北京市东城区高三二模理科数学试题及答案.docx
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北京市东城区高三二模理科数学试题及答案
北京市东城区2012年高三二模理科数学试题及答案
各位考生,2012年高考信息陆续出炉,下面是教育城高考网(
北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习
(二)
数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题共40分)
一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)下列命题中,真命题是
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)将容量为
的样本中的数据分成
组,若第一组至第六组数据的频率之比为
,且前三组数据的频数之和等于
,则
的值为
(A)
(B)
(C)
(D)
(3)
的展开式中的常数项为
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)若一个三棱柱的底面是正三角形,其正(主)视图如图所示,则它的体积为
(A)
(B)
(C)
(D)
(5)若向量
,
满足
,
,且
,则
与
的夹角为
(A)
(B)
(C)
(D)
(6)已知
和
是两条不同的直线,
和
是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出
的是
(A)
,且
(B)
∥
,且
(C)
,且
∥
(D)
,且
∥
(7)若
是
和
的等比中项,则圆锥曲线
的离心率为
(A)
(B)
(C)
或
(D)
或
(8)定义:
,已知数列
满足:
,若对任意正整数
,都有
成立,则
的值为
(A)
(B)
(C)
(D)
第Ⅱ卷(共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)设
,且
为正实数,则
的值为.
(10)若圆
的参数方程为
(
为参数),则圆
的圆心坐标为 ,圆
与直线
的交点个数为 .
(11)在平面直角坐标系
中,将点
绕原点
逆时针旋转
到点
,那么点
的坐标为____,
若直线
的倾斜角为
,则
的值为.
(12)如图,直线
与
相切于点
,割线
经过圆心
,弦
⊥
于点
,
,
,则
.
(13)已知函数
的最大值为
,最小值为
,则
的值为__.
(14)已知点
与点
在直线
的两侧,给出下列说法:
①
;②当
时,
有最小值,无最大值;
③
;④当
且
,
时,
的取值范围为
.
其中,所有正确说法的序号是.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(15)(本小题共13分)
已知函数
(其中
,
,
)的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求函数
的解析式;
(Ⅱ)已知在函数
的图象上的三点
的横坐标分别为
,求
的值.
(16)(本小题共13分)
某公园设有自行车租车点,租车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、
乙两人各租一辆自行车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为
;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为
;两人租车时间都不会超过三小时.
(Ⅰ)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(Ⅱ)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量
,求
的分布列与数学期望
.
(17)(本小题共13分)
如图,矩形
所在的平面与直角梯形
所在的平面互相垂直,
∥
,
且
,
,
,
.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求二面角
的余弦值.
(18)(本小题共14分)
已知抛物线
:
,
为直线
上任意一点,过点
作抛物线
的两条切线
,切点分别为
.
(Ⅰ)当
的坐标为
时,求过
三点的圆的方程;
(Ⅱ)证明:
以
为直径的圆恒过点
.
(19)(本小题共13分)
已知函数
(
).
(Ⅰ)试讨论
在区间
上的单调性;
(Ⅱ)当
时,曲线
上总存在相异两点
,
,使得曲线
在点
,
处的切线互相平行,求证:
.
(20)(本小题共14分)
对于数列
,令
为
,
,
,
中的最大值,称数列
为
的“创新数列”.例如数列
,
,
,
,
的创新数列为
,
,
,
,
.
定义数列
:
是自然数
,
,
,
,
的一个排列.
(Ⅰ)当
时,写出创新数列为
,
,
,
,
的所有数列
;
(Ⅱ)是否存在数列
,使它的创新数列为等差数列?
若存在,求出所有的数列
,若不存在,请说明理由.
北京市东城区2011-2012学年度高三综合练习
(二)
数学参考答案及评分标准(理科)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
(1)A
(2)B(3)D(4)A(5)C(6)B(7)D(8)C
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)③④
注:
两个空的填空题第一个空填对得3分,第二个空填对得2分.
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
(15)(共13分)
解:
(Ⅰ)由图可知,
,最小正周期
.
由
,得
.……………3分
又
,且
,
所以
,即
.………………5分
所以
.………………6分
(Ⅱ)因为
所以
.…………………7分
所以
.
由余弦定理得
.……………11分
因为
,所以
.……………13分
(其它解法酌情给分)
(16)(共13分)
解:
(Ⅰ)甲、乙两人所付费用相同即为
,
,
元.……………2分
都付
元的概率为
;都付
元的概率为
;
都付
元的概率为
;
故所付费用相同的概率为
.……………6分
(Ⅱ)依题意,
的可能取值为
,
,
,
,
.……………8分
;
;
;
;
.
故
的分布列为
……………11分
所求数学期望
.……………13分
(17)(共13分)
(Ⅰ)证明:
因为
//
,
平面
,
平面
,
所以
//平面
.……………2分
因为
为矩形,
所以
//
.
又
平面
,
平面
,
所以
//平面
.……………4分
又
,且
,
平面
,
所以平面
//平面
.……………5分
又
平面
,
所以
平面
.……………6分
(Ⅱ)解:
由已知平面
平面
,且平面
平面
,
,
所以
平面
,又
,故以点
为坐标原点,建立空间直角坐标系
.
……………7分
由已知得
,易得
,
.
则
,
,
.
,
.……………8分
设平面
的法向量
,则
即
令
,则
,
.所以
.…10分
又
是平面
的一个法向量,所以
.
故所求二面角
的余弦值为
.……………13分
(18)(共14分)
(Ⅰ)解:
当
的坐标为
时,设过
点的切线方程为
,
由
消
得
.
(1)
令
,解得
.代入方程
(1),解得
.……………3分
设圆心
的坐标为
,由
,得
,解得
.
故过
三点的圆的方程为
.……………5分
(Ⅱ)证明:
设
,由已知得
,
,设切点分别为
,
,
所以
,
,切线
的方程为
即
,
切线
的方程为
即
.……………7分
又因为切线
过点
,所以得
.①
又因为切线
也过点
,所以得
.②
所以
,
是方程
的两实根,
由韦达定理得
.……………9分
因为
,
,
所以
.
将
代入,得
.……………13分
所以以
为直径的圆恒过点
.……………14分
(19)(共13分)
(Ⅰ)解:
由已知
,
.………2分
由
,得
,
.………4分
因为
,所以
且
.
所以在区间
上,
;在区间
上,
.
故
在
上单调递减,在
上单调递增.……………6分
(Ⅱ)证明:
由题意可得,当
时,
(
,且
).
即
,
所以
,
.……………8分
因为
,且
,所以
恒成立,
所以
,又
,
所以
,整理得
.……………11分
令
,因为
,所以
在
上单调递减,
所以
在
上的最大值为
,
所以
.……………13分
(20)(共14分)
解:
(Ⅰ)由题意,创新数列为
,
,
,
,
的所有数列
有两个,即数列
,
,
,
,
;
数列
,
,
,
,
.……………4分
(Ⅱ)存在数列
,使它的创新数列为等差数列.
数列
的创新数列为
,
因为
是
中的最大值,
所以
.
由题意知,
为
中最大值,
为
中的最大值,
所以
,且
.
若
为等差数列,设其公差为
,
则
且
,
当
时,
为常数列,又
,
所以数列
为
,
,
,
.
此时数列
是首项为
的任意一个符合条件的数列;……………8分
当
时,因为
,所以数列
为
,
,
,
,
.
此时数列
为
,
,
,
,
;……………10分
当
时,因为
,
又
,
,所以
,这与
矛盾,所以此时
不存在,即不存在
使得它的创新数列为公差
的等差数列.……………13分
综上,当数列
为以
为首项的任意一个符合条件的数列或
为数列
,
,
,
,
时,它的创新数列为等差数列.……………14分
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