市北资优七年级分册 第17章 172 三角形的内角和+唐建军.docx
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市北资优七年级分册第17章172三角形的内角和+唐建军
17.2三角形的内角和
我们在小学里已经知道,三角形的三个内角和等于
,那么你能运用学过的平行线的知识来说明这个结论的正确性吗?
三角形的内角和性质:
三角形的内角和等于
.
由三角形内角和为
,可以发现直角三角形的两个锐角有什么数量关系吗?
为什么?
直角三角形的性质之一:
直角三角形的两个锐角互余.
例1
中,
,求
.
解:
因为
(已知),
所以
.(等式的性质)
又因为
(三角形的内角和等于
)
所以
(等量代换)
所以
(等式的性质)
可得
(等式性质)
所以
例2在
中,
于D,求
.
分析:
要求
,就要先求出
与
,可利用设元列方程求得.
解:
设
,则
.
在
中,
(三角形的内角和等于
)
解得
(等式性质)
所以
(等量代换)
又因为
(已知)
所以
(直角三角形的两个锐角互余)
则
(等式性质)
例3如图17.2.2,直角三角形
中,
于D,说明
的理由.
解:
在
中,
因为
(已知)
所以
(直角的意义)
因为
(已知)
所以
(直角三角形两个锐角互余)
因此
(同角的余角相等)
例4在
中,三个内角的度数均为整数,且
,求
解:
设
,则
由题得
由①得
.③
把③代入②得
解得
又三个内角的度数均为整数,则
为整数,因此
例5若三角形三个内角
的关系满足
,试按角的分类判断这个三角形形状.
分析:
由题意可知角
为最大角,因此只需要判断
的大小即可.
解:
因为
(已知)
又因为
(已知)
所以
(不等式性质)
即
又因为
(已知)
所以
(不等式性质)
即
所以这个三角形是钝角三角形.
练习17.2
(1)
1.一个三角形,若其中一个内角等于另外两个内角的和,那么这个三角形一定是______三角形.
2.任意一个三角形至少有_______个钝角.
3.
中,
是最小角,
是最大角,且有
,若
的最大值是m°,最小值是n°,则
______.
4.锐角三角形三个角的度数都是正整数,最小角的度数是最大角的度数的
,那么所有满足此条件的锐角三角形三个角的度数为______.
练习答案:
练习17.2
(1)
1.直角
2.2
3.175.提示:
设
,则
,由
得
4.设锐角三角形最小角的度数为x,最大度数为4x,另一角为y,
则
,解得
故
所有满足此条件的锐角三角形三个角度数为:
20°、80°、80°或21°、75°、84°或22°、70°、88°
17.2三角形的内角和
练习17.2
(1)
1.已知
的三个内角为
,令
,则
中锐角的个数至多()
A、1个B、2个C、3个D、4个
2.如图,
BO、CO分别平分
,EF过O点且平行于BC,则
的度数为______
3.三角形的三个内角分别为
,且
,则
的取值范围是___________
4.如图,已知E为AC上一点,
说明
的理由
练习17.2
(1)答案
1.A
2.
3.
4.由于
,所以
,则
,由三角形内角和为
,得到
,所以
17.2三角形的内角和
(2)
由三角形的一个内角的一边与另一边的反向延长线组成的角,叫做三角形的外角.如右图中,
就是
的一个外角.
请在图17.2.3中画出
中其余的外角.
问题1:
三角形中,与一个内角相邻的外角有几个?
问题2:
三角形的一个外角与内角之间有怎样的数量关系?
由此我们知道了三角形外角的两个性质:
(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
(2)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
对于三角形的每个内角,从与它相邻的两个外角中取出一个,这样取得的三个外角相加所得的和,叫做三角形的外角和.
那么你知道三角形的外角和是多少吗?
三角形的外角和为360°
例1如图17.2.4,在
中,
于D,
于F,
,求
.
分析:
要求
,可通过三角形外角性质先求出
或
而后求得.
解:
因为
于D,
于F(已知)
所以
(垂直的意义)
所以
(直角三角形的两锐角互余)
又
(已知)
所以
(等角的余角相等)
因为
和
都是
的外角(已知)
所以
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
所以
(等式性质)
例2D是
内一点,说明
的理由.
解:
延长BD交AC于点E(如图17.2.5)
因为
(三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角)
所以
(不等式性质)
例3在五角星ABCDE中,求
.
分析:
关键是要把这个五个角的和转化为一个三角形的三内角之和.
解法一:
因为
是
的外角(已知)
所以
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
同理
在
中,
(三角形的内角和等于
)
所以
(等量代换)
解法二:
在
中,
(三角形的内角和等于
)
因为
是
的外角,
是
的外角(已知)
所以
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
则
(等量代换)
例4如图17.2.7,BD、CD分别是
的内角平分线与外角平分线,试判断
与
之间的数量关系,并说明理由.
解:
因为
是
的外角,
是
的外角(已知)
所以
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
因为BD、CD分别是
的内角平分线与外角平分线(已知)
所以
(角的平分线的意义)
因此
(等式性质)
思考:
如果BD、CD分别是
的两个内角的平分线呢?
如果BD、CD是
的两个外角的平分线所在的直线呢?
结果会如何,试着做一下吧!
练习17.2
(2)
1.
如图,在中,D为三角形内一点,x、y、z、w是如图所示各角的度数,则用y、z和w表示x的式子为_________.
2.如图,
_______
3.在
中,,延长BC到D,
,
与
的平分线相交于
点,
与
的平分线相交于
点,依次类推,
与
平分线相交于
点,则
的大小是______.
练习答案:
练习17.2
(2)
1.
.提示:
延长AD交BC于点E,利用三角形外角性质求解.
2.
.提示:
延长AE交BC于点F,利用三角形外角性质求解.
3.
.提示:
练习17.2
(2)
1.如图,
的为直角,又
,若BD是
的平分线,则
的度数为______.
2.如图,已知O是
的边AB、AC的中垂线的交点,I是
的平分线的交点,且
,那么
的度数为____.
3.
如图,在
中,
于D,AE平分
,则
的度数为_____.
4.
在图中,
的度数为_______.
练习17.2
(2)答案
1.
2.
,
,所以
3.
4.
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