解析天津市河北省区届高三总复习质量检测二数学理试题.docx
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解析天津市河北省区届高三总复习质量检测二数学理试题
2019年天津市河北区高考数学二模试卷(理科)
一、选择题(本大题共8小题,共40.0分)
1.已知集合,,则()
A.B.
C.D.
【答案】C
【分析】
利用求出集合,再根据交集定义求得结果.
【详解】由可知:
则
本题正确选项:
【点睛】本题考查集合运算中的交集运算,属于基础题.
2.若复数z=为纯虚数,则实数a的值为()
A.1B.0C.-D.-1
【答案】D
【分析】
利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.
【详解】设z=bi,b∈R且b≠0,则=bi,得到1+i=-ab+bi,
∴1=-ab,且1=b,解得a=-1
故选:
D.
【点睛】本题考查复数的运算和纯虚数的概念.
3.命题p:
“∀x∈(-∞,0),3x≥4x”的否定¬p为()
A.,B.,
C.D.
【答案】C
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可
【详解】命题是全称命题,则:
故选C
【点睛】本题考查含有量词的命题的否定,根据全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键
4.已知,则的大小关系为()
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】
容易得出,再根据对数函数的性质将b化为与c同底的对数,即可比较出大小.
【详解】解:
,,,所以.
故选A.
【点睛】本题考查指数与对数大小的比较,考查对数换底公式以及对数函数的单调性,属于基础题.
5.已知双曲线的左、右焦点分别为,以线段为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为,则双曲线的方程为
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】
根据直角三角形几何性质得坐标原点到交点距离等于c,再根据交点在渐近线上,解得a,b,即得双曲线的方程.
【详解】由题意得因为交点在渐近线上,所以,双曲线的方程为,选A.
【点睛】1.已知双曲线方程求渐近线:
2.已知渐近线设双曲线标准方程
3,双曲线焦点到渐近线距离为,垂足为对应准线与渐近线的交点.
【此处有视频,请去附件查看】
6.已知四面体的四个面都为直角三角形,且平面,,若该四面体的四个顶点都在球的表面上,则球的表面积为()
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】
由已知中的垂直关系可将四面体放入正方体中,求解正方体的外接球表面积即为所求的四面体外接球的表面积;利用正方体外接球半径为其体对角线的一半,求得半径,代入面积公式求得结果.
【详解】且为直角三角形
又平面,平面
平面
由此可将四面体放入边长为的正方体中,如下图所示:
正方体的外接球即为该四面体的外接球
正方体外接球半径为体对角线的一半,即
球的表面积:
本题正确选项:
【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的求解问题,关键是能够通过线面之间的位置关系,将所求四面体放入正方体中,通过求解正方体外接球来求得结果.
7.已知函数,,给出下列四个命题:
①函数的最小正周期为;
②函数的最大值为1;
③函数在上单调递增;
④将函数的图象向左平移个单位长度,得到的函数解+析式为.
其中正确命题的个数是()
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【分析】
利用三角恒等变换公式将整理为,根据的图象与性质、平移变换分别判断四个命题,从而得到结果.
【详解】
最小正周期,可知①错误;
,即的最大值为,可知②正确;
当时,,此时不单调,可知③错误;
向左平移个单位,即,可知④正确.
故正确命题个数为个
本题正确选项:
【点睛】本题考查的最小正周期、最值、单调性、平移变换的相关知识,关键是能够首先通过两角和差公式、诱导公式、辅助角公式将函数整理为的形式.
8.已知函数,若函数的最大值不超过1,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】当时,,
绘制函数图象如图所示,观察可得函数的最大值为,满足题意,
据此排除B选项;
当时,,
绘制函数图象如图所示,观察可得函数的最大值为,满足题意,
据此排除CD选项;
本题选择A选项.
二、填空题(本大题共6小题,共30.0分)
9.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为___
【答案】808
【分析】
由甲社区抽取人数和总人数计算可得抽样比,从而可根据抽取的人数计算得到驾驶员总人数.
【详解】由题意可得抽样比为:
本题正确结果:
【点睛】本题考查分层抽样中抽样比、总体数量的计算,属于基础题.
10.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为______.
【答案】4
【分析】
根据程序框图运行程序,直到时,输出结果即可.
【详解】按照程序框图运行程序,输入:
,,,符合,循环;
,,符合,循环;
,,符合,循环;
,,不符合,输出
本题正确结果:
【点睛】本题考查程序框图中根据循环框图计算输出结果,属于常规题型.
11.若实数,满足条件,则的最小值为__________.
【答案】6
【分析】
根据约束条件得到可行域,将所求最小值问题转化为在轴截距最小的问题,由平移可知过时截距最小,代入求得的最小值.
【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示:
将整理为:
则当在轴截距最小时,取最小值
由平移可知,当过点时,截距最小
由得:
本题正确选项:
【点睛】本题考查线性规划求解型的最值问题,关键是能够将问题转化为直线在轴截距最值得求解问题,通过平移求得结果,属于常规题型.
12.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为,若直线与圆交于,两点,则线段的长度为__________.
【答案】
分析】
将的参数方程化为普通方程;的极坐标方程化为直角坐标方程,确定圆心和半径;根据直线被圆截得的弦长等于求得结果.
【详解】由得的普通方程为:
由得的直角坐标方程为:
,即
圆的圆心为,半径
则圆心到直线的距离
本题正确结果:
【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长问题的求解,其中涉及到参数方程化普通方程、极坐标与直角坐标的互化问题,属于常规题型.
13.已知首项与公比相等的等比数列中,若,,满足,则的最小值为__________.
【答案】1
【分析】
将写成等比数列基本量和的形式,由可得;从而利用,根据基本不等式求得结果.
【详解】设等比数列公比为,则首项
由得:
则:
则(当且仅当,即时取等号)
本题正确结果:
【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值的问题,关键是能够根据等比数列各项之间的关系,通过等比数列基本量得到满足的等式,从而配凑出符合基本不等式的形式,利用基本不等式求得结果.
14.如图,在平面四边形中,,.若,则的值为__________.
【答案】
【分析】
过D作,则,利用三角形的相似比表示出x,y即可得出结论.
【详解】如图,过D作BC的垂线,交BC延长线于M,
设∠BAC=α,则∠ACD=2α,,
∴,
∴,
∴(为相似比).
又,
∴,
∴.
【点睛】本题考查对平面向量基本定理的理解和应用,解题时借助平面几何知识求解是解答本题的关键,合理构造相似三角形并由三角形的相似比得到的取值后可得所求.
三、解答题(本大题共6小题,共80.0分)
15.已知的内角,,的对边分别为,,,满足.
(Ⅰ)求角的值;
(Ⅱ)若,,求的值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【分析】
(Ⅰ)根据正弦定理将边角关系式化为边之间的关系,从而可凑得的形式,得到,进而得到;(Ⅱ)由正弦定理求得,利用同角三角函数关系得到;再利用二倍角公式得到;通过两角和差正弦公式求得结果.
【详解】(Ⅰ)
由正弦定理得:
,化简得:
又
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,又,
由正弦定理得:
又
【点睛】本题考查正弦定理解三角形、同角三角函数关系、二倍角公式的应用、两角和差正弦公式的应用问题,属于常规题型.
16.某校为了普及环保知识,增强学生的环保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛,甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛,规定每人回答一个问题,答对为本队赢得10分,答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,,,且各人回答正确与否相互之间没有影响,用表示乙队的总得分.
(Ⅰ)求的分布列及数学期望;
(Ⅱ)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
试题分析:
(1)由题意知,的可能取值为,,,,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列和;
(2)由表示“甲队得分等于乙队得分等于”,表示“甲队得分等于乙队得分等于”,可知、互斥.利用互斥事件的概率计算公式即可得出甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率.
试题详细分析:
(1)由题意知,的所有可能取值为.;
;
;
.
的分布列为
.
(2)用表示“甲得分乙得分”,用表示“甲得分乙得分”,且互斥,
又,,甲、乙两队得分总和为分且甲获胜的概率为.
考点:
(1)离散型随机变量的期望与方差;
(2)古典概型及其概率计算公式;(3)离散型随机变量及其分布列.
【方法点睛】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用,确定随机变量,及其概率.解离散型随机变量的分布列的试题时一定要万分小心,特别是列举随机变量取值的概率时,要注意按顺序列举,做到不重不漏,尽量注意概率之和为,防止出现错误.
17.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,AA1⊥底面ABCD,∠BAD=120°,AB=2,E,F分别为CD,AA1的中点.
(Ⅰ)求证:
DF∥平面B1AE;
(Ⅱ)若直线AD1与平面B1AE所成角的正弦值为,求AA1的长;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求二面角B1-AE-D1的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解+析(Ⅱ)2
【分析】
(I)取AB1的中点G,连接FG,GE,证明四边形GEDF是平行四边形,可得DFEG,故而DF平面B1AE;
(II)建立空间坐标系,求出平面B1AE的法向量,设AA1=t(t>0),令sinα=|cos<,>|===,求出t;
(III)求出两半平面的法向量,计算法向量的夹角得出二面角的大小
【详解】(Ⅰ)证明:
取AB1的中点G,连接FG,GE,
∵,FGA1B1,,DEA1B1,
∴FG=DE,FGDE,
∴GEDF是平行四边形,
∴DFEG,
又DF⊄平面B1AE,EG⊂平面B1AE,
∴DF平面B1AE
解:
(Ⅱ)在菱形ABCD中,
∵∠BAD=120°,
∴∠ADC=60°
∴△ACD是等边三角形,
∴AE⊥CD,
∴AE⊥AB,
又AA1⊥平面ABCD,
∴AA1⊥AB,AA1⊥AE,
以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
设AA1=t(t>0),
则,
∴,,
设平面B1AE的法向量=(x,y,z),则,即,
不妨取z=-2,得=(t,0,-2),
设直线AD1与平面B1AE所成的角为α,
则sinα=|cos<,>|===.
解得t=2,即AA1的长为2.
(Ⅲ)设平面D1AE的法向量=(x,y,z),
∵,
∴
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- 解析 天津市 河北 省区 届高三总 复习 质量 检测 学理 试题