高等动力学.ppt
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经典动力学的两个发展方面,拓宽研究领域,矢量动力学又称为牛顿欧拉动力学,牛顿运动定律由单个自由质点受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础),欧拉将牛顿运动定律刚体和理想流体,寻求新的表达形式,将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学建立分析力学的新体系,拉格朗日力学,经典力学的三个发展阶段:
牛顿:
Lagrange:
Hamilton:
力是影响物体运动的因素。
力和约束是影响物体运动的因素。
力学的原理还可以按某种作用量的逗留值来叙述。
自然科学的数学原理(1687),分析力学(1788),论动力学中的一个普遍方法(1834),分析力学的发展,本节内容,内容1:
约束、广义坐标,内容2:
约束的几何意义,内容3:
约束对运动的影响(位移、速度)。
虚位移是约束被“冻结”后此瞬时约束允许的无限小位移,与时间t的变化无关(t0)。
分析力学的基础概念:
虚位移,1.1位形空间,对于物体运动的客观空间,引入笛卡儿坐标系Oxyz。
为描述一个质点的运动,需考虑在每一时刻t的向径r(t):
对于由N个质点所构成的系统,则需要3N个数来表示质点系统的位置和形状(位形):
引入由这3N个数张成的抽象空间来表示位形c,令该空间是由这3N个数构成各维的正交欧氏空间C,称为位形空间。
运动的多维空间描述,系统每一时刻的位形唯一对应于C空间的一个表现点c,C空间的一个点c对应于系统的一个位形,当系统的位形随时间变化时,其位形表现点在C空间中画出了一超曲线,即一维的轨迹,称为系统的C轨迹。
C轨迹的一般性质:
1.C轨迹是连续的;,2.C轨迹可以有重点;,3.C轨迹的拐点仅发生在如下情况;,a.静止点处;,b.在有打击作用的时刻;,位形空间的特点,1.2约束,约束:
非自由质点系在空间中的位置及其在运动中受到的限制,约束方程:
用数学方程表达各质点所受的限制条件,在由两个或更多质点构成的系统中,不受约束的运动是不存在的。
绝大多数的运动都是约束运动。
约束,具有如下形式或可以化为如下形式的约束称为完整约束:
1.3完整约束,完整约束(homonomicconstraint),如约束表达式中不显含时间t,则称其为定常约束(scleronomicconstraint);否则称为非定常约束(rheonomicconstraint)。
定常约束和非定常约束,对于定常约束:
一个约束方程构成位形空间上的一个N-1维固定曲面。
对于非定常约束?
系统运动的c轨迹必须位于该曲面内。
约束方程的几何解释,1.4广义坐标,能够唯一地确定质点系可能位置的独立参数称为广义坐标。
选定广义坐标后,系统内笛卡儿坐标可由广义坐标确定,广义坐标数为:
N质点总数r完整约束的总数;,广义坐标,取一组新的坐标:
两组坐标之间的变换关系:
两组坐标均可以描述质点的位形,考虑系统由一个质点构成,约束方程为:
x-y=0,广义坐标,注意到完整约束关系:
则有:
即可以用两个坐标表示系统的位形:
广义坐标,在广义坐标下系统的完整约束自然满足,约束方程可不予考虑。
广义坐标,设由N个质点组成的系统包含独立的r个完整约束,引入一组新的变量q:
令变换关系中的前r项为完整约束,其余部分任选,但要求变换式为无关组。
则可以得到从x到q的变换:
广义坐标,注意到完整约束关系:
则有:
即笛卡儿坐标可利用另一组坐标表示,当采用广义坐标时,完整约束自动满足。
广义坐标,假设约束曲面是光滑的,有:
在约束面上的任一点处的充分小临域内,约束方程要求所有的可能轨迹必须在其切平面内,而不是约束曲面内。
虚位移在约束曲面的切平面内。
约束对无穷小位移的影响(局部特性),在光滑球面上运动的质点,球面方程为:
约束方程:
无穷小的位移改变应满足:
约束对无穷小位移的影响(例),设在无穷小位移上的约束为:
其中g(z)为z的已知函数,求加在有限位移上的约束,解:
没有加在有限位移上的约束。
若令加在有限位移上的约束为:
则有:
加在无穷小位移上的约束不一定会限制有限位移的运动。
速度约束不一定对位移有限制。
约束与有限位移和无穷小位移(例),不可化为完整约束形式的约束为非完整约束。
大多数实际遇到的非完整约束问题,其约束方程为质点速度的一次代数方程:
1.5非完整约束,非完整约束,上述形式的微分约束称为Pfaff约束。
将速度形式的约束方程写成微分形式:
对于完整约束:
有:
则系统的约束方程可以统一表示为微分形式:
有关于Pfaff约束的可积性定理可见参考文献,Pfaff形式,完整约束限制系统的位形轨迹必须在约束曲面上。
非完整约束?
例:
对于非完整约束:
可否由原点到达空间中的任一点(x1,y1,z1)?
在xy平面内作函数y=f(x):
解:
定义质点的轨迹为:
非完整约束的特点可达性,显然质点的轨迹满足:
1.过原点,2.过(x1,y1,z1)点,3.满足约束方程:
完整约束会减小可达的位形空间的维数,而非完整约束则不会。
完整约束会减小广义坐标数,而非完整约束则不会。
滑冰!
非完整约束的特点可达性,内容1:
什么是虚位移?
内容2:
定常约束和非定常约束的不同?
内容3:
完整约束和非完整约束的不同?
分析力学的基础概念:
虚位移、虚功,本节内容,约束方程,虚位移是约束被“冻结”后此瞬时约束允许的无限小位移,与时间t的变化无关(t0)。
真实位移实际发生的位移,用dr表示,它同时满足动力学方程、初始条件和约束条件。
可能位移约束允许的位移,用r表示,它只需满足约束条件。
虚位移定常约束情况下的可能位移,非定常情况下假想约束“冻结”时的可能位移,用r表示。
等时变分,虚位移的定义(理论力学),设在由N个质点组成的系统上作用有r个完整约束和s个线性非完整约束,将这些约束统一写成微分形式:
则对给定的t和x,满足约束方程的无限小位移dx称为系统在时刻t由位形x出发,在dt时间内的可能位移,即约束所允许的无穷小位移。
可能位移仅需满足约束方程;,可能位移对应于一定的无穷小时间间隔内位移的变化;,可能位移一般不是唯一的;,可能位移的特点:
可能位移处于约束曲面的切平面上;,可能位移(分析力学),与理力定义的不同:
无穷小,定义:
在时刻t,系统自同一位形出发,经过同一无穷小时间间隔dt所发生的任意两个可能位移之差称为系统在时刻t的虚位移,记为:
虚位移仅需满足约束方程;,虚位移对应于一定的无穷小时间间隔内位移的变化;,虚位移一般不是唯一的;,虚位移的特点:
虚位移处于冻结的约束曲面的切平面上;,虚位移可以表示为矢径或坐标的等时变分。
虚位移,对于完整约束:
有:
完整约束下虚位移的约束方程等于约束方程的等时变分。
约束对虚位移的限制,约束方程:
可能位移的约束方程:
虚位移的约束方程:
虚位移(例1),点沿固定曲面运动:
可能位移的约束:
定常约束虚位移和可能位移是都在约束曲面的切平面上。
点沿运动曲面运动:
非定常约束虚位移在冻结约束曲面的切平面上。
非定常约束可能位移不在冻结约束曲面的切平面上。
定常约束与非定常约束,从x到q的变换为:
从x到q的可能位移的变换:
广义坐标的虚位移,完整系统广义坐标自动满足约束,非完整系统:
非完整系统广义坐标的虚位移不独立,独立的广义坐标虚位移个数称为自由度。
自由度,广义坐标数:
独立的位置参数,自由度数:
独立的运动参数,N=2r=1n=k=3,N=2r=3n=k=1,k=3s=1n=2,自由度(例),本节内容,内容1:
约束的力学特性-理想约束,内容2:
动力学基本方程,牛顿力学:
影响机械系统质点运动的因素是力,分析力学:
影响机械系统质点运动的因素是力和约束,约束对质点施加了力,牛顿力学:
内力和外力,分析力学?
内力不改变系统的动量,质点间的力既是内力,又是约束力,质点所受的力是外力,不是约束力,质点所受的力是外力,是约束力,约束的力学性质(例),作用在质点Pi上的力Fi在其虚位移ui上所作的功称为力Fi的虚功:
虚功是一个无限小标量,虚功不是功的变分,拉格朗日力学将力分为作虚功的和不作虚功的,拉格朗日力学将从能量观点研究力学问题,虚功,质点沿固定光滑的曲面上运动:
虚位移满足:
约束力沿曲面的法线方向:
虚功:
约束力(外力)的虚功为0,约束力的虚功:
质点、定常约束,质点沿运动光滑的曲面上运动:
虚位移满足:
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- 高等 动力学