高三理科数学一轮复习集合与常用逻辑用语知识总结与题型演练.docx
- 文档编号:11746710
- 上传时间:2023-03-31
- 格式:DOCX
- 页数:16
- 大小:116.61KB
高三理科数学一轮复习集合与常用逻辑用语知识总结与题型演练.docx
《高三理科数学一轮复习集合与常用逻辑用语知识总结与题型演练.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高三理科数学一轮复习集合与常用逻辑用语知识总结与题型演练.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高三理科数学一轮复习集合与常用逻辑用语知识总结与题型演练
2019年高三理科数学一轮复习:
集合与常用逻辑用语(知识总结与题型演练)
1.集合
(1)集合的含义与表示
①了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系.
②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
(2)集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
②在具体情境中,了解全集与空集的含义.
(3)集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
③能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
2.常用逻辑用语
(1)理解命题的概念.
(2)了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.
(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
(5)理解全称量词和存在量词的意义.
(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定.
1.1集合及其运算
1.集合的基本概念
(1)我们把研究对象统称为________,把一些元素组成的总体叫做________.
(2)集合中元素的三个特性:
______,______,_________.
(3)集合常用的表示方法:
________和________.
2.常用数集的符号
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
符号
3.元素与集合、集合与集合之间的关系
(1)元素与集合之间存在两种关系:
如果a是集合A中的元素,就说a________集合A,记作________;如果a不是集合A中的元素,就说a________集合A,记作________.
(2)集合与集合之间的关系:
表示
关系
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
__________
⇔A=B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
________或________
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素
________或________
空集
空集是任何集合的子集,是任何______的真子集
∅⊆A,∅
B
(B≠∅)
结论:
集合{a1,a2,…,an}的子集有______个,非空子集有________个,非空真子集有________个.
4.两个集合A与B之间的运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号
表示
若全集为U,则集合A的补集记为________
Venn图表示(阴影部分)
意义
5.集合运算中常用的结论
(1)①A∩B________A; ②A∩B________B;
③A∩A=________;④A∩∅=________;
⑤A∩B________B∩A.
(2)①A∪B________A;②A∪B________B;
③A∪A=________;④A∪∅=________;
⑤A∪B________B∪A.
(3)①∁U(∁UA)=________;
②∁UU=________;
③∁U∅=________;
④A∩(∁UA)=________;
⑤A∪(∁UA)=________.
(4)①A∩B=A⇔________⇔A∪B=B;
②A∩B=A∪B⇔____________.
(5)记有限集合A,B的元素个数为card(A),card(B),则:
card(A∪B)=____________________________;
card[∁U(A∪B)]=________________________.
自查自纠
1.
(1)元素 集合
(2)确定性 互异性 无序性
(3)列举法 描述法
2.N N*(N+) Z Q R C
3.
(1)属于 a∈A 不属于 a∉A
(2)A⊆B且B⊆A A⊆B B⊇A A
B B
A
非空集合 2n 2n-1 2n-2
4.A∪B A∩B ∁UA {x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A}
5.
(1)①⊆ ②⊆ ③A ④∅ ⑤=
(2)①⊇ ②⊇ ③A ④A ⑤=
(3)①A ②∅ ③U ④∅ ⑤U
(4)①A⊆B ②A=B
(5)card(A)+card(B)-card(A∩B)
card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B)
(2017·北京)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=( )
A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}
C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}
解:
A∩B={x|-2<x<-1}.故选A.
(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( )
A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=R
C.A∪B={x|x>1}D.A∩B=∅
解:
由3x<1⇒x<0,则B={x|x<0},故而A∩B=B={x|x<0},A∪B=A={x|x<1}.故选A.
(2017·全国卷Ⅱ)设集合Α={1,2,4},Β={x|x2-4x+m=0}.若Α∩Β={1},则Β=( )
A.{1,-3}B.{1,0}
C.{1,3}D.{1,5}
解:
由Α∩Β={1}得1∈B,所以m=3,B={1,3}.故选C.
(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为________.
解:
A表示圆x2+y2=1上所有点的集合,B表示直线y=x上所有点的集合,故A∩B表示直线与圆的交点,由图可知交点的个数为2,即A∩B中元素的个数为2.故填2.
(2016·天津)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=________.
解:
因为A={1,2,3,4},所以B={1,4,7,10},则A∩B={1,4}.故填{1,4}.
类型一 集合及相关概念
(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1B.3C.5D.9
(2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则实数a=( )
A.
B.
C.0D.0或
解:
(1)当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2;
当x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1;
当x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0.
根据集合中元素的互异性可知,B的元素为-2,-1,0,1,2,共5个.故选C.
(2)若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.
当a=0时,x=
,符合题意;
当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0,得a=
,所以a的取值为0或
.故选D.
【点拨】第
(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第
(2)题集合A中只有一个元素,要分a=0与a≠0两种情况进行讨论,此题易忽视a=0的情形.用描述法表示集合,先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他类型的集合.
(1)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=
,则b-a=________.
(2)已知集合A={x∈R|ax2+3x-2=0},若A=∅,则实数a的取值范围为________.
解:
(1)因为{1,a+b,a}=
,a≠0,
所以a+b=0,
=-1,从而b=1,
所以a=-1,b=1,所以b-a=2.故填2.
(2)由A=∅知方程ax2+3x-2=0无实根,
当a=0时,x=
不合题意,舍去;
当a≠0时,Δ=9+8a<0,所以a<-
.
故填
.
类型二 集合间的关系
已知集合A={x|x2-3x-10≤0}.
(1)若B={x|m-6≤x≤2m-1},A⊆B,求实数m的取值范围;
(2)若B={x|m+1≤x≤2m-1},B⊆A,求实数m的取值范围.
解:
由A={x|x2-3x-10≤0},得A={x|-2≤x≤5}.
(1)若A⊆B,则
解得3≤m≤4.所以m的取值范围为[3,4].
(2)若B⊆A,则
①当B=∅,有m+1>2m-1,即m<2,此时满足B⊆A;
②当B≠∅,有
解得2≤m≤3.
由①②得,m的取值范围是(-∞,3].
【点拨】本例主要考查了集合间的关系,“当B⊆A时,B可能为空集”很容易被忽视,要注意这一“陷阱”.
(1)已知集合A={x|lgx>0},B={x|x≤1},则( )
A.A∩B≠∅B.A∪B=R
C.B⊆AD.A⊆B
解:
由B={x|x≤1},且A={x|lgx>0}=(1,+∞),所以A∪B=R.故选B.
(2)已知集合A={x|x2-2018x-2019≤0},B={x|x 解: 由x2-2018x-2019≤0,得A=[-1,2019],又B={x|x 类型三 集合的运算 (1)(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( ) A.5B.4C.3D.2 (2)(2016·浙江)设集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)=( ) A.[2,3]B.(-2,3] C.[1,2)D.(-∞,-2)∪[1,+∞) 解: (1)集合A中元素满足x=3n+2,n∈N,即被3除余2,而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.故选D. (2)易知Q={x|x≥2或x≤-2}.所以∁RQ={x|-2 【点拨】集合的运算问题,一般要先研究集合中元素的构成,能化简的要先化简,同时注意数形结合,即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算. (1)如果S={1,2,3,4,5},A={1,3,4},B={2,4,5},那么(∁SA)∩(∁SB)等于( ) A.∅B.{1,3}C.{4}D.{2,5} 解: 因为∁SA={2,5},∁SB={1,3},所以(∁SA)∩(∁SB)=∅.故选A. (2)设全集U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},则P∩(∁UQ)等于( ) A.{1,2}B.{3,4,5} C.{1,2,6,7}D.{1,2,3,4,5} 解: 因为∁UQ={1,2},所以P∩(∁UQ)={1,2}.故选A. 类型四 韦恩(Venn)图 设全集为R,集合M= ,N={x|y=lg(x2+3x)},则韦恩图中阴影部分表示的集合在数轴上表示为( ) 解: 因为- ≤x≤ ,y=2x+1,所以0≤y≤2,所以M={y|0≤y≤2}.因为x2+3x>0,所以x>0或x<-3,所以N={x|x>0或x<-3},韦恩图中阴影部分表示的集合为(∁RM)∩N,又∁RM={x|x<0或x>2},所以(∁RM)∩N={x|x<-3或x>2}.故选C. 【点拨】韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系,先化简集合,再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算. 如图,全集I=R,集合A={x|0<x<2},B={x|1<x<3},则图中阴影部分所表示的集合为( ) A.{x|1<x<2}B.{x|0<x<3} C.{x|x<3}D.{x|x>0} 解: 由韦恩(Venn)图可知,阴影部分表示的是集合A∪B={x|0<x<3}.故选B. 1.首先要弄清构成集合的元素是什么,如是数集还是点集,要明了集合{x|y=f(x)},{y|y=f(x)},{(x,y)|y=f(x)}三者是不同的. 2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性,特别是互异性,在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中,常因忽视互异性,疏于检验而出错. 3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观.对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算,可借助韦恩(Venn)图实施;对连续的数集间的运算,常利用数轴进行;对点集间的运算,则往往通过坐标平面内的图形求解.这在本质上是数形结合思想的体现和运用. 4.空集是不含任何元素的集合,在未明确说明一个集合非空的情况下,要考虑集合为空集的可能.另外,不可忽视空集是任何元素的子集. 5.五个关系式A⊆B,A∩B=A,A∪B=B,∁UB⊆∁UA以及A∩(∁UB)=∅是两两等价的.对这五个式子的等价转换,常使较复杂的集合运算变得简单. 6.正难则反原则 对于一些比较复杂,比较抽象,条件和结论不明确,难以从正面入手的涉及集合的数学问题,在解题时要调整思路,考虑问题的反面,探求已知与未知的关系,化难为易,化隐为显,从而解决问题. 例如: 已知A={x|x2+x+a≤0},B={x|x2-x+2a-1<0},C={x|a≤x≤4a-9},且A,B,C中至少有一个不是空集,求a的取值范围. 这个问题的反面即是三个集合全为空集, 即 解得 ≤a<3, 从而所求a的取值范围为 . 1.(2016·北京)已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A∩B=( ) A.{x|2<x<5}B.{x|x<4或x>5} C.{x|2<x<3}D.{x|x<2或x>5} 解: 易知A∩B=(2,3).故选C. 2.(2016·四川)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( ) A.3B.4C.5D.6 解: 由题意,A∩Z={-2,-1,0,1,2},则元素的个数为5.故选C. 3.已知全集R,集合A={x|(x-1)(x+2)(x-2)=0},B={y|y≥0},则A∩(∁RB)为( ) A.{1,2,-2}B.{1,2} C.{-2}D.{-1,-2} 解: A={1,2,-2},而B的补集是{y|y<0},故两集合的交集是{-2}.故选C. 4.(2017·江苏)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为( ) A.- B.0C.1D.2 解: a2+3>1,故只能有a=1.故选C. 5.集合P={1,4,9,16,…},若a∈P,b∈P,则a⊕b∈P,则运算⊕可能是( ) A.除法B.加法C.乘法D.减法 解: 当⊕为除法时, ∉P,所以排除A; 当⊕为加法时,1+4=5∉P,所以排除B; 当⊕为乘法时,m2·n2=(mn)2∈P,C正确; 当⊕为减法时,1-4∉P,所以排除D.故选C. 6.设全集U为整数集,集合A={x∈N|y= },B={x∈Z|-1 A.3B.4C.7D.8 解: A={x∈N|y= }={x∈N|7x-x2-6≥0}={x∈N|1≤x≤6},由题意知,图中阴影部分表示的集合为A∩B={1,2,3},其真子集有: ∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共7个.故选C. 7.(2017·天津)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4},则(A∪B)∩C=________. 解: A∪B={1,2,4,6},所以(A∪B)∩C={1,2,4}.故填{1,2,4}. 8.已知集合A,B与集合A@B的对应关系如下表: A {1,2,3,4,5} {-1,0,1} {-4,8} B {2,4,6,8} {-2,-1,0,1} {-4,-2,0,2} A@B {1,3,5,6,8} {-2} {-2,0,2,8} 若A={-2019,0,2018},B={-2019,0,2017},试根据图表中的规律写出A@B=________. 解: 由规律知,A@B是由A∪B中元素去掉A∩B中元素构成的集合,故A@B={2017,2018}.故填{2017,2018}. 9.已知集合A={m+2,2m2+m,-3},且3∈A,求m的值. 解: 因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3,解得m=1或m=- . 当m=1时,m+2=2m2+m=3,不满足集合元素的互异性,当m=- 时,A= 满足题意.故m=- . 10.已知集合A={2,3},B={x|mx-6=0},若B⊆A,求实数m的值. 解: 当m=0时,B=∅⊆A;当m≠0时,由B= ⊆{2,3}可得 =2或 =3,解得m=3或m=2,综上可得实数m=0或2或3. 11.设全集是实数集R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}. (1)当a=-4时,求A∩B和A∪B; (2)若(∁RA)∩B=B,求实数a的取值范围. 解: (1)A= , 当a=-4时,B={x|-2<x<2}, A∩B= ,A∪B={x|-2<x≤3}. (2)∁RA= , 当(∁RA)∩B=B时,B⊆∁RA,即A∩B=∅. ①当B=∅,即a≥0时,满足B⊆∁RA; ②当B≠∅,即a<0时,B={x|- <x< }, 要使B⊆∁RA,只须 ≤ ,解得- ≤a<0. 综上可得,实数a的取值范围是 . 设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n}.令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件x A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∉S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∉S 解: 题目中x
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 理科 数学 一轮 复习 集合 常用 逻辑 用语 知识 总结 题型 演练
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)