高考数学教案和学案有答案第6章学案29.docx
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高考数学教案和学案有答案第6章学案29
学案29 等比数列及其前n项和
导学目标:
1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.
自主梳理
1.等比数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的________,通常用字母______表示(q≠0).
2.等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an=____________.
3.等比中项:
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.
4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:
an=am·________(n,m∈N*).
(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则__________________.
(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),,{a},{an·bn},仍是等比数列.
(4)单调性:
或⇔{an}是________数列;或⇔{an}是________数列;q=1⇔{an}
是____数列;q<0⇔{an}是________数列.
5.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;
当q≠1时,Sn===-.
6.等比数列前n项和的性质
公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为______.
自我检测
1.(2011·苏州模拟)如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么b=________.
2.(2011·湖南长郡中学模拟)已知等比数列{an}的前三项依次为a-2,a+2,a+8,则an=______________.
3.设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则6q=________.
4.若数列{an}的前n项和Sn=3n-a,数列{an}为等比数列,则实数a的值为________.
5.设f(n)=2+24+27+…+23n+1(n∈N*),则f(n)=____________.
探究点一 等比数列的基本量运算
例1 已知正项等比数列{an}中,a1a5+2a2a6+a3a7=100,a2a4-2a3a5+a4a6=36,求数列{an}的通项an和前n项和Sn.
变式迁移1 在等比数列{an}中,a1+an=66,a2·an-1=128,Sn=126,求n和q.
探究点二 等比数列的判定
例2 已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5,n∈N*.
(1)证明:
数列{an+1}是等比数列;
(2)求{an}的通项公式以及Sn.
变式迁移2 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).
(1)求a2,a3的值;
(2)求证:
数列{Sn+2}是等比数列.
探究点三 等比数列性质的应用
例3 在等比数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5=8,且++++=2,求a3.
变式迁移3
(1)已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,求b5+b9的值;
(2)在等比数列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,求a41a42a43a44.
分类讨论思想与整体思想
例 (14分)设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80,它的前2n项和为6560,且前n项中数值最大的项为54,求此数列的第2n项.
【答题模板】
解 设数列{an}的公比为q,
若q=1,则Sn=na1,S2n=2na1=2Sn.
∵S2n=6560≠2Sn=160,∴q≠1,[4分]
由题意得[6分]
将①整体代入②得80(1+qn)=6560,
∴qn=81.[8分]
将qn=81代入①得a1(1-81)=80(1-q),
∴a1=q-1,由a1>0,得q>1,
∴数列{an}为递增数列.[10分]
∴an=a1qn-1=·qn=81·=54.
∴=.[12分]
与a1=q-1联立可得a1=2,q=3,
∴a2n=2×32n-1(n∈N*).[14分]
【突破思维障碍】
(1)分类讨论的思想:
①利用等比数列前n项和公式时要分公比q=1和q≠1两种情况讨论;②研究等比数列的单调性时也应进行讨论:
当a1>0,q>1或a1<0,0 (2)函数的思想: 等比数列的通项公式an=a1qn-1=·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系.(3)整体思想: 应用等比数列前n项和时,常把qn,当成整体求解. 本题条件前n项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键,同时将qn和的值整体代入求解,简化了运算,体现了整体代换的思想,在解决有关数列求和的题目时应灵活运用. 1.等比数列的通项公式、前n项和公式分别为an=a1qn-1,Sn= 2.等比数列的判定方法: (1)定义法: 即证明=q(q≠0,n∈N*)(q是与n值无关的常数). (2)中项法: 证明一个数列满足a=an·an+2(n∈N*且an·an+1·an+2≠0). 3.等比数列的性质: (1)an=am·qn-m(n,m∈N*); (2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an; (3)设公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn. 4.在利用等比数列前n项和公式时,一定要对公比q=1或q≠1作出判断;计算过程中要注意整体代入的思想方法. 5.等差数列与等比数列的关系是: (1)若一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列是非零常数列; (2)若{an}是等比数列,且an>0,则{lgan}构成等差数列. (满分: 90分) 一、填空题(每小题6分,共48分) 1.(2010·辽宁)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=. 2.(2010·浙江)设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=________. 3.在各项都为正数的等比数列{an}中,a1=3,前三项的和S3=21,则a3+a4+a5=________. 4.(2011·无锡模拟)等比数列{an}前n项的积为Tn,若a3a6a18是一个确定的常数,那么数列T10,T13,T17,T25中也是常数的项是________. 5.记等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2,S6=18,则=________. 6.设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列{an}前7项的和为________. 7.在等比数列{an}中,公比q=2,前99项的和S99=30,则a3+a6+a9+…+a99=________. 8.(2010·福建)在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an=________. 二、解答题(共42分) 9.(12分)(2010·陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列. (1)求数列{an}的通项; (2)求数列{2an}的前n项和Sn. 10.(14分)已知数列{log2(an-1)}为等差数列,且a1=3,a2=5. (1)求证: 数列{an-1}是等比数列; (2)求++…+的值. 11.(16分)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}对n∈N*均有++…+=an+1成立,求c1+c2+c3+…+c2010. 答案自主梳理 1.公比 q 2.a1·qn-1 4. (1)qn-m (2)ak·al=am·an (4)递增 递减 常 摆动 6.qn 自我检测 1.-3 解析 由等比数列的性质可得ac=(-1)×(-9)=9,b2=9且b与奇数项的符号相同,故b=-3. 2.8·n-1 解析 因为{an}为等比数列,所以(a+2)2=(a-2)(a+8),解得a=10,a-2=8,q==, ∴an=a1qn-1=8·n-1. 3.-9 解析 由题意: 等比数列{an}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,由等比数列的定义知: 四项是两个正数、两个负数, 故-24,36,-54,81,符合题意,则q=-,∴6q=-9. 4.1 解析 可用特殊值法,由Sn得a1=3-a,a2=6,a3=18,由等比数列的性质可知a=1. 5.(8n+1-1) 解析 由题意可知,f(n)即为一个以2为首项,公比q=23=8,项数为n+1的等比数列的和. 由公式可得f(n)=Sn+1= ==(8n+1-1). 课堂活动区 例1 解题导引 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利用方程组的思想求解; (2)本例可将所有项都用a1和q表示,转化为关于a1和q的方程组求解;也可利用等比数列的性质来转化,两种方法目的都是消元转化. 解 方法一 由已知得: ①-②,得4aq6=64,∴aq6=16.③ 代入①,得+2×16+16q2=100. 解得q2=4或q2=. 又数列{an}为正项数列,∴q=2或. 当q=2时,可得a1=, ∴an=×2n-1=2n-2,Sn==2n-1-; 当q=时,可得a1=32. ∴an=32×n-1=26-n. Sn==64-26-n. 方法二 ∵a1a5=a2a4=a,a2a6=a3a5,a3a7=a4a6=a, 由 可得 即 ∴解得或 当a3=8,a5=2时,q2===. ∵q>0,∴q=,由a3=a1q2=8, 得a1=32,∴an=32×n-1=26-n. Sn==64-26-n. 当a3=2,a5=8时,q2==4,且q>0,∴q=2. 由a3=a1q2,得a1==.∴an=×2n-1=2n-2. Sn==2n-1-. 变式迁移1 解 由题意得 解得或 若则Sn===126, 解得q=,此时,an=2=64·n-1,∴n=6. 若则Sn==126,∴q=2. ∴an=64=2·2n-1.∴n=6. 综上n=6,q=2或. 例2 解题导引 (1)证明数列是等比数列的两个基本方法: ①=q(q为与n值无关的常数)(n∈N*). ②a=anan+2(an≠0,n∈N*). (2)证明数列不是等比数列,可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明,也可用反证法. 解 (1)由已知Sn+1=2Sn+n+5,n∈N*, 可得n≥2时,Sn=2Sn-1+n+4, 两式相减得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1, 即an+1=2an+1,从而an+1+1=2(an+1), 当n=1时,S2=2S1+1+5, 所以a2+a1=2a1+6,1或a1>0,0
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