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哈密顿系统的数学建模与动力学分析
1引言
Hamilton动力系统理论有着悠久而丰富的历史,它本身是Lagrange力学的升华与推广,从数学角度看乂是一门内容精深的相空间儿何学,如辛儿何、辛拓扑等都源于此.近儿十年来,随着纯数学理论的不断发展与计算机的普遍应用,Hamilton动力系统理论乂成为当今非线性科学中极其活跃而富有魅力的研究领域.山于这类系统广泛存在于数理科学、生命科学以及社会科学的各个领域,特别是天体力学、等离子物理、航天科学以及生物工程中的很多模型都以Hamilton系统的形式出现,因此该领域的研究多年来长盛不衰.本文利用Hamilton原理推导出了Hamilton系统的正则方程.最后利用Hamilton正则方程给出一个具体物理实例的数学模型并对其进行动态模拟仿真.
2预备知识
2.1状态空间的基本概念
1)状态
任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态,系统在*时刻的状态是厶时刻的一种信息量,它与此后的输入一起惟一地确定系统在rng时的行为.
2)状态变量
状态变量是一个完全表征系统时间域行为的的最小内部变量组.
3)状态向量
设系统有兀个状态变量,用舛(/),七(/),…,兀,“)表示,而且把这些状态变量看做向量x(/)的分量,则向量M)称为状态向量,记为
X⑴十⑴*2(/)'
4)状态空间
以状态变量西⑴內⑴,…,兀⑴为轴的“维实向量空间称为状态空间.
5)状态方程
描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组(连续时间系统)或一阶差
分方程组(离散时间系统)称为系统的状态方程,它表征了输入对内部状态的变换过程,
其一般形式为:
W)=/[x(/)'"⑴,匕
其中,/是时间变量,“⑴是输入变量.
6)输出方程
描述系统输出量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程,
它表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变换,是一个变化过程•输出方程的一
般形式为:
y(/)=g[W),"(/),/_•
7)状态空间表达式
状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式,也称动态方程,它表征一个系统完整的动态过程,其一般形式为:
.y(/)=g[x(/),"(/),/]
通常,对于线性定常系统,状态方程为
x=Ax+Bii
<
y=Cx+Du
其中,“(心®,…")/表示川维状态向量,表示系统内部状态的系数矩阵,称为系统矩阵A”“,B=(b)严RW表示输入对状态作用的矩阵,称为输入(或控制)矩阵Bnxr,C=(c,)eR,nxn表示输出对状态关系的矩阵,称为输出矩阵C,胪”,
\J/nrx/t
D=(d,\eR"-r表示输入直接对输出作用的矩阵,称为直接转移矩阵0吋,也称前馈系\■*'nr^-r
数矩阵.
A山系统内部结构及其参数决定,体现了系统内部的特性,而B则主要体现了系统输入的施加情况,通常情况下£)=0.
2・2线性定常连续系统的能控性
定义2J设x=Ax+Bu[x^R\u^R,\A^R"x>,),若存在一分段连续控制向量«(/),能在[『(),/」内,将系统从任意的初态x(/o)转移至任意终态),则系统完全能控.
定理2.1系统完全能控的充要条件:
rankSc=n
其中,Sc=[3,AB,…,占切,称为能控矩阵.
2-3线性状态反馈控制律
线性状态反馈控制律为W=V-心式中,V是参考输入,KwRZ称为状态反馈增益矩
阵.系统动态方程变为:
x=Ax+B(V-Kx)=(A^BK)x+BV=Ak+BV
y=Cx+D(V-心)=(C-DK)x+DV=CK+DV
式中,Ak=A-BK,Ck=C-DK,当D=0时,状态反馈系统闭环传递函数必($)为
WK(s)=C[.M-(A_B
式中,A-BV为闭环系统的系统矩阵.
以上我们简要介绍了控制系统的有关问题,现在针对单输入定常线性系统,设计其某
种形式的线性定常控制律,使得闭环系统具有指定的希望的一组极点,即极点配置.
2-4极点配置
考虑下述单输入线性定常系统
x=Ax+bitz、
(2.4.1)b=Cv
其中A为nxn常阵,方和C分别为“xl和lx”常阵.选取线性定常反馈控制律u=-kx,使得(2.4.1)在该控制律下的闭环系统具有指定的极点集.
问题SPA[状态反馈极点配置问题]给定矩阵AwRE,bwR祸及一组共辘封闭复数s’,i二1,2,…,n(不必互异),求取矩阵KeRrxn使得血(A-bK)=s,/=l,2,--,n对问题SPA先考虑其解的存在性有:
定义2.2如果对于任何给定的一组共辄封闭复数i=l,2,…前述问题SPA均有解,则称线性定常系统(2.4.1)可用状态反馈任意配置极点.
下述定理给出了线性定常系统(2.4.1)利用状态反馈任意配置极点的条件.
定理2.2定常线性系统(2.4.1)可用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统(2.4.1)完全能控
问题对单输入系统,给定能控矩阵对[Ab]和一组期望的闭环特征值{兀心…乂},要确定lx”的反馈增益矩阵使成立〈(A—BK)=&,21,2,…,“.
对于上述问题,我们有下述算法:
算法2」[单输入系统的极点配置设计]第一步:
讣算A的特征多项式,即
det(.y/-A)=sn+--+a[s+a()
第二步:
计算由祐,兄;,…,盂}所决定的多项式,即
/(巧=(£一/1;)…£一兄:
)=列+a;_]£"“+••+";+0;
第三步:
计算
R=k>-4©-a;
第四步:
计算变换阵
1
P=[A"~lb…Abb\
1
an-\'•
…%1
第五步:
求Q=/<*
第六步:
所求的增益阵K=KQ•
2.5分析力学中相关的知识
1)广义坐标
能够完全确定质点系位形的独立参变量,用符号如,的,…表示.
广义坐标是彼此独立的.其选择有一定的随意性,只需根据质点系的特点,选择那些能够惟一地确定该系统位形的参变量即可.
2)广义速率
在质点系中引入广义坐标之后,质点系的运动可以用广义坐标随时间的变化规律来描述,即
广义速率:
qa=—(a=1,2,-^)
at
3)广义坐标变分
假设在给定的运动初始条件下,某质点系的运动微分方程组的解已经求得,它的广义坐标运动方程为qa=qa(tY广义速率血=学于是广义坐标的全微分为
同样,广义坐标也有它的可能运动方程
0;=q:
(J(a=1,2,…,灯
比较统一瞬时广义坐标的真实运动和与其相邻的可能运动,并限定二者的差值为无限小量,即
&la=q;-Qa(a=1,2,…,灯
冈&就称为广义坐标变分.
4)质点系的自曲度
该系统独立坐标变分的数U.对完整系统它的自由度等于它的广义坐标的数U•
5)广义动量
质点系的动能T对广义速率血的偏导数,即
dT
其中动能T是广义坐标么和广义速率%的函数•
6)勒让德变换
勒让德变换是把以"心…心为变量的函数/(册宀「"”)变换成以”宀,…*”为新变量的函数/(yry2,...yn)的一种特殊变换,f称为/的勒让德变换.
设有一个二次可微的函数/(^,勺,…,©),且在雅可比行列式不为零,即
的区域内存在以下变量变换
(s=1,2,…,71)
定义/的勒让德变换为
了(人?
2,…人)=£兀儿一/
于是有
下面给出对部分变量进行变换的情况
对保留变量有
定理2・3哈密顿原理
从动力学普遍方程出发可推导出哈密顿原理的一般形式,即
『(刃+昭〃=0
<0
其中刃是系统动能的变分,別/是作用于系统的所有主动力的虚功.
当作用在系统上主动力为有势时,刃v=-卯•引入哈密顿作用量
其中厶为拉格朗日函数,是系统动能与势能之差,即L=T-V.于是,对完整系统哈密顿原理可以写成常见的变分形式刃=可:
Ldf=0.
3哈密顿系统的动力学表述
哈密顿正则方程
3.1保守系统的情形
拉格朗日方程是用一组关于&个广义坐标竹的二阶常微分方程组来描述系统的运动.方程的建立完全依赖于以(幻,幻J)为变量的拉格朗日函数L,即
厶=厶©,°2,…,你,%,02,…办』)•哈密顿以广义动量匕取代广义速度乞,以Sj,Pj,t)为变量,称为哈密顿变量或正则变量•以哈密顿函数H代替拉格朗日函数L,用〃个关于广义坐标你和广义动量巴为变量对称整齐的一阶常微分方程组,即称为哈密顿正则方程或正则方程,以此来描述系统的运动.因本文是针对线性系统而言,故这里只给出单自山度系统的哈密顿正则方程,下面用哈密顿原理导出单自由度系统的哈密顿正则方程.
首先,利用勒让德变换把以S,站)为变量的拉格朗日函数L变换成以©”)为新变量的哈密顿函数显然,新变量"代替旧变量°参与变换,而同时保留变量q及/.
根据对原变量进行部分替换的勒让德变换,可得哈密顿函数
H=pq-L
因此,拉格朗日函数L=pq-H代入哈密顿原理,即
对上式进行变分运算,得
将上式第一项改写成如下形式,即
工匕丙丿=p牛画=牛5呦_p&i
丿.1atclt
)^-(p+-)^=0
(3.1.2)
因为系统在始末位置是确定的,则有
冈(G)=0,3q{tx)=0
于是有
(3.1.3)
(3.1.4)
『[⑺-叟)切_(〃+=0
*ocpoq
根据广义动量的定义p=—
山部分勒让徳变换可得
(3.1.5)
因此式(3・1・2)成为
对于完整系统,宙于冈可以任意取值,因此欲使上式成立,必有
(3.1.6)
dH
/?
=-—
联立式(3.1.5)和式(3.1.6),即关于变量S,”,/)的哈密顿正则方程
.QH
dH
P=_=
3.2非保守系统的情形
系统除有势力以外还存在非有势力作用的情形.在哈密顿原理的一般形式
(3.2.1)
『(刃+別/)^=0
Vi>
中,系统的主动力的虚功刃丫可写成如下形式:
刃丫=一刃+0冈
其中,-刃和0冈分别表示有势力和非有势力的虚功•将上式代入式(3.2.1),得
『(刃一卯+Q'&/)dt=『(风+Q'&^dt
将L=pq—H代入上式,并进行变分运算,得
+qSp_—6f)_—&+Qf&])clt=0J/odpdq
利用式(3・1・2)和式(3.1.3)有
dH
oq
一0)W=O
采用与前面同样的作法,即可得到存在非有势力作用时的哈密顿正则方程
dH
/>=-
cH
6g
(3.2.2)
式中Qf为系统的非有势力对应于q的广义力.
4利用哈密顿正则方程建立具体物理系统的数学模型
—水平弹簧质量振动系统
Q
►
—"►
图4.1弹簧质量振动系统
4.1水平弹簧质量系统的问题描述
假设系统满足条件:
1)振动无阻尼.
2)系统只能在水平方向即x方向运动.
3)外力“(f),以x的同方向为正.
要求:
1)建立弹簧质量系统的运动微分方程.
2)求出反馈增益阵.
3)弹簧质量系统仿真模拟.
4)作任何有意义的讨论.
4.2水平弹簧质量问题的分析
解:
令“(J为输入量,y为输出量,取弹簧等于原长人时,质量位置。
为x坐标轴的原点,取为广义坐标.如势能零点取在弹簧原长位置,则系统的势能V=l^,2,因此系统的拉格朗日函数
L—T-V=—Tn%/-—kx^+uxx.
22
求得广义动量
dLPx=—=
ox
因此
m
计算哈密顿函数H,
并把它写成广义动量和广义坐标的函数
H=Pxx.-L=pxx.-(1/nr,2-l^2+切)=金+*如-UXl
求得H后,按式(3・2・2)写出系统的正则方程
dH.
Px=-—=-kx}+u
ox
由上二式消去几,得到系统运动微分方程
+kxy="・
4.3建立弹簧质量系统的数学模型
令X2=Px则有
[:
+
0
u=
・0
r
+
°
1
-100
0_
1
m
0
输出方程为
则弹簧质量系统的状态空间表达式
其中A=
x=Ax+buy=Cx
C=[l0].
5系统闭环状态反馈控制器设计
5.1系统状态反馈控制
根据线性系统状态反馈控制律,设状态反馈下受控系统的输入为u=-K.x(Ke护为反馈增益矩阵,K=[k.心]),将上式代入弹簧质量振动系统的状态空间表达式,得到弹簧质量状态反馈闭环系统的状态空间表达式
x=(A-hK)x
y=Cx
其中A-bk=°•
—k—k、—k’
6求解状态反馈增益阵
由定理2・1
Sc=\bA^=°显然系统完全能控,故满足闭环极点可任意配置条
|_10
件.
取
m=1;k=1
给定一组期望的闭环特征值
久]=-1+八兄2=_]_•/
1)现讣算系统的特征多项式
det(5/-/!
)=det=s1+\
15
再山指定闭环极点可得希望的闭环特征多项式为
心)=讯—讣(S+1—加+1+j)=s2+25+2
于是可求得
F=[q;-q)4;_叩=[12]
再来讣算变换阵
并求出其逆
e=p_,=1
0
从而所要确定的反馈增益阵&即为
k=kQ=W2]:
:
=[12].
2)调用Matlab函数算出的反馈增益阵见[附录1]
7动态系统的simulink仿真
7.1创建SimuIink系统模型
首先根据弹簧质量状态反馈闭环系统的状态空间表达式,选择合适的Simulink系统模块,然后建立此系统的Simulink模型.系统的Simulink模型图见[附录3].
7.2动态系统的Simulink仿真
在MATLAB中,系统状态空间用(A,5C,D)矩阵组表示,当输入(A,B,C,L>)矩阵组后,用函数55(AB,C,D)直接可以得到状态空间模型。
在MATLAB中,绘制二维图形最常用的函数是Plot函数,对于不同形式的输入,该函数可以实现不同的功能。
其调用格式如下:
plot(X,Y)当X和Y为向量时,以第一个变量为横坐标,第二个变量为纵坐标绘制图形。
plot(X,Y,s)想绘制不同的线型、颜色、标识等的图形时,可调用此形式,第3个输入变量为图形显示属性的设置选项:
线型、颜色、标识。
如图7.1,它反映了弹簧质量控制系统在极点配置(P二[-j])后阶跃响应情况,其Matlab程序见[附录2].
图7.1极点配置后系统的阶跃响应曲线
在完成弹簧质量振动系统的Simulink模型基础上,对系统模型中各模块进行正确而合适的参数设置,便需要对系统仿真参数进行必要的设置以开始Simulink仿真,即可了解系统中有关位置的信号的情况,经过多次调试,在状态反馈控制器u=-Kx的作用下,系统不断地对位置误差进行控制修正,最终使系统达到稳定的状态.
例1根据线性系统状态反馈控制律,状态反馈下受控系统的输入为u=-Kx(Ke为反馈增益矩阵,K=\kxk2]).
令x10=3;x20=-1;
m=1;k=1;
«=1;k、=2
此情况下,弹簧质量控制系统Simulink模型的动态模拟仿真图如下
图7.2Simulink仿真图
山图知,弹簧质量控制系统是稳定的.
8结束语
弹簧质量系统控制问题,使用Simulink对其进行建模与仿真.结论表明:
弹簧质量系统作为动力学系统,往往表现出强非线性、模型不精确或模型未知等复杂特征,其控制也因此而变得非常困难,当给定输入函数(控制函数)时,弹簧活塞系统稳定性变化随着物体的质量、弹簧个数改变而改变.本文中弹簧质量系统控制问题是一个简单的线性系统模型,这避免不了与实际情况有一些差异.当然原问题的基础上,再加两个弹簧,我们也可以建立相关的弹簧质量系统模型.要想得到更接近实际的结果,我们需要考虑多方面的因素建立控制模型,当然求解和仿真也是比较复杂.这需要我今后更加努力学习、不断改进模型,并能够进行动态模拟仿真.
参考文献
[1]段广仁编著,线性系统理论,哈尔滨工业大学出版社,1996.11
[2]叶敏、肖龙翔编著,分析力学,天津大学出版社,2001.4
L3]杨晓松编著,Hamilton系统的拓扑理论,中国科学技术大学出版社,2008.8
[4]王正林、王胜开、陈国顺编著,MATLAB/Simulink与控制系统仿真,电子工业出版社,
2005.7
附录
附录1
反馈增益阵的MATLAB的程序
A二[0,1;-1,0];
B二[0;1];
P二[-1+j,-l-j];%希望的极点
Knacker(A,B,P);%进行极点配置
运行结果如下:
K二
12
附录2
极点配置后系统的阶跃响应MATLAB的程序如下:
A二[0,1;-1,0];
B二[0;1];
C二[1,0];
D二0;
P二[-1+j,-l-j];
Replace(A,B,P):
sys_new=ss(A~B*K,B,C,D):
t二0:
0.2:
10;
y_new=step(sys_new,t);
plot(t,y_new);
grid
xlabel('时间/秒')
ylabeK*y(t)*)
附录3
图7.3系统的simulink模型
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 哈密 系统 数学 建模 动力学 分析