《向量的数乘运算》教案、导学案、课后作业.docx
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《6.2.3向量的数乘运算》教案
【教材分析】
实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算,也叫向量的初等运算,是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。
实数与向量的积的结果是向量,要按大小和方向这两个要素去理解。
向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的,定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。
特别:
向量的平行要与平面中直线的平行区别开。
【教学目标与核心素养】
课程目标
1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律,会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算;
2.理解两个向量平行的充要条件,能根据条件判断两个向量是否平行;
3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了解事物运动变化的辩证思想.
数学学科素养
1.数学抽象:
向量数乘概念;
2.逻辑推理:
向共线的充要条件及其应用;
3.数学运算:
向量的线性运算;
4.数学建模:
用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型,数形结合,运用向量加法解决实际问题.
【教学重点和难点】
重点:
实数与向量的积的定义、运算律,向量平行的充要条件;
难点:
理解实数与向量的积的定义,向量平行的充要条件.
【教学过程】
一、情景导入
我们已经学习了向量的加法,请同学们作出和向量,并请同学们指出相加后,和的长度与方向有什么变化?
这些变化与哪些因素有关?
要求:
让学生自由发言,教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本,引入新课
阅读课本13-16页,思考并完成以下问题
1、向量数乘的定义及其几何意义是什么?
2、向量数乘运算满足哪三条运算律?
3、向量共线定理是怎样表述的?
4、向量的线性运算是指的哪三种运算?
要求:
学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1、定义
实数与向量的积是一个向量,记作.它的长度和方向规定如下:
(1).
(2)时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;特别地,当或时,.
2、实数与向量的积的运算律
设、为任意向量,、为任意实数,则有:
(1);
(2);
(3).
3、向量平行的充要条件:
向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数,使得.
四、典例分析、举一反三
题型一向量的线性运算
例1化简下列各式:
(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);
(2)[2(2a+8b)-4(4a-2b)].
【答案】
(1)14a-9b.
(2)-2a+4b.
【解析】
(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.
(2)原式=(4a+16b-16a+8b)
=(-12a+24b)
=-2a+4b.
解题技巧(向量线性运算的方法)
(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
跟踪训练一
1、设向量a=3i+2j,b=2i-j,求-+(2b-a).
2、已知a与b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.
【答案】1、-i-5j.2、.
【解析】1、原式=a-b-a+b+2b-a
=a+b
=-a+b
=-(3i+2j)+(2i-j)
=-i-5j.
2、联立方程组解得
题型二向量线性运算的应用
例2如图所示,四边形ABCD是一个等腰梯形,AB∥DC,M,N分别是DC,AB的中点,已知=a,=b,=c,试用a,b,c表示,.
【答案】 -a+b+c.=a-b-c.
【解析】 =++=-a+b+c.
∵=++,
又=-,=-,=,
∴=a-b-c.
解题技巧:
(用已知向量表示未知向量)
用图形中的已知向量表示所求向量,应结合已知和所求,联想相关的法则和几何图形的有关定理,将所求向量反复分解,直到全部可以用已知向量表示即可,其实质是向量的线性运算的反复应用.
跟踪训练二
1、如图所示,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,M,N分别是DE,BC的中点,已知=a,=b,试用a,b分别表示,,.
【答案】=a.=-a+b.=a-b.
【解析】由三角形中位线定理,知DE平行且等于BC,故=,
即=a.
=++=-a+b+a=-a+b.
=++=++
=-a-b+a=a-b.
题型三共线定理的应用
例3 已知非零向量e1,e2不共线.
(1)如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1-e2),求证:
A,B,D三点共线;
(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值.
【答案】
(1)见解析,
(2)k=±1.
【解析】
(1)证明:
∵=e1+e2,
=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5.
∴,共线,且有公共点B.
∴A,B,D三点共线.
(2)∵ke1+e2和e1+ke2共线,
∴存在实数λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),
即(k-λ)e1=(λk-1)e2.
∵e1与e2不共线,∴解得k=±1.
解题技巧(用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路)
(1)若b=λa(a≠0),且b与a所在的直线无公共点,则这两条直线平行;
(2)若b=λa(a≠0),且b与a所在的直线有公共点,则这两条直线重合.例如,若向量=λ,则,共线,又与有公共点A,从而A,B,C三点共线,这是证明三点共线的重要方法.
跟踪训练三
1、已知e1,e2是两个不共线的向量,若=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2,求证:
A,B,D三点共线;
2、已知A,B,P三点共线,O为直线外任意一点,若=x+y,求x+y的值.
【答案】1、见解析.2、x+y=1.
【解析】1、证明:
∵=e1+3e2,=2e1-e2,
∴=-=e1-4e2.
又=2e1-8e2=2(e1-4e2),
∴=2,∴∥.
∵AB与BD有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
2、解由于A,B,P三点共线,所以向量,在同一直线上,由向量共线定理可知,必定存在实数λ使=λ,
即-=λ(-),
所以=(1-λ)+λ,
故x=1-λ,y=λ,即x+y=1.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
6.2.3向量的数乘运算
1.定义例1例2例3
注意:
2.向量线性运算
3.向量平行充要条件
七、作业
课本15、16页练习,22页习题6.2的8,9,12,13,14,15题.
【教学反思】
向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算,向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手,引入数乘运算,充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量,既有大小,又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量,进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线就可以用点A和某个向量表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容,应用相当广泛,且容易出错,尤其是定理的前提条件:
向量是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等,且与后学的知识有着密切的联系.
《6.2.3向量的数乘运算》导学案
【学习目标】
知识目标
1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律,会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算;
2.理解两个向量平行的充要条件,能根据条件判断两个向量是否平行;
3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了解事物运动变化的辩证思想.
核心素养
1.数学抽象:
向量数乘概念;
2.逻辑推理:
向共线的充要条件及其应用;
3.数学运算:
向量的线性运算;
4.数学建模:
用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型,数形结合,运用向量加法解决实际问题.
【学习重点】:
实数与向量的积的定义、运算律,向量平行的充要条件;
【学习难点】:
理解实数与向量的积的定义,向量平行的充要条件.
【学习过程】
一、预习导入
阅读课本13-16页,填写。
1、定义
实数与向量的积是一个_________,记作_________.它的长度和方向规定如下:
(1).
(2)时,的方向与的方向_________;当时,的方向与的方向_________;
特别地,当或时,.
2、实数与向量的积的运算律
设、为任意向量,、为任意实数,则有:
(1);
(2);
(3).
3、向量平行的充要条件:
向量与非零向量平行的充要条件是___________________________.
小试牛刀
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)的方向与a的方向一致 ( )
(2)共线向量定理中,条件a≠0可以去掉. ( )
(3)对于任意实数m和向量a,b,若ma=,则a=b.( )
2.若|a|=1,|b|=2,且a与b方向相同,则下列关系式正确的是( )
A.b=2a B.b=-2a
C.a=2b D.a=-2b
3.在四边形ABCD中,若=-,则此四边形是( )
A.平行四边形 B.菱形
C.梯形 D.矩形
4.化简:
2(3a+4b)-7a=______.
【自主探究】
题型一向量的线性运算
例1化简下列各式:
(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);
(2)[2(2a+8b)-4(4a-2b)].
跟踪训练一
1、设向量a=3i+2j,b=2i-j,求-+(2b-a).
2、已知a与b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.
题型二向量线性运算的应用
例2如图所示,四边形ABCD是一个等腰梯形,AB∥DC,M,N分别是DC,AB的中点,已知=a,=b,=c,试用a,b,c表示,.
跟踪训练二
1、如图所示,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,M,N分别是DE,BC的中点,已知=a,=b,试用a,b分别表示,,.
题型三共线定理的应用
例3 已知非零向量e1,e2不共线.
(1)如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1-e2),求证:
A,B,D三点共线;
(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值.
跟踪训练三
1、已知e1,e2是两个不共线的向量,若=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2,求证:
A,B,D三点共线;
2、已知A,B,P三点共线,O为直线外任意一点,若=x+y,求x+y的值.
【达标检测】
1.等于( )
A.2a-bB.2b-a
C.b-aD.a-b
2.已知m,n是实数,a,b是向量,则下列命题中正确的为( )
一、①m(a-b)=ma-;②(m-n)a=ma-;③若ma=,则a=b;④若ma=,则m=n.
A.①④B.①②
C.①③D.③④
3.如图,△ABC中,=a,=b,=3,=2,则=( )
A.-a+b B.a-b
C.a+bD.-a+b
4.对于向量a,b有下列表示:
①a=2e,b=-2e;
②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;
③a=4e1-e2,b=e1-e2;
④a=e1+e2,b=2e1-2e2.
其中,向量a,b一定共线的有( )
A.①②③ B.②③④
C.①③④D.①②③④
5.已知e1,e2是两个不共线的向量,而a=k2e1+e2与b=2e1+3e2是两个共线向量,则实数k=________.
6.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b.
(1)用a,b分别表示向量
(2)求证:
B,E,F三点共线.
答案
小试牛刀
1.
(1)×
(2)×(3)×
2.A.
3.C.
4.-a+8b.
自主探究
例1【答案】
(1)14a-9b.
(2)-2a+4b.
【解析】
(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.
(2)原式=(4a+16b-16a+8b)
=(-12a+24b)
=-2a+4b.
跟踪训练一【答案】1、-i-5j.2、.
【解析】1、原式=a-b-a+b+2b-a
=a+b
=-a+b
=-(3i+2j)+(2i-j)
=-i-5j.
2、联立方程组解得
例2【答案】 -a+b+c.=a-b-c.
【解析】 =++=-a+b+c.
∵=++,
又=-,=-,=,
∴=a-b-c.
跟踪训练二
1、【答案】=a.=-a+b.=a-b.
【解析】由三角形中位线定理,知DE平行且等于BC,故=,
即=a.
=++=-a+b+a=-a+b.
=++=++
=-a-b+a=a-b.
例3 【答案】
(1)见解析,
(2)k=±1.
【解析】
(1)证明:
∵=e1+e2,
=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5.
∴,共线,且有公共点B.
∴A,B,D三点共线.
(2)∵ke1+e2和e1+ke2共线,
∴存在实数λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),
即(k-λ)e1=(-1)e2.
∵e1与e2不共线,∴解得k=±1.
跟踪训练三
【答案】1、见解析.2、x+y=1.
【解析】1、证明:
∵=e1+3e2,=2e1-e2,
∴=-=e1-4e2.
又=2e1-8e2=2(e1-4e2),
∴=2,∴∥.
∵AB与BD有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
2、解由于A,B,P三点共线,所以向量,在同一直线上,由向量共线定理可知,必定存在实数λ使=λ,
即-=λ(-),
所以=(1-λ)+λ,
故x=1-λ,y=λ,即x+y=1.
当堂检测
1-4.BBDA
5.-2或
6.【答案】见解析.
【解析】
《6.2.3向量的数乘运算》课后作业
基础巩固
1.下列各式计算正确的个数是( )
①(-7)·5a=-35a;②a-2b+2(a+b)=3a;③a+b-(a+b)=0.
A.0B.1C.2D.3
2.如图所示,D是△ABC的边AB上的中点,则向量=( )
A.-
B.-+
C.--
D.+
3.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( )
A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D
4.若=3e1,=-5e1,且||=||,则四边形ABCD是( )
A.平行四边形 B.菱形
C.等腰梯形 D.不等腰的梯形
5.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则等于( )
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
6.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量ke1+2e2与8e1+ke2方向相反,则k=________.
7.若a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,则向量a写为λ1b+λ2c的形式是________.
8.如图所示,向量,,的终点A,B,C在一条直线上,且=-3.设=p,=q,=r,那么r用p,q怎么表示?
能力提升
9.已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定可以使a,b共线的是( )
①2a-3b=4e且a+2b=-2e;
②存在相异实数λ,μ,使=0;
③=0(其中实数x,y满足x+y=0);
④已知梯形ABCD,其中
A.①② B.①③
C.②D.③④
10.如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为________.
11.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b.
(1)用a,b分别表示向量,;
(2)求证:
B,E,F三点共线.
素养达成
12.设e1,e2是两个不共线的向量,如果=3e1-2e2,=4e1+e2,=8e1-9e2.
(1)求证A,B,D三点共线;
(2)试确定λ的值,使2λe1+e2和e1+λe2共线;
(3)若e1+λe2与λe1+e2不共线,试求λ的取值范围.
《6.2.3向量的数乘运算》课后作业答案解析
基础巩固
1.下列各式计算正确的个数是( )
①(-7)·5a=-35a;②a-2b+2(a+b)=3a;③a+b-(a+b)=0.
A.0B.1C.2D.3
【答案】C
【解析】根据向量数乘的运算律可验证①②正确;③错误,因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量,而不是实数.
2.如图所示,D是△ABC的边AB上的中点,则向量=( )
A.-
B.-+
C.--
D.+
【答案】B
【解析】 ∵D是AB的中点,∴=,
∴=+=-+.
3.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( )
A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D
【答案】A
【解析】 =+=++
=(a+2b)+(-5a+6b)+(7a-2b)
=3a+6b=3,
∴A,B,D三点共线.故选A.
4.若=3e1,=-5e1,且||=||,则四边形ABCD是( )
A.平行四边形 B.菱形
C.等腰梯形 D.不等腰的梯形
【答案】C
【解析】因为=-,所以AB∥CD,且||≠||.而||=||,所以四边形ABCD为等腰梯形.
5.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则等于( )
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
【答案】B
【解析】如图所示,∵E是OD的中点,∴==b.
又∵△ABE∽△FDE,∴==.
∴=3,∴=,
在△AOE中,=+=a+b,
∴==a+b.故选B.
6.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量ke1+2e2与8e1+ke2方向相反,则k=________.
【答案】-4
【解析】∵ke1+2e2与8e1+ke2共线,
∴ke1+2e2=λ(8e1+ke2)=8λe1+λke2.
∴解得或
∵ke1+2e2与8e1+ke2反向,∴λ=-,k=-4.
7.若a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,则向量a写为λ1b+λ2c的形式是________.
【答案】-b+c
【解析】 若a=λ1b+λ2c,则-e1+3e2=λ1(4e1+2e2)+λ2(-3e1+12e2),∴-e1+3e2=(4λ1-3λ2)e1+(2λ1+12λ2)e2.
∴解之,得
8.如图所示,向量,,的终点A,B,C在一条直线上,且=-3.设=p,=q,=r,那么r用p,q怎么表示?
【答案】r=-p+q.
【解析】∵=+,=-3=3,
∴=.
∴=+=+(-).
∴r=q+(r-p).
∴r=-p+q.
能力提升
9.已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定可以使a,b共线的是( )
①2a-3b=4e且a+2b=-2e;
②存在相异实数λ,μ,使=0;
③=0(其中实数x,y满足x+y=0);
④已知梯形ABCD,其中
A.①② B.①③
C.②D.③④
【答案】A
【解析】由2a-3b=-2(a+2b)得到b=-4a,故①可以;λa-μb=0,λa=μb,故②可以;x=y=0,有xa+yb=0,但b与a不一定共线,故③不可以;梯形ABCD中,没有说明哪组对边平行,故④不可以.
10.如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为________.
【答案】2
【解析】在△ABC中,连接AO.由于O是BC的中点,因此=(+)=+.
由于=m,=n,
则=m+n.
由于M,O,N三点共线,则m+n=1,
从而m+n=2.
11.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b.
(1)用a,b分别表示向量,;
(2)求证:
B,E,F三点共线.
【答案】
(1)=(a+b).=-a+b.
(2)见解析.
【解析】
(1)∵=(+)=(a+b),
∴==(a+b).
∵==b,
∴=-=-a+b.
(2)证明:
由
(1)知=-a+b,
=-=(a+b)-a=-a+b=,∴=,∴与共线.
又BE,BF有公共点B,所以B,E,F三点共线.
素养达成
12.设e1,e2是两个不共线的向量,如果=3e1-2e2,=4e1+e2,=8e1-9e2.
(1)求证A,B,D三点共线;
(2)试确定λ的值,使2λe1+e2和e1+λe2共线;
(3)若e1+λe2与λe1+e2不共线,试求λ的取值范围.
【答案】
(1)见解析.
(2)λ=±.(3)当λ≠±1时,e1+λe2与λe1+e2不共线.
【解析】
(1)证明:
因为=+=4e1+e2+8e1-9e2=12e1-8e2=4(3e1-2e2)=4,
所以与共线.
因为与有公共点B,所以A,B,D三点共线.
(2)因为2λe1+e2与e1+λe2共线,
所以存在实数μ,使2λe1+e2=μ(e1+λe2).
因为e1,e2不共线,所以
所以λ=±.
(3)假设e1+λe2与λe1+e2共线,则存在实数μ,使e1+λe2=μ(λe1+e2).
因为e1,e2不共线,所以所以λ=±1.
所以当λ≠±1时,e1+λe2与λe1+e2不共线.
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- 向量的数乘运算 向量 运算 教案 导学案 课后 作业