第3讲数学专项.docx
- 文档编号:11967803
- 上传时间:2023-04-16
- 格式:DOCX
- 页数:16
- 大小:145.04KB
第3讲数学专项.docx
《第3讲数学专项.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第3讲数学专项.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第3讲数学专项
第3讲 数学文化
1.我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说:
“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”若把“一尺之棰”的长度记为1个单位,则“日取其半”后,木棒剩下部分的长度组成数列的通项公式是( )
A.an=
B.an=
C.an=
nD.an=
n+1
答案 C
解析 由题意知,该数列是以
为首项,
为公比的等比数列,所以an=
·
n-1=
n,故选C.
2.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在地面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示).表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位数用横式表示.以此类推.例如3266用算筹表示就是
,则8771用算筹可表示为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意,根据古代用算筹来记数的方法,个位、百位、万位上的数用纵式表示,十位、千位、十万位上的数用横式来表示,比照算筹的摆放形式,易知正确答案为C.
3.数的概念起源于大约300万年前的原始社会,如图1所示,当时的人类用在绳子上打结的方法来记数,并以绳结的大小来表示野兽的大小,即“结绳计数”.图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量,在从右向左依次排列的不同绳子上打结,右边绳子上的结每满7个即在左边的绳子上打一个结,请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为( )
A.336B.510
C.1326D.3603
答案 B
解析 由题意知,图2中的“结绳计数”法是七进制计数法,所以图2中该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为S=1×73+3×72+2×71+6×70=510.
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:
弧田面积=
(弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为
,半径等于4米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积是( )
A.15平方米B.12平方米
C.9平方米D.6平方米
答案 C
解析 如图,根据题意可得
∠AOB=
,OA=4,
在Rt△AOD中,
可得∠AOD=
,∠DAO=
,
OD=
AO=
×4=2,
可得矢=4-2=2,
由AD=AO·sin
=4×
=2
,
可得弦为2AD=2×2
=4
,
所以弧田面积=
(弦×矢+矢2)=
(4
×2+22)
=4
+2≈9(平方米).故选C.
5.里氏震级是由古登堡和里克特制定的一种表明地震能量大小的标度,用来表示测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,地震仪记录的震波的振幅就越大,其计算公式为M=lgA-lgA0,其中A,A0分别是距震中100公里处接收到的所关注的这个地震和0级地震的震波的最大振幅,则7级地震震波的最大振幅是5级地震震波的最大振幅的( )
A.10倍B.20倍
C.50倍D.100倍
答案 D
解析 对公式M=lgA-lgA0进行转化得M=lg
,即
=10M,A=A0·10M.
当M=7时,地震震波的最大振幅为A7=A0·107,
当M=5时,地震震波的最大振幅为A5=A0·105.
则
=
=100.
6.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:
“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升,共支米四百三石九斗二升,问筑堤几日”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人,修筑堤坝的每人每天分发大米3升,共发出大米40392升,问修筑堤坝多少天”,在该问题中前5天共分发了多少大米?
( )
A.1170升B.1380升
C.3090升D.3300升
答案 D
解析 设第n天派出的人数为an,则{an}是以64为首项、7为公差的等差数列,则第n天修筑堤坝的人数为Sn=a1+a2+…+an=64n+
×7,所以前5天共分发的大米数为3(S1+S2+S3+S4+S5)=3[(1+2+3+4+5)×64+(1+3+6+10)×7]=3300.故选D.
7.我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理:
“幂势既同,则积不容异”.其中“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两等高立方体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体的体积相等,已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势同”,则该不规则几何体的体积为( )
A.4-
B.8-π
C.8-
D.8-2π
答案 B
解析 由祖暅原理可知,该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等,由三视图知几何体是一个正方体去掉一个半圆柱,如图:
正方体的体积为2×2×2=8,
半圆柱的体积为
π×12×2=π,
从而其体积为8-π.
8.《莱因德纸草书》(RhindPapyrus)是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:
把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的
是较小的两份之和,问最小的一份为( )
A.
个B.
个
C.
个D.
个
答案 A
解析 由题意设5个人分得的面包数分别为a1,a2,a3,a4,a5,则不妨设公差d>0,
则有
即
解得a1=
,即最小的一份为
个,故选A.
9.《九章算术》卷第五《商功》中有记载:
“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍甍,如图,四边形ABCD为正方形,四边形ABFE,CDEF为两个全等的等腰梯形,AB=4,EF∥AB,且EF=
AB,若这个刍甍的体积为
,则CF的长为( )
A.1B.2C.3D.4
答案 C
解析 取CD,AB的中点分别为M,N,连接FM,FN,MN,
则多面体分割为棱柱与棱锥部分,设E到平面ABCD的距离为h,
则
×4×h×2+
×4×2×h=
,
解得h=2.
依题意可知,点E,F在平面ABCD内的射影恰好是DN与CN的中点,
又CN=
=2
,
∴CF=
=
=3.
10.十七世纪法国数学家费马提出猜想:
“当整数n>2时,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正整数解”.经历三百多年,于二十世纪九十年代中期由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想,使它终成费马大定理,则下面说法正确的是( )
A.存在至少一组正整数组(x,y,z)使方程x3+y3=z3有解
B.关于x,y的方程x3+y3=1有正有理数解
C.关于x,y的方程x3+y3=1没有正有理数解
D.当整数n>3时,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正实数解
答案 C
解析 由于B,C两个命题是对立的,故正确选项是这两个选项中的一个.假设关于x,y的方程x3+y3=1有正有理数解,故x,y可写成整数比值的形式,不妨设x=
,y=
,其中m,n为互质的正整数,a,b为互质的正整数.代入方程得
+
=1,两边乘以a3n3得
3+
3=
3,由于am,bn,an都是正整数,这与费马大定理矛盾,故假设不成立,所以关于x,y的方程x3+y3=1没有正有理数解.
11.(2019·浙江三校联考)《算法统宗》中有如下问题:
“哑子来买肉,难言钱数目,一斤少三十,八两多十八,试问能算者,合与多少肉”,意思是一个哑子来买肉,说不出钱的数目,买一斤(16两)还差30文钱,买八两多十八文钱,求肉数和肉价,则该问题中,肉价是每两
文.
答案 6
解析 设肉价是每两x文,由题意得16x-30=8x+18,解得x=6,即肉价是每两6文.
12.(2019·温州测试)我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅如图所示的“勾股圆方图”,四个相同的直角三角形与边长为1的小正方形拼成一个边长为5的大正方形,若直角三角形的直角边分别记为a,b,有
,则a+b=,其中直角三角形的较小的锐角的正切值为.
答案 7
解析 由
得到
(a+b)2=25+2ab=25+24=49,
又a,b均为正数,
所以a+b=7,
不妨设a
则a=3,b=4,
则较小的锐角的正切值为
.
故答案为7,
.
13.《九章算术》是我国古代著名的数学著作,其中有一道数列问题:
“今有良马与驽马发长安,至齐,齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里,日增一十三里,驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,问几日相逢及各行几何?
”请研究本题,并给出下列结果:
两马同时出发后第9天,良马日行里,从长安出发后第天两马第一次相遇.
答案 297 16
解析 由题意得良马每天行的里数构成首项为193,公差为13的等差数列,驽马每天行的里数构成首项为97,公差为-
的等差数列,则出发后第9天,良马日行193+8×13=297(里),设第n天后两马第一次相遇,则193n+13×
+97n+
×
≥3000×2,又因为n为整数,所以n取最小值16时符合题意,即第16天两马第一次相遇.
14.(2017·浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.
答案
解析 作出单位圆的内接正六边形,如图,
则OA=OB=AB=1,
S6=6S△OAB=6×
×1×
=
.
15.(2018·浙江)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:
“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?
”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x,y,z,则
当z=81时,x=,y=.
答案 8 11
解析 方法一 由题意,得
即
解得
方法二 100-81=19(只),
81÷3=27(钱),
100-27=73(钱).
假设剩余的19只鸡全是鸡翁,
则5×19=95(钱).
因为95-73=22(钱),
所以鸡母:
22÷(5-3)=11(只),
鸡翁:
19-11=8(只).
16.(2019·全国Ⅱ)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面,其棱长为.
答案 26
-1
解析 依题意知,题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上,且该半正多面体的表面由18个正方形,8个正三角形组成,因此题中的半正多面体共有26个面.注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形,设题中的半正多面体的棱长为x,则
x+x+
x=1,解得x=
-1,故题中的半正多面体的棱长为
-1.
17.艾萨克·牛顿(1643年1月4日-1727年3月31日)是英国皇家学会会长,英国著名物理学家,同时在数学上也有许多杰出贡献,牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)的零点时给出一个数列
满足xn+1=xn-
,我们把该数列称为牛顿数列.如果函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)有两个零点1,2,数列
为牛顿数列,设an=ln
,已知a1=2,xn>2,则{an}的通项公式an=.
答案 2n
解析 ∵函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)有两个零点1,2,
∴
解得
∴f(x)=ax2-3ax+2a,
则f′(x)=2ax-3a.
则xn+1=xn-
=xn-
=
,
∴
=
=
=
2,
则数列{an}是以2为公比的等比数列,又∵a1=2,
∴数列{an}是以2为首项,以2为公比的等比数列,
则an=2·2n-1=2n.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 专项