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最新离散数学习题答案资料
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离散数学习题答案
习题一及答案:
(P14-15)
14、将下列命题符号化:
(5)李辛与李末是兄弟
解:
设p:
李辛与李末是兄弟,则命题符号化的结果是p
(6)王强与刘威都学过法语
pq
解:
设p:
王强学过法语;q:
刘威学过法语;则命题符号化的结果是
(9)只有天下大雨,他才乘班车上班
qp
解:
设p:
天下大雨;q:
他乘班车上班;则命题符号化的结果是
(11)下雪路滑,他迟到了
解:
设p:
下雪;q:
路滑;r:
他迟到了;则命题符号化的结果是
(pq)r
15、设p:
2+3=5.q:
大熊猫产在中国.r:
太阳从西方升起.
求下列复合命题的真值:
(pqr)((pq)r)
(4)
解:
p=1,q=1,r=0,
(pqr)(110)1
,
((pq)r)((11)0)(00)1
(pqr)((pq)r)111
19、用真值表判断下列公式的类型:
(pp)q
(2)
解:
列出公式的真值表,如下所示:
ppq
q
(pp)(pp)q
001111
011010
100101
110001
由真值表可以看出公式有3个成真赋值,故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值:
(4)
(pq)q
解:
因为该公式是一个蕴含式,所以首先分析它的成假赋值,成假赋值的条件是:
p0
(pq)1
q0
q0
成真赋值有:
01,10,11。
所以公式的
习题二及答案:
(P38)
5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值:
(2)
(pq)(qr)
解:
原式
(pq)qr(pp)qr
qr,此即公式的主析取范式,
mm
(pqr)(pqr)
37
所以成真赋值为011,111。
*6、求下列公式的主合取范式,并求成假赋值:
(2)
(pq)(pr)
解:
原式,此即公式的主合取范式,
M
(ppr)(pqr)(pqr)
4
所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式:
(1)
(pq)r
解:
原式
pq(rr)((pp)(qq)r)
(pqr)(pq)r(pq)r(pq)r(pq)r(pqr
(pqr)(pq)r(pq)r(pq)r(pqr,此即主析取范式。
mmmmm
13567
主析取范式中没出现的极小项为,,,所以主合取范式中含有三个极大项,,
MM
mmm
02
024
,故原式的主合取范式。
MMMM
4024
9、用真值表法求下面公式的主析取范式:
(1)
(pq)(pr)
解:
公式的真值表如下:
pppqpr
q
r
(pq)(pr)
0001000
0011011
0101101
0111111
1000101
1010101
1100101
1110101
由真值表可以看出成真赋值的情况有7种,此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析
取范式,故主析取范式
mmmmmmm
1234567
习题三及答案:
(P52-54)
11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提:
pq,qr,rs,p
结论:
s
证明:
①p前提引入
②前提引入
pq
③q①②析取三段论
④前提引入
qr
⑤r③④析取三段论
rs
⑥前提引入
⑦s⑤⑥假言推理
15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理:
(2)前提:
(pq)(rs),(st)u结论:
pu
证明:
用附加前提证明法。
①p附加前提引入
②①附加
pq
③前提引入
(pq)(rs)
rs
④②③假言推理
⑤s④化简
⑥⑤附加
st
⑦前提引入
(st)u
⑧u⑥⑦假言推理
故推理正确。
16、在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理:
rs
(1)前提:
,,
pqrq结论:
p
证明:
用归谬法
①p结论的否定引入
②前提引入
pq
③①②假言推理
q
④前提引入
rq
⑤③④析取三段论
r
rs
⑥前提引入
⑦r⑥化简
⑧⑤⑦合取
rr
由于,所以推理正确。
rr0
17、在自然推理系统P中构造下面推理的证明:
只要A曾到过受害者房间并且11点以前没离开,A就是谋杀嫌犯。
A曾到过受害者房间。
如果A在11点以前离开,看门人会看见他。
看门人没有看见他。
所以,A是谋杀嫌犯。
解:
设p:
A到过受害者房间,q:
A在11点以前离开,r:
A是谋杀嫌犯,s:
看门人看见
过A。
s
则前提:
,,,
pqs
(pq)r结论:
r
证明:
①前提引入
qs
s
②前提引入
③①②拒取式
q
④前提引入
p
⑤③④合取引入
pq
⑥前提引入
(pq)r
⑦⑤⑥假言推理
r
习题四及答案:
(P65-67)
5、在一阶逻辑中将下列命题符号化:
(2)有的火车比有的汽车快。
解:
设F(x):
x是火车,G(y):
y是汽车,H(x,y):
x比y快;则命题符号化的结果是:
xy(F(x)G(y)H(x,y))
(3)不存在比所有火车都快的汽车。
解:
方法一:
设F(x):
x是汽车,G(y):
y是火车,H(x,y):
x比y快;则命题符号化的结果是:
x(F(x)y(G(y)H(x,y)))
x(F(x)y(G(y)H(x,y)))
或
方法二:
设F(x):
x是火车,G(y):
y是汽车,H(x,y):
x比y快;则命题符号化的结果是:
x(G(x)y(F(y)H(x,y)))
xy(G(x)(F(y)H(x,y)))
或
9、给定解释I如下:
(a)个体域为实数集合R。
a0
(b)特定元素。
f(x,y)xy,x,yR
(c)函数。
F(x,y):
xy,G(x,y):
xy,x,yR
(d)谓词。
给出以下公式在I下的解释,并指出它们的真值:
xy(F(f(x,y),a)G(x,y))
(2)
xy(xy0xy)
解:
解释是:
,含义是:
对于任意的实数x,y,若x-y=0则x 该公式在I解释下的真值为假。 14、证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式: x(F(x)y(G(y)H(x,y))) (1) I 解: 取解释如下: 个体域为全总个体域, F(x)H(x,y) G(y) : x是兔子,: y是乌龟,: x比y跑得快,则该公式在解释I下真值是1; '' II H(x,y) 取解释如下: : x比y跑得慢,其它同上,则该公式在解释下真值是0; 故公式 (1)既不是永真式也不是矛盾式。 此题答案不唯一,只要证明公式既不是永真式也不是矛盾式的每个解释合理即可。 习题五及答案: (P79-81) 5、给定解释I如下: (a)个体域D={3,4} f(x): f(3)4,f(4)3 (b) F(x,y): F(3,3)F(4,4)0,F(3,4)F(4,3)1 (c) 试求下列公式在I下的真值: xyF(x,y) (1) 解: 方法一: 先消去存在量词 xyF(x,y)x(F(x,3)F(x,4)) (F(3,3)F(3,4)F)((4F,3) (01)(10) 1 15、在自然推理系统中,构造下面推理的证明: N (3)前提: , x(F(x)G(x))xG(x)结论: xF(x) 证明: ①前提引入 xG(x) ②①置换 xG(x) ③②UI规则 G(c) ④前提引入 x(F(x)G(x)) ⑤④UI规则 F(c)G(c) ⑥③⑤析取三段论 F(c) ⑦⑥EG规则 xF(x) *22、在自然推理系统中,构造下面推理的证明: N (2)凡大学生都是勤奋的。 王晓山不勤奋。 所以王晓山不是大学生。 解: 设F(x): x为大学生,G(x): x是勤奋的,c: 王晓山 则前提: , x(F(x)G(x))G(c)结论: F(c) 证明: ①前提引入 x(F(x)G(x)) ②①UI规则 F(c)G(c) ③前提引入 G(c) ④②③拒取式 F(c) 25、在自然推理系统中,构造下面推理的证明: N 每个科学工作者都是刻苦钻研的,每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。 王大海是科学工作者,并且是聪明的。 所以,王大海在他的事业中将获得成功。 (个体域为人 类集合) 解: 设F(x): x是科学工作者,G(x): x是刻苦钻研的,H(x): x是聪明的,I(x): x在他的事 业中获得成功,c: 王大海 则前提: ,, x(F(x)G(x))x(G(x)H(x)I(x))F(c)H(c)结论: I(c) 证明: ①前提引入 F(c)H(c) ②①化简 F(c) ③①化简 H(c) ④前提引入 x(F(x)G(x)) ⑤④UI规则 F(c)G(c) ⑥②⑤假言推理 G(c) ⑦③⑥合取引入 G(c)H(c) ⑧前提引入 x(G(x)H(x)I(x)) ⑨⑧UI规则 G(c)H(c)I(c) ⑩⑦⑨假言推理 I(c) 习题六及答案(P99-100) 28、化简下述集合公式: ((AB)C)((AB)C)((AB)C)((AB)C) (3) ((AB)C)((AB)C)((AB)C)((AB)C) 解: (AB)(AB) A 30、设A,B,C代表任意集合,试判断下面命题的真假。 如果为真,给出证明;如果为假,给 出反例。 (AB)AB (6) (AB)ABA BAB BA ,如果,则解: 该命题为假,,否则 BAB BAB ,故为假。 (AB)A{3}B A{1,2},B{1,3}, 举反例如下: 则 。 ABACBC (8) ABAC 一定成立,解: 该命题为假,举反例如下: 如果B,C都是A的子集,则 B{1} C{2} 1,2}A{ ABACA BC 但不一定成立,例如: ,则 ,,, BC 但 。 33、证明集合恒等式: A(BA)BA (1) A(BA) 证明: (AB)(AA) (AB) BA AB 习题七及答案: (P132-135) A1,2,3,4,5,6 26设,R为A上的关系,R的关系图如图7.13所示: 23 (1)求的集合表达式; R,R (2)求r(R),s(R),t(R)的集合表达式。 解: (1)由R的关系图可得 R1,5,2,5,3,1,3,3,4,5 232 所以,, RRR3,1,3,3,3,5RRR3,1,3,3,3,5 n 可得; R3,1,3,3,3,5,当n>=2 (2), r(R)=RI1,5,2,5,3,1,3,3,4,5,1,1,2,2,4,4,5,5,6,6 A 1 s(R)RR1,5,5,1,2,5,5,2,3,1,1,3,3,3,4,5,5,4 232 t(R)RRR...RR1,5,2,5,3,1,3,3,3,5,4,5 41、设A={1,2,3,4},R为 AA a,b,c,dAA 上的二元关系,, a,bRc,dabcd (1)证明R为等价关系; (2)求R导出的划分。 (1)只需证明R具有自反性、对称性和传递性即可,证明过程如下: a,bAAa,bRa,b abab (a)任取,有,,所以R具有自反性; a,b,c,dAAa,bRc,d (b)任取,若, c,dRa,b abcdcdab 则有,,,所以R具有对称性; a,b,c,d,e,fAAa,bRc,dc,dRe,f (c)任取,若且, cdefabefa,bRe,f abcd 则有且,,,所以R具有传递性, AA 综合(a)(b)(c)可知: R为集合上的等价关系; AA (2)先求出集合的结果: AA{1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,3,3,3,4,4,1,4,2,4,3,4,4} AA 再分别求集合各元素的等价类,结果如下: [1,1]{1,1}, R [1,2][2,1]{1,2,2,1}, RR [1,3][2,2][3,1]{1,3,2,2,3,1}, RRR [1,4][2,3][3,2][4,1]{1,4,2,3,3,2,4,1}, RRRR [2,4][3,3][4,2]{2,4,3,3,4,2}, RRR [3,4][4,3]{3,4,4,3}, RR [4,4]{4,4} 。 R A/RA/R 等价关系R导出的划分就是集合A关于R的商集,而集合A关于R的商集是由R的所有等 价类作为元素构成的集合,所以等价关系R导出的划分是: {{1,1},{1,2,2,1},{1,3,2,2,3,1},{1,4,2,3,3,2,4,1},{2,4,3,3,4,2},{3,4,4,3},{4,4}} A,R 46、分别画出下列各偏序集的哈斯图,并找出A的极大元、极小元、最大元和最小元。 (1) Ra,d,a,c,a,b,a,e,b,e,c,e,d,eI A 解: 哈斯图如下: e bcd f a A的极大元为e、f,极小元为a、f; A的最大元和最小元都不存在。 A1,2,3,4 *22、给定,A上的关系,试 R1,3,1,4,2,3,2,4,3,4 (1)画出R的关系图; (2)说明R的性质。 解: (1) 12 ●● ●● 34 (2)R的关系图中每个顶点都没有自环,所以R是反自反的,不是自反的;R的关系图中任意两个顶点如果有边的都是单向边,故R是反对称的,不是对 称的;R的关系图中没有发生顶点x到顶点y有边、顶点y到顶点z有边,但顶点x 到顶点z没有边的情况,故R是传递的。 A,R和B,S *48、设为偏序集,在集合上定义关系T如下: AB a,b,a,bAB, 1122 a,bTa,baRabSb 11221212 证明T为上的偏序关系。 AB 证明: (1)自反性: 任取a,bAB,则: 11 R为偏序关系,具有自反性,aRa 11 S为偏序关系,具有自反性,bSb 11 aRabSb 1111 又a,bTa,baRabSb, 11221212 a,bTa,b,故T具有自反性 1111 (2)反对称性: 任取a,b,a,bAB,若a,bTa,b且a,bTa,b,则有: 112211222211 aRabSb (1) 1212 aRabSb (2) 2121 aRaaRa,又R为偏序关系,具有反对称性,所以aa 122112 bSbbSb,又S为偏序关系,具有反对称性,所以bb 122112 a,ba,b,故T具有反对称性 1122 (3)传递性: 任取a,b,a,b,a,bAB,若a,bTa,b且a,bTa,b,则有: 11223311222233 a,bTa,baRabSb 11221212 a,bTa,baRabSb 22332323 aRaaRa,又R为偏序关系,具有传递性,所以aRa 122313 bSbbSb,又S为偏序关系,具有传递性,所以bSb 122313 aRabSba,bTa,b,故T具有传递性。 13131133 综合 (1) (2)(3)知T具有自反性、反对称性和传递性,故T为上的偏序关系。 AB 习题九及答案: (P179-180) 8、 S=QQ,Q为有理数集,为S上的二元运算,a,b,x,yS有 a,bx,yax,ay+b (1) 运算在S上是否可交换、可结合? 是否为幂等的? (2)。 运算是否有单位元、零元? 如果有,请指出,并求出S中所有可逆元素的逆元 解: (1) x,ya,bxa,xb+y ax,bx+ya,bx,y 运算不具有交换律 x,ya,bc,d ax,bx+yc,d acx,adx+bx+y 而x,ya,bc,d x,y*ac,ad+b xac,xad+xb+yacx,adx+bx+y x,ya,bc,d 运算有结合律 任取a,bs,则有: 2 a,ba,ba,abba,b 运算无幂等律 (2) 令a,b*x,ya,b对a,bs均成立 则有: ax,ay+ba,b对a,bs均成立 axa ax10 对a,b成立 aybb ay0 x10x1 必定有 y0y0 运算的右单位元为1,0,可验证1,0也为运算的左单位元, 运算的单位元为1,0 令a,b*x,yx,y,若存在x,y使得对a,bs上述等式均成立, 则存在零元,否则不存在零元。 由a,b*x,yx,y ax,ay+bx,y a1x0 axx a1y+b0 ayby 由于a1y+b0不可能对a,bs均成立, 故a,b*x,yx,y不可能对a,bs均成立,故不存在零元; 设元素a,b的逆元为x,y,则令a,b*x,ye1,0 1 x ax1 a (当a0) ayb0b y a 当a0时,a,b的逆元不存在; 1b 当a0时,a,b的逆元是, aa 11、 设S12,,...,10,问下面的运算能否与S构成代数系统S,? 如果能构成代数系统则说明运算是否满足交换律、结合律,并求运算的单位元和零元。 (3); xy=大于等于x和y的最小整数 解: (3)由*运算的定义可知: , xy=max(x,y) x,yS,有xyS,故运算在S上满足封闭性,所以运算与非空集合S能构成代数系统; 任取x,yS,有xy=max(x,y)=max(y,x)=yx,所以运算满足交换律; 任取x,y,zS,有(xy)z=max(max(x,y),z)=max(x,y,z)=max(x,max(y,z))=x(yz),所以运算满足结合律; 任取xS,有x1=max(x,1)=x=max(1,x)=1x,所以运算的单位元是1; 任取xS,有x10=max(x,10)=10=max(10,x)=10x,所以运算的零元是10; 16、 设V1,2,3,,1,其中xy表示取x和y之中较大的数。 V5,6,,6, 12 其中xy表示取x和y之中较小的数。 求出V和V的所有的子代数。 12 指出哪些是平凡的子代数,哪些是真子代数。 解: (1)V中运算的单位元是1, 1 V的所有的子代数是: 1,2,3,,1,1,,1,1,2,,1,1,3,,1; 1 V的平凡的子代数是: 1,2,3,,1,1,,1; 1 V的真子代数
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