南京二轮专题7.docx
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南京二轮专题7.docx
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南京二轮专题7
专题7:
导数及其应用
类型四:
不等式恒成立问题
一、前测回顾
1.已知不等式ex>x2+m对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数m的取值范围;
2.若不等式ax2>lnx+1对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
二、方法联想
(1)若不等式的左右都是相同的变量x,如:
对x∈D,f(x)≤g(x)恒成立.
方法1分离变量看最值法(优先).
方法2构造含有参数的函数.
方法3构造两个函数的图象判断位置关系(限于解填空题).
方法4变换角度看函数.
技巧可以通过先取满足条件的特殊值来缩小变量的范围.
(2)若不等式的左右都是不相同的变量,如:
对x1∈D1,x2∈D2,f(x1)≤g(x2)恒成立,
则f(x)max≤g(x)min.
说明:
若是不等式有解问题,则求最值与恒成立的问题正好相反.
三、方法应用
例1、(2018南京调研)已知函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,a∈R.若对于任意x∈(0,+∞),f(x)+f(-x)≥12lnx恒成立,求a的取值范围;
例2.(2018·无锡期末)已知函数f(x)=ex(3x-2),g(x)=a(x-2),其中a,x∈R.若对任意x∈R,有f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围;
例3、已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求实数a的取值范围.
归类巩固
*1.若不等式3x2-log
<0对任意x∈(0,
)恒成立,则实数a的取值范围为.
**2.已知函数f(x)=ex-ax(a>0).若对一切x≥0,f(x)≥1恒成立,则a的取值集合是.
**3.已知函数f(x)=x+xlnx,若f(x)≤kx2对任意x>0成立,则实数k的取值范围是.
**4.当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是.
**5.已知函数f(x)=
对任意的x∈(0,2),都有f(x)<
成立,求k的取值范围.
*6.已知函数f(x)=
,g(x)=lnx.证明:
f(x)≥g(x).
**7.已知函数f(x)=
,若对于t∈R,f(t)≤kt恒成立,则实数k的取值范围是.
**8.若函数f(x)=x-
sin2x+asinx在
单调递增,则a的取值范围是.
***9.已知函数f(x)=alnx,g(x)=-
x2+2x-
,对任意的x∈[1,+∞),都有f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的最小值是______.
**10.已知实数k∈R,且k≠0,e为自然对数的底数,函数f(x)=
,g(x)=f(x)-x.如果函数g(x)在R上为减函数,求k的取值范围。
**11.设函数f(x)=alnx+
x2-x,a∈R且a≠1.若存在x∈[1,+∞),使得f(x)<
求a的取值范围.
**12.已知a为实常数,y=f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x<0时,f(x)=2x-
+1.若f(x)≥a-1对一切x>0成立,求a的取值范围.
***13.已知函数f(x)=
+ax+b的图象在点A(1,f
(1))处的切线与直线l:
2x-4y+3=0平行.记函数g(x)=xf(x)+c,若g(x)≤0对一切x∈(0,+∞),b∈
恒成立,求c的取值范围.
**14.已知函数f(x)=xlnx.
(1)若函数g(x)=f(x)+ax在区间[e2,+∞)上为增函数,求a的取值范围;
(2)若对任意x∈(0,+∞),f(x)≥
恒成立,求实数m的最大值.
**15.已知函数f(x)=ax2-lnx(a为常数).若a<0,且对任意的x∈[1,e],f(x)≥(a-2)x恒成立,求实数a的取值范围.
***16.已知函数f(x)=x+sinx,求实数a的取值范围,使不等式f(x)≥axcosx在
上恒成立.
***17.(常州市2017届高三上学期期末)已知函数f(x)=x2lnx-x+1,当x≥1时,关于x的不等式f(x)≥t(x-1)2恒成立,求实数t的取值范围(其中e是自然对数的底数,e=2.71828…).
***18.已知函数f(x)=
,g(x)=k(x-1),若∃x∈[e,e2],使f(x)≤g(x)+
成立,求实数k的取值范围.
19.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.
**
(1)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
***
(2)求证:
对一切x∈(0,+∞),lnx>
-
恒成立.
类型五:
方程有解(或解的个数)问题
一、前测回顾
1.已知函数f(x)=
若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点,则实数m的取值范围为________.
2.已知f(x)=ax2,g(x)=lnx+1,若y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点,则实数a的取值范围是_______.
二、方法联想
方法1分离变量法(优先).
方法2构造F(x)=f(x)-g(x),转化为F(x)零点问题.
方法3构造两个函数的图象判断交点个数.
方法4转化为二次函数零点问题.
方法5转化为一次函数零点问题.
说明:
考虑数形结合.
三、方法应用
例1.已知函数f(x)满足f(x)=f(2x),且当x∈[1,2)时f(x)=lnx.若在区间[1,4)内,函数g(x)=f(x)-2ax有三个不同零点,则a的范围为__________.
例2.(2018·苏州期末·20)已知函数f(x)=
若方程f(-x)+f(x)=ex-3在区间(0,+)上有实数解,则实数a的取值范围是_______.
例3.(常州市2017届高三上学期期末)已知函数f(x)=x2lnx+bx+1,关于x的方程f(x)=0在[
,e]上恰有两个不等的实根,求实数b的取值范围;
四、归类巩固
*1.f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为个.
*2.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是.
*3.已知函数f(x)=
若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是___________.
***4、已知函数
.,若关于
的方程f2(x)+2f(x)+b=0有三个不同的实数根,则实数
的范围为_________.
***5、已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)=
若方程g[f(x)]-a=0有4个实数根,则实数a的取值范围为_________.
**6.设函数
则函数
的零点的个数为.
**7.已知函数f(x)=x2-2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)有唯一零点,则a=.
**8.(2018江苏)若函数
在
内有且只有一个零点,则
在
上的最大值与最小值的和为.
**9.已知函数f(x)=|x3-4x|+ax-2恰有2个零点,则实数a的取值范围为________.
**10.设函数f(x)=
g(x)=f(x)-b.若存在实数b,使得函数g(x)恰有3个零点,则实数a的取值范围为__________.
**11.已知0<a<1,k≠0,函数f(
x)=
若函数g(x)=f(x)-k有两个零点,则实数k的取值范围是________.
**12.(15年高考题).已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=
则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为____________.
***13.已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点,则a的取值范围是.
***14.已知函数f(x)=
t∈R.若函数g(x)=f(f(x)-1)恰有4个不同的零点,则t的取值范围为.
***15.已知a,b∈R,e为自然对数的底数.若存在b∈[-3e,-e2],使得函数f(x)=ex-ax-b在[1,3]上存在零点,则a的取值范围为.
***16.(15年高考题).已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R),若b=c-a(实数c是a与无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪(1,
)∪(
,+∞),求c的值.
***17.(12年高考题)若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
设h(x)=f(f(x))-c,其中c∈[-2,2],求函数y=h(x)的零点个数.
**18.(2018江苏)记f'(x),g'(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.
(1)证明:
函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”;
(2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=lnx存在“S点”,求实数a的值;
***19.设函数f(x)=(x+1)lnx,g(x)=
,是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?
如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由.
***20.已知b0,且b1,函数f(x)exbx,其中e为自然对数的底数.如果关于x的方程f(x)2有且只有一个解,求实数b的取值范围.
综合应用篇
一、例题分析
例1已知函数f(x)=x3+2bx2+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=f(x)+
mx,若g(x)的极值存在,求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值.
例2已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值;
(3)设g(x)=(1-a)x,若存在x0∈[
,e],使得f(x0)≥g(x0)成立,求实数a的取值范围.
二、反馈巩固
*1.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),则ab=_________.
*2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是___________.
*3.函数y=x+2cosx,x∈[0,
]的值域是.
*4.设函数f(x)=
x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上
单调递减,则实数a的取值范围是_______.
**5.关于x的方程x3-3x2-a=0有三个不同的实数解,则实数a的取值范围是________.
**6.已知x≥0,y≥0,x+3y=9,则x2y的最大值为________
**7.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=
lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为_____.
**8.若f(x)=-
x2+blnx在(0,+∞)上是减函数,则b的取值范围是.
**9.若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值又有极小值,则a的取值范围为.
**10.已知函数f(x)=x3+6x2+2a+3,若方程f(x)=0有3个互不相等的实数根,则a的取值范围是___________.
**11.已知f(x)=x3,g(x)=-x2+x-
a,若存在x0∈[-1,
](a>0),使得f(x0)<g(x0),则实数a的取值范围是.
***12.f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f'(x),若f(x)-f'(x)>1,f
(1)=2018,则不等式f(x)>2017·ex-1+1(其中e为自然对数的底数)的解集为_______.
13.已知函数f(x)=
x3-
x2+bx
+a(a,b∈R),且其导函数f′(x)的图象过原点.
*
(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程;
**
(2)若存在x<0,使得f′(x)=-9,求a的最大值.
14.已知函数f(x)=ex(ax2+x+1).
**
(1)设a>0,讨论
f(x)的单调性;
**
(2)设a=-1,证明:
对任意x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<2.
17.已知函数f(x)=|x-a|-
lnx,a∈R.
**
(1)求函数f(x)的单调区间;
***
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2(x1 1 18.已知a为实数,函数f(x)=x|x-a|-lnx. * (1)若a=1,求函数f(x)在区间[1,e](e为自然对数的底数)的最大值; ** (2)求函数f(x)的单调区间; ***(3)若f(x)>0恒成立,求a的取值范围. 19.(2015山东)设函数f(x)=(x+a)lnx,g(x)= ,已知曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线与 直线2x-y=0平行. (1)求a的值; (2)是否存在自然数k,使的方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根? 如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由; (3)设函数m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值. 20.已知函数f(x)=ex,g(x)=ax+b,a,b∈R. (1)若g(-1)=0,且函数g(x)的图像是函数f(x)图像的一条切线,求实数a的值; (2)若不等式f(x)>x2+m对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数m的取值范围; (3)若对任意实数a,函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上总有零点,求实数b的取值范围.
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- 南京 二轮 专题