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人口模型
数学建模论文
论文题目:
人口的预测模型
目录
一摘要3
二问题的提出3
三问题分析3
四模型假设4
五符号说明4
六模型建立5
模型一5
模型建立5
模型求解5
模型二7
模型建立7
模型求解8
七模型检验9
九参考文献10
【1】赵静但琦数学建模与数学实验(第3版)高等教育出版社2008.110
【3】张德丰数值分析与应用国防工业出版社2007.110
【5】马正飞数学计算方法与软件的工程应用化学工业出版社2002.1210
一摘要
日益增长的人口数量导致了资源短缺,环境恶化。
通过对1978年到2008年的人口数量的统计数据,建立两个数学模型:
指数模型,阻滞模型。
模型通过假设条件,根据假设建立合理的模型,以及MATLAB对数据的处理,并且运用数据拟合求模型的解r,最后通过求的的r预测未来十年内的人口变化规律,从而可以合理的有计划的利用资源,使环境和资源实现可持续发展。
关键词:
人口模型人口数量
二问题的提出
人口问题是当今世界的三大问题之一,人口的剧烈增长导致资源日益短缺,环境日益恶化,认识和了解人口数量的变化规律,做出较准确的估测,从而有效地控制人口增长以及合理有效地开发能源和环境保护,通过1978年到2008年的人口数据变化的规律,对2010年到2020年人口数量做出合理的预测。
三问题分析
通过对数据的观察,运用MATLAB的画图功能,可以看出随着时间增长,人口数量也在急剧增长,而且图像与指数模型吻合,所以不妨假设人口模型符合指数模型,建立第一个数学模型。
但是通过对指数模型和实际数据的比对,发现指数模型在1978年到2003年间与实际较符合,但是2005到2008期间误差越来越大,通过对指数的性质可以了解到,当自变量无穷大时,函数趋于去穷大,这与事实相悖,因为现实资源是有限的,当人口到达某一数值后,由于各种资源、环境因素的限制,人口数量将达到某一稳定值,所以,不妨假设最大人口数为
,当人口数达到最大的时候,增长率为0,建立第二个数学模型。
四模型假设
1假设:
表中所给出的数据是人口的真实值。
2假设:
一些大型自然灾害不考虑在内,如战争,地震等。
3假设:
实行的生育模式一直不变。
4假设:
医疗水平五太大变化对人口数量。
五符号说明
r——人口增长率
t——时间
——1978年人口数量
x(t)——时刻t的人口数
r(x)——增长率的函数
——人口最大容量
六模型建立
模型一:
模型建立:
图表是从1978年到2008年间的人口数:
1978到2008人口数
记时刻t=0是人口数为
,时刻t的人口为
,由于量大,
可视为连续、可微函数。
t到
时间段内人口的增量为
于是
满足微分方程
(1)
模型求解:
解微分方程
(1),得
由上述模型微分方程的解,通过对上表进行数据拟合,得到参数r:
程序:
y=[9.62599.75429.870510.007210.165410.300810.435710.585110.750710.930011.102611.270411.433311.582311.717111.851711.985012.112112.235912.362612.476112.578612.674312.762712.845312.922712.998813.075613.144813.212913.2802]';
t=[0:
1:
30]';
b=ones(31,1);
z=log(y)-b*log(9.6259);
r=t\z
结果为:
r=0.0122
将r=0.0122代到上述模型中,得到指数增长模型,方程为:
求出的1978到2008年的人口数为:
画出两表的数据图像,得到:
从图表可以看出,1978到2004年预测的人口数和实际人口数吻合,但从2005到2008这四年误差较大。
原因在于,指数模型当t
时,
,即人口数无穷增长,但自然环境下,因为资源,环境条件等人口最终将稳定在某一特定的值,无论t再变,y值都不会再改变。
模型二:
模型建立
当
时,增长率应为0,即
,于是
,带入
,得
(3)
将(3)式带入
(1)得
模型:
(4)
模型求解:
解方程(4),得
(5)
通过求的模型,对表中1978到2008年的数据r和
进行数据拟合:
functionf=fun2(k,t)
f=k
(1)./(1+(k
(1)/9.6259-1)*exp(-k
(2)*t));
t=0:
1:
30;
x=[9.62599.75429.870510.007210.165410.300810.435710.585110.750710.930011.102611.270411.433311.582311.717111.851711.985012.112112.238912.362612.476112.578612.674312.762712.845312.922712.998813.075613.144813.212913.2802];
k0=[0.050.05];
k=lsqcurvefit('fun2',k0,t,x)
f=fun2(k,t)
运行结果:
k=
15.57310.0441
f=
Columns1through8
9.62599.78709.946310.103610.258910.412010.562910.7115
Columns9through16
10.857511.001111.142111.280411.416111.549011.679011.8063
Columns17through24
11.930612.052112.170712.286412.399212.509112.616112.7202
Columns25through31
12.821412.919813.015413.108213.198213.285613.3702
由此得到阻滞增长模型方程式:
其中t为时间,y为人口数。
七模型检验
将得到的数据与实际数据比对,画出图像可以看出,预测的数据与实际数据误差较小,较吻合,比对结果如图所示:
由此我们可以预测出2009年到2018年的中国人口数据,
f=
Columns1through9
13.454613.534113.611013.685313.757313.826813.894113.959014.0217
Column10
14.0822
九参考文献
【1】赵静但琦数学建模与数学实验(第3版)高等教育出版社2008.1
【2】冉启康张振宇张立柱常用数学软件教程人民邮电出版社2008.10
【3】张德丰数值分析与应用国防工业出版社2007.1
【4】郑汉鼎,刁在筠,数学规划[M],山东:
山东教育出版社,1997.12
【5】马正飞数学计算方法与软件的工程应用化学工业出版社2002.12
【6】戴树桂环境化学(第二版)高等教育出版社2006.10
【7】稍微借鉴于网上的资源。
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