近几年高考数学压轴题解法策略研究.docx
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近几年高考数学压轴题解法策略研究
近几年高考压轴题解法策略研究
专题一.函数与导数
(一)关于结构图——知识,方法,思维,易错点.
1.高中函数知识结构图
2.导数知识结构图
3.函数的思维方法
4.函数的思维特征
(二)典型例题
例题1.设函数
f(x)=aexlnx+be
x-1
,曲线
y=f(x)在点
x
(1,f
(1))处的切线为y=e(x-1)+2.(Ⅰ)求a,b;(Ⅱ)证明:
f(x)>1.
分析:
第一问考查导数的几何意义,面向全体考生;注意函数问
题定义域优先的原则!
解:
(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=aexlnx+aex-
bex-1+bex-1
xx2x
由题意可得f
(1)=2,f'
(1)=e
故a=1,b=2.
(Ⅱ)分析:
常规方法证明f(x)=exlnx+
2ex-1
>1,
x
即证:
f(x)min>1
x
所以f'(x)=exlnx+e
2xex-1-2e
+
x-1
xx2
所以f(x)=ex(
12ex-1(x-1)
+lnx)+,
xx2
太复杂了!
!
无从下手!
!
再次分析:
证明exlnx+
2ex-1
>1
难点在哪里?
x
困难在于存在exlnx,求导后还存在exlnx,麻烦!
!
初步思考必须把ex与lnx分离,怎么分离?
不外乎加减乘除!
!
仔细观察:
exlnx+
2ex-1
>1,
x
其中ex>0,定义域别忘了,还有x>0;
(1)exlnx+
2ex-1
>1⇔xexlnx+2ex-1>x
x
⇔xlnx>xe-x-2
e
⇔xlnx-xe-x>-2
e
(2)exlnx+
2ex-1
>1⇔exlnx+e
x-1
ex-1
+
-1>0
x
2x-1
⇔ex(lnx+
xx
1)+1(ex-1-x)>0
exx
(3)exlnx+e
x
>1⇔ex(lnx+
2)>1.
ex
(Ⅱ)方法一:
由(Ⅰ)知,f(x)=exlnx+2ex-1,ex>0,x>0
x
从而f(x)>1等价于xlnx>xe-x-2
e
设g(x)=x⋅lnx,h(x)=x⋅e-x-2.
e
若g(x)min>h(x)max,是否可行?
试一试吧!
g(x)=x⋅lnx,g'(x)=1+lnx.
∴当x∈(0,1)时,g'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0.
ee
∴g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
ee
∴g(x)min
=g
(1)=-1,注意“x>0”
ee
h(x)=x⋅e-x-2,h'(x)=e-x-x⋅e-x=e-x(1-x).
e
∴当x∈(0,1)时,h'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0.
∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
∴h(x)max
=h
(1)=-1.
e
综上,x>0时,g(x)≥-1,h(x)≤-1,
ee
而两个等号不可能同时取到,所以g(x)>h(x),即f(x)>1.
方法二:
分析:
ex⋅lnx+
2ex-1
>1等价于ex⋅lnx+
2ex
-1>0.
等价于ex(lnx+
xex
1)+1(ex-1-x)>0.
exx
∴g(x)+h(x)>0即可.
g(x)=ex(lnx+
1),h(x)=1(ex-1-x).
令ϕ(x)=lnx+
exx
1,ϕ'(x)=1-1
=ex-1.
exxex2ex2
知ϕ(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;
∴ϕ(x)min
ee
=ϕ
(1)=0.
e
∴ϕ(x)≥0,即g(x)≥0,当且仅当x=1时取等号.
e
令ρ(x)=ex-1-x,ρ'(x)=ex-1-1.
知ρ(x)min=ρ
(1)=0.
∴ρ(x)≥0,即h(x)≥0,当且仅当x=1时取等号.
综上所述,当x>0时,ex(lnx+
即f(x)>1
1)+1(ex-1-x)>0,
exx
方法三:
分析:
题目中有ex,lnx,x,应该联想到重要熟知的不等式ex≥x+1,就能得到下面流畅的证明.用导数易证ex≥x+1,当且仅当x=0时取等号.
∴ex-1≥x,当且仅当x=1时取等号.
于是方法二中,h(x)=1(ex-1-x)≥0
x
∴ex≥ex,当且仅当x=1时取等号.
∴e-lnx≥e(-lnx),当且仅当-lnx=1时取等号,即当且仅当x=1时取等号.
e
∴elnx-1
≥(-e)⋅lnx.
-1
elnx1
∴lnx≥=-.
-eex
(也可以用g(x)=x⋅lnx≥-1证明)
e
即lnx+1
ex
≥0,当且仅当x=1时取等号.
e
于是证法2中的g(x)≥0,∴f(x)>1.
总结:
ex≥x+1
ex-1≥x
ex≥ex
e-lnx≥e(-lnx)
公式关系清晰,一气呵成!
方法四:
x
分析:
欲证ex⋅lnx+2e
>1.
即证ex(lnx+
ex
2)>1即可.
ex
由方法三,可得lnx+1
ex
≥0,当且仅当x=1取等号.
e
又∵ex≥ex…①当且仅当x=1取等号.
∴lnx+2≥1…②
exex
∴由①和②可得:
ex(lnx+
2)>1,
ex
这里关键是等号不能同时成立.
∴f(x)>1.
方法五:
(与方法四证明类似)
∵lnx≥-1
ex
,当且仅当x=1取等号.
e
∴ex⋅lnx≥-e
x-1
.
x
∴ex⋅lnx+
2ex-1
ex-1
≥.①
xx
∵ex≥x+1.
∴ex-1≥x,当且仅当x=1取等号.
ex-1
∴≥1.②
x
∴由①、②可知ex⋅lnx+
2ex-1
>1.
x
(注意:
两个等号不能同时成立)
即f(x)>1.
x
方法六:
欲证ex⋅lnx+2e>1
ex
即证x⋅lnx-x⋅e-x>-2.主要还是等价变形.
e
设g(x)=x⋅lnx.
则g(e-x)=e-x⋅lne-x=-x⋅e-x.
(这里关键是注意到g(x)=x⋅lnx与g(e-x)=-x⋅e-x
之间隐含着复合函数的关系)
∴只需证明g(x)+g(e-x)>-2.
e
由方法一可知∀x∈(0,+∞),g(x)≥-1,
e
当且仅当x=1取等号.
e
∴g(e-x)≥-1,当且仅当x=1取等号.
e
∴g(x)+g(e-x)>-2,(两个等号不能同时成立)
e
∴f(x)>1.
点评:
这种方法实在很难想!
基于上述7种方法的思考:
看来我们有必要梳理一下,其中重要的不等式:
泰勒展开式及其变形.
2
n
∵ex=1+x+x++x+
1!
2!
n!
这个式子也叫麦克劳林公式.当0 有1+x 1① 1-x 即ln(1+x) 1 1-x =-ln(1-x)② ∵x<-ln(1-x),其中x用 x 1+x 替换. ∴x 1+x <-ln(1- x 1+x )=ln(1+x)③ 由②③得: x 1+x 还有,ex≥x+1.(x∈R) ⑤注意等号成立条件. ex≤ 1 1-x .(x<1)⑥ 加强④可得 x 1+x ≤ln(1+x)≤x,(x>-1)⑦ 还有: lnx lnx≤x-1,(当且仅当x=1取等号)⑨ ex-1≥x,ex≥ex,x ex ≤1, e lnx≥-1 ex ,x⋅lnx≥-1等等. e 基于上面的思考: 证法7: x≤1,当且仅当x=1取等号. exe x⋅lnx≥-1,当且仅当x=1取等号. e x⋅lnx+1> e x-1. eexe x⋅ex⋅lnx+e xex >x-. ee x ex⋅lnx+2e >1. ex 即ex⋅lnx+ 2ex-1 >1成立. x 是否很帅! 最后,关注以下函数,课下练习巩固. 1、f(x)=x+ex,f(x)=x-ex f(x)=x⋅ex, f(x)=x, ex f(x)=e x x 2、f(x)=x+lnx, f(x)=x-lnx, f(x)=x⋅lnx, f(x)= x, lnx f(x)=lnx x 3、f(x)=xn⋅ex, f(x)=x, f(x)=e n x exxn 4、f(x)=xn⋅lnx, xn f(x)=, lnx f(x)= lnx
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- 几年 高考 数学 压轴 题解 策略 研究