湖南省郴州市二中届高三第六次月考理科数学+Word版含答案.docx
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湖南省郴州市二中届高三第六次月考理科数学+Word版含答案
湖南省郴州市二中2018届高三第六次月考
理科数学
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的.
1.已知集合,,则=
A.B.C.D.
2.已知复数满足,其中为虚数单位,则复数=
A.B.C.D.
3.已知向量,,若,则实数的值为
A.4B.或1C.D.4或1
4.执行如图所示的程序框图,若输出的值为21,则判断框内应填
A.B.C.D.
5.已知:
,:
,则是的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是杨辉三角数阵,记为图中第行各个数之和,则的值为
A.528B.1020C.1038D.1040
7.若,满足不等式组,则成立的概率为
A.B.C.D.
8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
A.B.C.D.
9.如图,已知函数(,,)的图象关于点对称,且的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4,将的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则下列是的单调递增区间的为
A.B.C.D.
10.已知抛物线:
(),直线交抛物线于、两点,过线段的中点作轴的垂线,交抛物线于点.若,则=
A.B.C.D.
11.已知三棱锥的底面是直角三角形,⊥,,⊥平面,是的中点.若此三棱锥的体积为,则异面直线与所成角的大小为
A.45°B.90°C.60°D.30°
12.已知函数,若,且,
则的取值范围是
A.B.
C.D.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分.
13.若二项式的展开式中,的系数为3,则的值为.
14.已知函数,若关于的不等式在[0,1]上有解,则实数的取值范围为.
15.如图所示,在圆内接四边形中,,,,,则四边形的面积为.
16.如图,已知双曲线的左焦点为,左、右顶点分别为,,在双曲线上且在轴的上方,⊥轴,直线,与轴分别交于,两点,若(为双曲线的离心率),则=.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知各项均为正数的等比数列的前项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
18.(本小题满分12分)
某教师为了了解本校高三学生一模考试的数学成绩情况,将所教两个班级的数学成绩(单位:
分)绘制成如图所示的茎叶图.
(1)分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数;
(2)若规定成绩大于等于115分为优秀,分别求出两个班级数学成绩的优秀率;
(3)在
(2)的条件下,若用甲班学生数学成绩的频率估计概率,从该校高三年级中随机抽取3人,记这3人中数学成绩优秀的人数为,求的分布列和数学期望.
19.(本小题满分12分)
如图,已知在等腰梯形中,,,,,=60°,沿,折成三棱柱.
(1)若,分别为,的中点,求证:
∥平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆:
的左、右焦点分别为,,在椭圆上(异于椭圆的左、右顶点),过右焦点作∠的外角平分线的垂线,交于点,且(为坐标原点),椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线:
()与椭圆交于,两点,点关于轴的对称点为,直线交轴于,求当三角形的面积最大时,直线的方程.
21.(本小题满分12分)
已知函数,,.
(1)若,,求函数的单调区间;
(2)设.
(i)若函数有极值,求实数的取值范围;
(ii)若(),求证:
.
选考部分
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)[选修4─4:
坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,直线:
(是参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线:
.
(1)求的普通方程和的直角坐标方程;
(2)判断直线与曲线的位置关系,若相交,求出弦长.
23.(本小题满分10分)[选修4─5:
不等式选讲]
已知(是常数,).
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若函数恰有两个不同的零点,求实数的取值范围.
答案
1.B【解析】依题意,由,得,,
即集合,,故选B.
2.A【解析】解法一 由复数的运算可得,
设,则,
所以,解方程组得,,所以,故选A.
解法二 由复数的运算可得,
所以.
3.B【解析】将两边平方得,将已知代入得,即,解得或1,故选B.
4.B【解析】初始值:
,=0;第一次循环:
=1,=1;第二次循环:
=2,=1+2=3;第三次循环:
=3,=3+3=6;第四次循环:
=4,=6+4=10;第五次循环:
=5,=10+5=15;第六次循环:
=6,=15+6=21;第七次循环:
=7.因为输出的值为21,所以结合选项可知判断框内应填,故选B.
5.A【解析】由,得,即;由,得,所以,即.因此是的充分不必要条件,故选A.
6.D【解析】,,,,,…,
所以,,故选D.
7.A【解析】作出,所对应的可行域(如图中△BDE及其内部所示),
表示可行域内的点与定点连线的斜率,当取图中△ABC内及边界上的点时,成立.由,可得,
由,可得,由,得,
故,,
则所求概率,故选A.
8.A【解析】由三视图可画出几何体的直观图为多面体ABCDEF,放在长方体中如图所示,则几何体的表面由四个全等且直角边长分别为2,3的直角三角形,两个边长分别为,,的等腰三角形及一个边长为2的正方形构成,故几何体的表面积为.
9.C【解析】由图知,不妨设两个相邻的最高点和最低点分别为,,过作⊥轴于,如图所示.
令(),则,得,所以,,设函数的最小正周期为,则,,,
所以.将(2,0)代入得,
因为,所以,,
所以=.
由,
解得,
令,得,的一个单调递增区间为,故选C.
10.B【解析】联立抛物线与直线的方程,消去得
.设,,则,,,∴.∵,∴,
∴,
即,
∴,将,代入,得,得或(舍去).故选B.
11.C【解析】∵⊥平面,,
∴三棱锥的体积,∴=4,
∴,.
设的中点为,连接,,如图,则,
,,∴△是正三角形,
∴∠=60°.∵是的中点,则∥,
∴∠是异面直线与所成的角,
即异面直线与所成角的大小为60°.
12.D【解析】解法一:
先作出的图象如图所示,通过图象可知,若,,则,设=t,则(>0),
故,所以,,而,
所以,当且仅当时等号成立.
令,则,
故,
因为在上单调递增,
所以.
解法二:
先作出的图象如图所示,通过图象可知,若,,则,可得,
所以,所以,,
所以,当且仅当,即时,等号成立.
令,则,
所以,
因为在上单调递增,
所以.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分.
13.【解析】由二项展开式的通项可得,,即,因此.
14.【解析】由在[0,1]上有解,
可得,即.
令,则,
因为,所以,
则当,即时,,
即,故实数的取值范围是.
15.【解析】如图所示,连接,因为为圆内接四边形,所以180°,则,利用余弦定理得,
,解得,所以.
由,得,
因为=180°,所以,
.
16.+1【解析】由已知得,,,,.
由∽△可得,,即,解得.
由∽△可得,,即,解得.
由已知,可得,
所以,即,
整理得,故.
17.【解析】
(1)设等比数列的公比为,
因为,,
所以,故,所以,
因为,所以,(4分)
所以.(6分)
(2)由
(1)知,因为,
所以,(9分)
因为,所以,
所以
.(12分)
18.【解析】
(1)由所给的茎叶图知,甲班50名同学的成绩由小到大排序,排在第25,26位的是108,109,数量最多的是103,故甲班数学成绩的中位数是108.5,众数是103;(2分)
乙班48名同学的成绩由小到大排序,排在第24,25位的是106,107,数量最多的是92和101,故乙班数学成绩的中位数是106.5,众数为92和101.(4分)
(2)由茎叶图中的数据可知,甲班中数学成绩为优秀的人数为20,优秀率为;乙班中数学成绩为优秀的人数为18,优秀率为.(6分)
(3)用甲班学生数学成绩的频率估计概率,则高三学生数学成绩的优秀率,则的所有可能取值为0,1,2,3,服从二项分布,即,
;;
;.(10分)
的分布列为
0
1
2
3
=0×+1×+2×+3×=(或=).(12分)
19.【解析】
(1)取的中点,连接,,
在三角形中,∵,分别为,的中点,∴∥,
∵平面,平面,∴∥平面.(2分)
由于,分别为,的中点,由棱柱的性质可得∥,
∵平面,平面,∴∥平面.(3分)
又平面,平面,∩=,
∴平面∥平面,
∵平面,∴∥平面.(5分)
(2)连接,在Rt△中,,,∴,又,,∴,∴,又且,∴⊥平面.(7分)
建立如图所示的空间直角坐标系,
可得(0,0,0),(,0,0),(0,1,0),(0,1,1),=(,1,1),=(,0,0),=(0,0,1).(8分)
设平面的法向量为,则,
则,令,得,则=(1,,0)为平面的一个法向量,
设平面的法向量为,则,
则,令,得,
∴为平面的一个法向量.(10分)
设,所成的角为,则,
由图可知二面角的余弦值是.(12分)
20.【解析】
(1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为,得.(2分)
延长交直线于点,因为为∠的外角平分线的垂线,所以,为的中点,
所以,
所以,,
所以椭圆的方程为.(5分)
(2)将直线和椭圆的方程联立得,消去,
得,
所以,即.(7分)
设,,则,由根与系数的关系,
得,,
直线的斜率,
所以直线的方程为,
令得,
故,所以点到直线的距离,
所以.(10分)
令(),则,
当且仅当,即,即,时,三角形的面积最大,
所以直线的方程为或.(12分)
21.【解析】
(1)当,时,,定义域为,
.
令,得;令,得.
所以函数的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(4分)
(2)(i)=,定义域为(0,+∞),
,
①当时,,函数在(0,+∞)上为单调递增函数,
不存在极值.(6分)
②当时,令,得,,
所以,易证在上为增函数,
在上为减函数,所以当时,取得极大值.
所以若函数有极值,实数的取值范围是.(8分)
(ii)由(i)知当时,不存在,使得,当时,存在,使得,不妨取,
欲证,只需证明.
因为函数在上为减函数,故只需证,
即证,即证.
令,
则.(10分)
设,则,
因为,,所以在上为减函数,
,
所以在上为增函数,所以,
即,故成立.(12分)
22.【解析】
(1)由:
,消去得,
所以直线的普通方程为.
把的两边同时乘以得,
因为,,
所以,即,
所以曲线的直角坐标方程为.(5分)
(2)由
(1)知,曲线:
是圆心为(0,4),半径为4的圆,
所以圆心(0,4)到直线的距离,
所以直线与曲线相交,其弦长为.(10分)
23.【解析】
(1)当时,=,
由,得或,
解得或,
故不等式的解集为{|或}.(5分)
(2)令=0,得,
则函数恰有两个不同的零点转化为与的图象有两个不同的交点,在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示,结合图象知当时,这两个函数的图象有两个不同的交点,所以当时,函数恰有两个不同的零点,故实数的取值范围为.(10分
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