9A文全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案.docx
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9A文全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题(非数学类)
(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。
)
20KK-20KK年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题(每小题5分)
1.计算
16/15,其中区域
由直线
与两坐标轴所围成三角形区域.
解:
令
,则
,
,
(K)
令
,则
,
,
,
2.设
是连续函数,且满足
则
____________.
解:
令
,则
,
解得
。
因此
。
3.曲面
平行平面
的切平面方程是__________.
解:
因平面
的法向量为
,而曲面
在
处的法向量为
,故
与
平行,因此,由
,
知
,
即
,又
,于是曲面
在
处的切平面方程是
,即曲面
平行平面
的切平面方程是
。
4.设函数
由方程
确定,其中
具有二阶导数,且
,则
________________.
解:
方程
的两边对
求导,得
因
,故
,即
,因此
二、(5分)求极限
,其中
是给定的正整数.
解:
因
故
因此
三、(15分)设函数
连续,
,且
,
为常数,求
并讨论
在
处的连续性.
解:
由
和函数
连续知,
因
,故
,
因此,当
时,
,故
当
时,
,
这表明
在
处连续.
四、(15分)已知平面区域
,
为
的正向边界,试证:
(1)
;
(2)
.
证:
因被积函数的偏导数连续在
上连续,故由格林公式知
(1)
而
关于
和
是对称的,即知
因此
(2)因
故
由
知
即
五、(10分)已知
,
,
是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.
解设
,
,
是二阶常系数线性非齐次微分方程
的三个解,则
和
都是二阶常系数线性齐次微分方程
的解,因此
的特征多项式是
,而
的特征多项式是
因此二阶常系数线性齐次微分方程为
,由
和
,
知,
二阶常系数线性非齐次微分方程为
六、(10分)设抛物线
过原点.当
时,
又已知该抛物线与
轴及直线
所围图形的面积为
.试确定
使此图形绕
轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
解因抛物线
过原点,故
,于是
即
而此图形绕
轴旋转一周而成的旋转体的体积
即
令
,
得
即
因此
.
七、(15分)已知
满足
且
求函数项级数
之和.
解
,
即
由一阶线性非齐次微分方程公式知
即
因此
由
知,
,
于是
下面求级数的和:
令
则
即
由一阶线性非齐次微分方程公式知
令
,得
,因此级数
的和
八、(10分)求
时,与
等价的无穷大量.
解令
,则因当
,
时,
,故
在
上严格单调减。
因此
即
,
又
,
,
所以,当
时,与
等价的无穷大量是
。
20KK-20KK年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。
)
一、(25分,每小题5分)
(1)设
其中
求
(2)求
。
(3)设
,求
。
(4)设函数
有二阶连续导数,
,求
。
(5)求直线
与直线
的距离。
解:
(1)
=
=
=
=
(2)
令x=1/t,则
原式=
(3)
二、(15分)设函数
在
上具有二阶导数,并且
且存在一点
,使得
。
证明:
方程
在
恰有两个实根。
解:
二阶导数为正,则一阶导数单增,f(x)先减后增,因为f(x)有小于0的值,所以只需在两边找两大于0的值。
将f(x)二阶泰勒展开:
因为二阶倒数大于0,所以
,
证明完成。
三、(15分)设函数
由参数方程
所确定,其中
具有二阶导数,曲线
与
在
出相切,求函数
。
解:
(这儿少了一个条件
)由
与
在
出相切得
,
=。
。
。
上式可以得到一个微分方程,求解即可。
四、(15分)设
证明:
(1)当
时,级数
收敛;
(2)当
且
时,级数
发散。
解:
(1)
>0,
单调递增
当
收敛时,
,而
收敛,所以
收敛;
当
发散时,
所以,
而
,收敛于k。
所以,
收敛。
(2)
所以
发散,所以存在
,使得
于是,
依此类推,可得存在
使得
成立,所以
当
时,
,所以
发散
五、(15分)设
是过原点、方向为
,(其中
的直线,均匀椭球
,其中(
密度为1)绕
旋转。
(1)求其转动惯量;
(2)求其转动惯量关于方向
的最大值和最小值。
解:
(1)椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离
由轮换对称性,
(2)
当
时,
当
时,
六、(15分)设函数
具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线
上,曲线积分
的值为常数。
(1)设
为正向闭曲线
证明
(2)求函数
;
(3)设
是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求
。
解:
(1)L不绕原点,在L上取两点A,B,将L分为两段
,
,再从A,B作一曲线
,使之包围原点。
则有
(2)令
由
(1)知
,代入可得
上式将两边看做y的多项式,整理得
由此可得
解得:
(3)取
为
,方向为顺时针
20KK-20KK年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。
)
一.计算下列各题(本题共3小题,每小题各5分,共15分)
(1).求
;
解:
(用两个重要极限):
(2).求
;
解:
(用欧拉公式)令
其中,
表示
时的无穷小量,
(3)已知
,求
。
解:
二.(本题10分)求方程
的通解。
解:
设
,则
是一个全微分方程,设
该曲线积分与路径无关
三.(本题15分)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且
均不为0,证明:
存在唯一一组实数
,使得
。
证明:
由极限的存在性:
即
,又
,
①
由洛比达法则得
由极限的存在性得
即
,又
,
②
再次使用洛比达法则得
③
由①②③得
是齐次线性方程组
的解
设
,则
,
增广矩阵
,则
所以,方程
有唯一解,即存在唯一一组实数
满足题意,
且
。
四.(本题17分)设
,其中
,
,
为
与
的交线,求椭球面
在
上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。
解:
设
上任一点
,令
,
则
椭球面
在
上点M处的法向量为:
在点M处的切平面为
:
原点到平面
的距离为
,令
则
,
现在求
在条件
,
下的条件极值,
令
则由拉格朗日乘数法得:
,
解得
或
,
对应此时的
或
此时的
或
又因为
,则
所以,椭球面
在
上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为:
,
五.(本题16分)已知S是空间曲线
绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分(
)取上侧,
是S在
点处的切平面,
是原点到切平面
的距离,
表示S的正法向的方向余弦。
计算:
(1)
;
(2)
解:
(1)由题意得:
椭球面S的方程为
令
则
,
切平面
的法向量为
,
的方程为
,
原点到切平面
的距离
将一型曲面积分转化为二重积分得:
记
(2)方法一:
六.(本题12分)设f(x)是在
内的可微函数,且
,其中
,任取实数
,定义
证明:
绝对收敛。
证明:
由拉格朗日中值定理得:
介于
之间,使得
,又
得
级数
收敛,
级数
收敛,即
绝对收敛。
七.(本题15分)是否存在区间
上的连续可微函数f(x),满足
,
?
请说明理由。
解:
假设存在,当
时,由拉格朗日中值定理得:
介于0,x之间,使得
,
同理,当
时,由拉格朗日中值定理得:
介于x,2之间,使得
即
,
显然,
,又由题意得
即
,
不存在,又因为f(x)是在区间
上的连续可微函数,即
存在,矛盾,故,原假设不成立,所以,不存在满足题意的函数f(x)。
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- 全国大学生 高等数学 竞赛 试题 汇总 答案