次函数图象开口向上,二次函数y=x2﹣8x的最低点的坐标是(4,﹣16).
故答案为:
(4,﹣16).
17.解:
y=2x2﹣3x+1
=2(x2﹣
x)+1
=2[(x﹣
)2﹣
]+1
=2(x﹣
)2﹣
.
故答案为:
y=2(x﹣
)2﹣
.
18.解:
∵二次函数y=(a﹣1)x2﹣x+a2﹣1的图象经过原点,
∴a2﹣1=0,
∴a=±1,
∵a﹣1≠0,
∴a≠1,
∴a的值为﹣1.
故答案为:
﹣1.
19.解:
由题意可得:
y=x(20﹣2x)=﹣2x2+20x.
故答案为:
y=﹣2x2+20x.
三.解答题(共7小题)
20.解:
设二次函数为y=a(x﹣2)2+1,把点(1,﹣2)代入表达式,解得:
a=﹣3,
∴函数表达式为:
y=﹣3(x﹣2)2+1
即y=﹣3x2+12x﹣11.
21.解:
根据题意得
,解得
,
所以抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3;
因为y=x2﹣4x+3=x2﹣4x+4﹣4+3=(x﹣2)2﹣1,
所以抛物线的顶点坐标为(2,﹣1).
22.解:
(1)y=﹣x2+4x+5=﹣x2+4x﹣4+4+5=﹣(x﹣2)2+9,
即y=﹣(x﹣2)2+9;
(2)∵a=﹣1<0,
∴抛物线开口向下,抛物线的顶点坐标为(2,9),对称轴为直线x=2;
(3)∵抛物线的对称轴方程为x=2,
∵x1>x2>2,
∴A,B在对称轴的右侧,
∵a=﹣1<0,
∴抛物线的开口向下,在对称轴的右侧y随x的增大而减小,
∵x1>x2>2,
∴y1<y2.
23.解:
(1)∵点A的纵坐标为5,点A在直线y2=2x+1上,
∴5=2x+1,得x=2,
∴点A的坐标为(2,5),
∵物线y1的对称轴与直线y2的交点为点A,抛物线y1=x2+mx+n,
∴﹣
=2,得m=﹣4;
(2)∵点A与抛物线y1的顶点B的距离为4,点A的坐标为(2,5),
∴点B的坐标为(2,1)或(2,9),
∴
=1或9,
解得:
n=5或13,
∴抛物线y1的解析式的解析式为:
y1=x2﹣4x+5或y1=x2﹣4x+13;
(3)解
得,x2﹣6x+n﹣1=0,
∵抛物线y1与直线y2只有一个公共点,
∴△=36﹣4n+4=0,
解得n=10.
24.解:
(1)根据题意得,y=200+(60﹣x)×20
=﹣20x+1400,
所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y=﹣20x+1400(40≤x≤60);
(2)w=(x﹣40)y
=(x﹣40)(﹣20x+1400)
=﹣20x2+2200x﹣56000,
所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式w=﹣20x2+2200x﹣56000;
(3)根据题意得56≤x≤60,
w=﹣20x2+2200x﹣56000=﹣20(x﹣55)2+4500
∵a=﹣20<0,
∴抛物线开口向下,
∴当56≤x≤60时,w随x的增大而减小,
∴x=56时,w有最大值,最大值=﹣20(56﹣55)2+4500=4480(元).
所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元.
25.解:
(1)将点A坐标代入y=﹣2x+m得:
4=﹣2+m,解得:
m=6;
(2)y=﹣2x+6,令y=0,则x=3,故点B(3,0),
则二次函数表达式为:
y=a(x﹣1)2+4,
将点B的坐标代入上式得:
0=a(3﹣1)2+4,
解得:
a=﹣1,
故抛物线的表达式为:
y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3;
(3)①当∠ABP=90°时,
直线AB的表达式为:
y=﹣2x+6,
则直线PB的表达式中的k值为
,
设直线PB的表达式为:
y=
x+b,
将点B的坐标代入上式得:
0=
3+b,
解得:
b=﹣
,
即直线PB的表达式为:
y=
x﹣
,
当x=1时,y=﹣1,
即点P(1,﹣1)(舍去);
②当∠AP(P′)B=90°时,
点P′(1,0);
③当∠PAB=90°时,
同理可得:
点P(﹣7,0),
故点P的坐标为(1,0)或(﹣7,0).
26.解:
(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣3,0),点B(1,0)两点,
∴
,解得:
,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3.
(2)①设直线AC的解析式为y=kx+b,
∴
,解得:
,
∴直线AC的解析式为y=x+3,
过点P作PQ∥y轴交直线AC于点Q,
设P(t,﹣t2﹣2t+3),Q(t,t+3),
∴PQ=﹣t2﹣2t+3﹣t﹣3=﹣t2﹣3t,
∴S=S△PQC+S△PQA=
=
=﹣
.
②∵S=﹣
,
∴t=﹣
时,△ACP的面积最大,最大值是
,
此时P点坐标为(﹣
,
)
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