dandelin双球证明定理圆锥曲线.docx
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dandelin双球证明定理圆锥曲线
平面与圆锥面的截线
一、教学目标:
1.知识与內容:
(1)通过观察平面截圆锥面的情境,体会定理2
(2)利用Dandelin双球证明定理2中情况
(1)
(3)通过探究,得出椭圆的准线和离心率,加深对椭圆结构的理解
2.过程与方法:
利用现代计算机技术,动态地展现Dandelin两球的方法,帮助学生利用几何直观进行思维,培养学生的几何直观能力,重视直觉的培养和训练,直觉用于发现,逻辑用于证明。
3•情感态度价值观:
通过亲历发现的过程,提高对图形认识能力,重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养,让学生辩证地观察、分析问题。
二、教学重点难点
重点:
(1)定理2的证明
(2)椭圆准线和离心率的探究
难点:
椭圆准线和离心率的探究
三、教学过程
椭圆是生活中常见的图形,是圆锥曲线中重要的一种。
生成椭圆的方法有许多,例如:
(1)圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆,如图1;
(2)椭圆的定义
(3)平面内到定点和定直线的距离之比等于常数(Ovevl)的点的轨迹
(4)一动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数生成轨迹是椭圆;
(5)圆柱形物体的斜截口是椭圆,如图2
如果用一平面去截一个正圆锥,所得截口曲线是椭圆吗?
还有其他情况吗?
让我们共同来探究平面与圆锥面的截线。
A
思考:
如图391,AD是等腰三角形ABC底边上的高,
BAD•直线I与AD相交于点P,且与AD的夹角
为(0)•试探究:
当与满足什么矢系?
2
1I与AB或AB的延长线、AC都相交;
2I与AB不相交;
3I与BA的延长线、AC都相交
利用几何画板实验探索
如图392,可以有如下结论:
1当|与AB或AB的延长线、AC都相交时,
设丨与AB(或AB的延长线)交于E,与AC交于F.
因为是AEP的外角,所以必然有;
反之,当时」与AB(或AB的延长线卜AC都相交.
2当I与AB不相交时,贝【JI//AB,这时有;
反之,当时J〃AB,那么I与AB不相交.
D
3当I与BA勺延长线、AC都相交时,设I与BA勺延长线交于G,
oyz
思考:
因为是APG的外角,所以;如果,那么I与BA的延长线、AC都相交
将图39中的等腰三角形拓广为圆锥,直线拓广为平面,则得到图310.
如果用一平面去截一个正圆锥,而且这个平面不通过圆锥的顶点,会出现哪些情况
如果平面与一条母线平行(相当于图392中的),那么
(1)平面就只与正圆锥的一半相交,这时的交线是一条抛物线;
如果平面不与母线平行,那么会出现两种情形:
(2)平面只与圆锥的一半相交,这时的交线为椭圆;
(3)平面与圆锥的两部分都相交,这时的交线叫做双曲线.
归纳提升:
定理在空间中,取直线为轴,直线与相交于0点,其夹角为a,围绕旋转得到以0为顶
点,为母线的圆锥面,任取平面n,若它与轴交角为3(n与平行,记住0),贝
(1)3>a,平面n与圆锥的交线为椭圆;
(2)3=a,平面n与圆锥的交线为抛物线;
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