中考数学复习新定义与阅读理解综合练习题.docx
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中考数学复习新定义与阅读理解综合练习题
2019年中考数学复习新定义与阅读理解综合练习题
1.我们定义:
等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sadA=
容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解答下列问题:
(1)sad60°=___________,sad90°=____________;
(2)如图,已知sinA=
其中∠A为锐角,试求sadA的值.
第1题图
2.观察下表
序号
1
2
3
n
图形
xx
y
xx
xxx
yy
xxx
yy
xxx
xxxx
yyy
xxxx
yyy
xxxx
yyy
xxxx
…
我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式,例如第1格的“特征多项式”为4x+y,回答下列问题:
(1)第3格的“特征多项式”为_________,第4格的“特征多项式”为_________,第n格的“特征多项式”为_________;
(2)若第1格中的“特征多项式”的值为-10,第2格的“特征多项式”的值为-16.
求x,y的值;
在的条件下,第n格的“特征多项式”是否有最小值?
若有,求出最小值和相应的n值,若没有,请说明理由.
3.定义:
如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“匀称三角形”,这条中线为“匀称中线”.
(1)请根据定义判断下列命题的真假;(请在真命题后的括号内打“√”,假命题后的括号内打“×”)
等腰直角三角形一定不存在匀称中线.()
如果直角三角形是匀称三角形,那么匀称中线一定是较长直角边上的中线.
(2)已知:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC>BC,若△ABC是“匀称三角形”,求BC:
AC:
AB的值;
(3)拓展应用:
如图,△ABC是
的内接三角形,AB>AC,∠BAC=45°,将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE,点B的对应点为D,连接CD交
于M,连接AM.
请根据题意用实线在图中补全图形;
若△ADC是“匀称三角形”,求tan∠AMC的值.
第3题图
4.阅读下列材料:
已知任意三角形的三边长,如何求三角形面积?
古希腊的几何学家海伦(HerOn,约公元50年)解决了这个问题,在他的著作《度量》一书中给出了计算公式------海伦公式:
(其中A,B,C是三角形的三边长,
,S为三角形的面积),并给出了证明.
例如:
在△ABC中,a=3,b=4,c=5,那么它的面积可以这样计算:
∵a=3,b=4,c=5,
∴
,
∴
.
事实上,对于已知任意三角形的三边长求三角形面积的问题,还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决.
根据上述材料,解答下列问题:
如图,△ABC中,BC=5,AC=6,AB=9.
(1)用海伦公式求△ABC的面积;
(2)求△ABC得内切圆半径r.
第4题图
5.我们规定:
若
则
如
则
(1)已知
求
;
(2)已知
求
问
的函数图象与一次函数
的图象是否相交,请说明理由.
6.已知抛物线
,
,且满足
,则抛物线
互为“友好抛物线”.
(1)若y2有最大值8,则y1也有最大值,这样的说法对吗,为什么?
(2)结合二次函数的特点和你对“友好抛物线”的理解,写出至少2条结论.
7.如果我们要计算
的值,我们可以用如下的方法:
解:
设
,
等式两边同乘以2,则有:
,
-得,
即
.
【理解运用】计算:
(1)
;
(2)
.
8.对x,y定义一种新运算T,规定:
T(x,y)=
(其中a、b均为非零常数),这里等式右边是通常的四则运算,;例如T(0,1)=
.已知T(1,-1)=-2,T(4,2)=1.
(1)求a,b的值;
(2)若T(m,m+3)=-1,求m的值.
9.定义新运算:
(a,b)⊗(c,d)=(ac,bd),(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)*(c,d)=a2+c2-bd.
(1)求(1,2)*(3,-4)的值;
(2)已知(1,2)⊗(p,q)=(2,-4),分别求出p与q的值;
(3)在
(2)的条件下,求(1,2)⊕(p,q)的结果;
(4)已知x2+2xy+y2=5,x2-2xy+y2=1,求(x,5)*(y,xy)的值.
10.如图,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点,抛物线的解析式为y=x2-2x-3,AB为半圆的直径,求这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长.
第10题图
11.在△ABC中,AB、BC、AC三边的长分别为
、
、
,求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图所示,这样不需求△ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.
第11题图
(1)△ABC的面积等于___________;
思维拓展:
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法,若△ABC三边的长分别为
,请利用图的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC,并求出它的面积;
探索创新
(3)若△ABC三边的长分别为
、
、
(
且
),试运用构图法求出这个三角形的面积.
12.对于函数y=xn+xm,我们定义y′=nxn-
1+mxm-1(m、n为常数).例如y=x4+x2,则y′=4x3+2x.
已知:
函数y=x3+(m-1)x2+m2x(m为常数).
(1)若方程y′=0有两个相等实数根,求m的值;
(2)若方程y′=m-有两个正数根,求m的取值范
围.
13.对于任意的自然数a,b,定义:
f(a)=a×a-1,g(b)=b÷2+1.
(1)求f(g(6))-g(f(3))的值;
(2)已知f(g(x))=8,求x的值.
14.阅读理解题:
定义:
如果一个数的平方等于-1,记为i2=-1,这个数i叫做虚数单位,把形如a+bi(a,b为实数)的数叫做复数,其中a叫这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部.它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似.
例如计算:
(2-i)+(5+3i)=(2+5)+(-1+3)i=7+2i;
(1+i)×(2-i)=1×2-i+2×i-i2=2+(-1+2)i+1=3+i;
根据以上信息,完成下列问题:
(1)填空:
i3=________,i4=________;
(2)计算:
(1+i)×(3-4i);
(3)计算:
i+i2+
i3+…+i2017.
15.定义一种对正整数n
的运算“F”:
(1)当n为奇数时,结果
为3n+5;
(2)当n为偶数时,结果为(其中k是使为奇数的正整数),并且运算可以重复进行.例如n=26时,则―→…
那么,当n=1796时,第2020次“F”运算的结果是多少?
16.甲、乙两人从少年宫出发,沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向体育馆,甲先跑一段路程后,乙开始出发,当乙超出甲150米时,乙停在此地等候甲,两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向体育馆,如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y(米)与甲出发的时间x(秒)的函数图象.
(1)在跑步的全过程中,甲共跑了____米,甲的速度为____米/秒;
(2)乙在途中等候甲用了多少时间?
(3)甲出发多长时间第一次被乙追上?
此时乙跑了多少米?
17.如图,某日的钱塘江观测信息如下:
×年×月×日,天气:
阴;能见度:
1.8千米.
11:
40时,甲地“交叉潮”形成,潮水匀速奔向乙地.
12:
10时,潮头到达乙地,形成“一线潮”,开始均匀加速,继续向西.
12:
35时,潮头到达丙地,遇到堤坝阻挡后回头,形成“回头潮”.
按上述信息,小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s(千米)与时间t(分钟)的函数关系用图3表示.其中:
“11:
40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A(0,12),点B坐标为(m,0),曲线BC可用二次函数s=t2+bt+c(b,c是常数)刻画.
(1)求m的值,并求出潮头从甲地到乙地的速度;
(2)11:
59时,小红骑单车从乙地出发,沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮,问她几分钟与潮头相遇?
(3)相遇后,小红立即调转车头,沿江边公路按潮头速度与潮头并行,但潮头过乙地后均匀加速,而单车最高速度为0.48千米/分,小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间?
(潮水加速阶段速度v=v0+(t-30),v0是加速前的速度).
18.阅读材料:
已知方程
,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:
设所求方程的根为x,则x=2a,
∴
,
把
代入
,得
,化简得
,
所以所求方程为
.
这种代换法求新方程的方法,我们称为“换根法”.
根据以上阅读材料,解决下列问题:
(1)已知方程
,求关于m的一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为___________;
(2)已知关于x的一元二次方程
有两个不相等的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.
参考答案
1.解:
(1)1,
;
(2)∵sinA=
BC⊥AC,
∴设AB=5a,BC=3a,则AC=4a,
如解图,在AB上取AD=AC=4a,作DE⊥AC于点E,
则DE=AD·sinA=4a·
=
a,AE=AD·cosa=4a·
=
,
CE=4a
a=
,CD=
,
∴sadA=
.
第1题解图
2.解:
(1)16x+9y,25x+16y,(n+1)2x+n2y;
(2)依题意得
,
解得
.
有,理由如下:
设最小值为W,依题意得:
,
∴有最小值
,相应的n值为12.
3.解:
(1)√;√.
(2)∵∠C=90°,AC>BC,
如解图,由
(1)可知△ABC的匀称中线是AC边上的中线,设D为AC的中点,则BD为匀称中线.
设AC=2a,则CD=a,BD=2a.
∵∠C=90°,
∴BC=
,
∴AB=
,
∴BC:
AC:
AB=
;
第3题解图
(3)根据题意补全图形如解图;
第3题解图
∵△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE,
∴∠DAE=∠BAC=45°,AD=AB,
∴∠DAC=90°,AD>AC,
∵△ADC是匀称三角形,
∴AD:
AC=
,即AB:
AC=
如解图,过点C作CH⊥AB于点H,
第3题解图
则∠AHC=∠BHC=90°,
设AC=
,则AH=CH=
,AB=2k,
∴BH=
,
∴tanB=
在
中,由∠AMC=∠B得tan∠AMC=tanB=
.
4.解:
(1)∵BC=5,AC=6,AB=9,
∴
,
∴
;
(2)如解图,连接AO,BO,CO,
第4题解图
∵
∴
,
即
,
∴
,
解得
,
∴△ABC的内切圆半径为
.
5.解:
(1)
(2)不相交,理由如下:
=
,
∴
与一次函数y=x-1联立得:
化简得
∵
∴方程无实数解,两函数图象无交点.
6.解:
(1)不对.理由如下:
如果y2的最值是m,则y1的最值是
当k>0时,y1有最大值
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