数学建模淋雨量模型.docx
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数学建模淋雨量模型
大学本科学生论文
数学模型的淋雨量模型
学生:
谭昕宇、龙顺
学号:
指导教师:
黄光辉
专业:
通信工程专业
大学通信工程学院
二O一七年十月
摘要
本文针对淋雨量最小问题,采用matlab仿真等方法,得到不同风向下淋雨量与跑步速度的关系。
针对问题一,可以得到淋雨量最小是2.44L
针对问题二,通过matlab仿真可以得到迎面淋雨时跑步速度最大,淋雨量最小。
且淋雨量大小与跑步方向和雨线夹角有关。
针对问题三,通过matlab仿真可以知道背面淋雨时,跑步方向和雨线夹角不太小时,当跑步速度与雨速在同一方向分量相等时淋雨量最小,此时只有顶面淋雨。
在本文的最后,对模型的优缺点进行分析,并提出一些改进。
关键字:
淋雨量最小,跑步速度,雨线与跑步方向夹角,matlab
一、问题描述
要在雨中从一处沿直线跑到另一处,若雨速为常数且方向不变。
讨论淋雨量与人体跑步速度的关系。
二、问题分析
这是一个简单优化问题,根据雨速大小和方向、人速度大小进行合理分析,使得人淋雨量最小。
淋雨面积与雨的方向有关,淋雨时间与跑步速度与雨速相对速度大小有关,所以在不同情况下有不同的最优解。
三、模型假设
1.人体简化成一个长方体,高a=1.5m(颈部以下),宽b=0.5m,厚c=0.2m;
2.雨速u是常数(4m/s),在跑步过程中降雨量w是常数(2cm/h);
3.在整个过程中人跑步速度v是常数,且有最大速度Vmax=5m/s;
4.雨线的方向是确定的;
5.跑步距离一定d=1000m.
四、符号说明
符号
符号说明
v
跑步速度
a
人体长
b
人体宽
c
人体厚
w
降雨量(cm/h)
d
跑步距离
u
雨速
Q
淋雨量
аθγ
雨线与人体的夹角
五、模型的建立与求解
根据题意,按以下步骤进行讨论:
5.1不考虑雨的方向,设雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的总淋雨量。
淋雨面积s=2ab+2ac+ab=2.2m2,跑完时间t=d/v=200s,降雨量w=2cm/h=1/1.8X105m/s,
淋雨量Q=swt=2.44X10-3m3。
5.2雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一铅直平面,且与人体的夹角为θ,建立总淋雨量与速度v的关系,求解总淋雨量最少的最优解,并计算θ=0,θ=30。
的总淋雨量。
(1)淋雨量分为正面和顶面两部分,正面面积s1=ab=0.75m2,正面单位面积单位时间的淋雨量为w(usinθ+v)/u,淋雨时间t=d/v
淋雨量
;
顶面面积S2=bc=0.1m2,顶面单位面积单位时间的淋雨量为wcosθ,淋雨时间t=d/v,
淋雨量
总淋雨量
(2)模型求解得············
很明显当v=5m/s时Q最小。
用matlab仿真得到:
当θ=0时,
QMIN=1.1526L
当θ=30。
时,
QMIN=1.5535L
5.3雨从背面吹来,雨线与跑步方向在同一铅直平面,且与人体的夹角为а,建立总淋雨量与速度v的关系,求解总淋雨量最少的最优解,并计算а=30。
的总淋雨量。
(1)淋雨量分为顶面和背面淋雨,顶面淋雨量为
背面淋雨可以看做是追击问题,分为同位置雨滴追得上人体和人体追上前面上的雨滴两种情况。
淋雨量分别为
··········
··········
总淋雨量为
(2)模型求解
············
············
分析单调性可知,Q在
时单调递减
当
时,Q在上单调递增,v=4sinа时Q最小
当
时,Q在上单调递减,v=5时Q最小
当а=30.时,满足
当v=2时。
QMIN=0.2365L
当а=90。
时
满足v=5时Q最小。
(4)解释上图结果的实际意义。
雨从背面吹来,只要а满足
,当v=4sinа时Q最小,这时人体背面不淋雨,只有顶面淋雨,超过此值,迎面淋雨增加。
当а过小时,主要是顶面淋雨,这就与淋雨时间有很大关系,跑得越快,淋雨时间越短,淋雨量越小。
(5)若雨线与跑步方向不在同一平面,模型会有什麽变化?
模型会增加一角,没有其他变化。
六、模型评价
6.1模型优点
上述讨论,考虑了各种淋雨情况,比较全面的分析了因风向不同导致雨线方向不同的淋雨情况,可以在现实情况下应用。
6.2模型缺点
主要将跑步速度常量化,忽略了人的体质问题,还有雨速方向是时刻变化的,可以建立函数表示,而不是简单固定不变。
6.3模型改进
可以将人跑步看成匀加速、匀速、匀减速过程;雨速方向与跑步方向夹角在一定围变化。
七、参考文献
数学模型(第四版)启源、金星、叶俊编,高等教育2013
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