学年高中数学第1章立体几何初步112简单多面体学案北师大版必修2.docx
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学年高中数学第1章立体几何初步112简单多面体学案北师大版必修2
1.2 简单多面体
1.多面体
我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体.其中棱柱、棱锥、棱台都是简单多面体.
2.棱柱
(1)棱柱的有关概念
两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,这些面围成的几何体叫作棱柱.两个互相平行的面叫作棱柱的底面,其余各面叫作棱柱的侧面,棱柱的侧面是平行四边形.
两个面的公共边叫作棱柱的棱,其中两个侧面的公共边叫作棱柱的侧棱,底面多边形与侧面的公共顶点叫作棱柱的顶点.
(2)棱柱的分类
①按底面多边形的边数:
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱柱分别叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱…….
②按侧棱与底面是否垂直:
3.棱锥
(1)定义
有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,这些面围成的几何体叫作棱锥.如右图棱锥记作:
三棱锥S—ABC.
(2)正棱锥
如果棱锥的底面是正多边形,且各侧面全等,就称作正棱锥.
(3)分类
按底面多边形的边数分:
底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫作三棱锥、四棱锥、五棱锥…….
4.棱台
(1)定义
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫作棱台.如右图棱台记作:
三棱台ABC—A1B1C1.
(2)正棱台
用正棱锥截得的棱台叫作正棱台.
(3)分类
按底面多边形的边数分:
底面是三角形、四边形、五边形……的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台…….
1.给出下列图片:
观察这些图片中的物体,你能得到什么样的空间几何体?
请与下面轮廓图对应,并将它们进行分类.
[答案] 图片中展示的几何体有:
柱体、锥体、台体、球体四类.
可作两种不同的分类:
2.正棱锥的侧面是什么样的三角形?
正棱台的侧面呢?
[答案] 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形;正棱台的侧面是全等的等腰梯形.
3.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)棱柱的侧面都是平行四边形.( )
(2)棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都有一个公共点.( )
(3)棱台的侧面有的是平行四边形,有的是梯形.( )
(4)棱台的侧棱所在直线均相交于同一点.( )
(5)多面体至少有四个面.( )
(6)三棱锥也叫作四面体.( )
[答案]
(1)√
(2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√
题型一棱柱的几何特征
【典例1】 如图所示的直八棱柱,它的底面边长都是5厘米,侧棱长都是6厘米,回答下列问题:
(1)这个八棱柱一共有多少面?
它们的形状分别是什么图形?
哪些面的形状、面积完全相同?
(2)这个八棱柱一共有多少条棱?
它们的长度分别是多少?
(3)沿一条侧棱将其侧面全部展开成一个平面图形,这个图形是什么形状?
面积是多少?
[思路导引] 棱柱的表面分为底面与侧面,底面可以是任意的平面多边形,而侧面只可以是平行四边形;棱柱的棱分为底棱和侧棱,侧棱相互平行,相对底棱相互平行.
[解]
(1)这个八棱柱一共有10个面,其中上、下两个底面,8个侧面;上、下底面是八边形,侧面都是长方形;上、下底面的形状、面积完全相同,8个侧面的形状、面积完全相同.
(2)这个八棱柱一共有24条棱,其中侧棱的长度都是6厘米,其他棱长是5厘米.
(3)将其侧面沿一条棱展开,展开图是一个长方形,长为5×8=40(厘米),宽为6厘米,所以面积是40×6=240(平方厘米).
[针对训练1] 下列对棱柱的叙述中正确的是( )
A.由面围成的几何体叫做棱柱
B.至少有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱
C.每相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体叫做棱柱
D.有两个面互相平行,其余各面都是四边形且相邻的两个四边形的公共边互相平行的几何体叫棱柱
[解析] 由棱柱的定义可知,D正确.
[答案] D
题型二棱锥、棱台的几何特征
【典例2】
(1)判断如图所示的物体是不是棱锥,为什么?
(2)如图所示的多面体是不是棱台?
[思路导引] 根据棱锥与棱台的几何特征判定.
[解]
(1)该物体不是棱锥.因为棱锥的定义中要求:
各侧面有一个公共顶点,但侧面ABC与侧面CDE没有公共顶点,所以该物体不是棱锥.
(2)根据棱台的定义,可以得到判断一个多面体是否是棱台的标准有两个:
一是共点,二是平行.即各侧棱延长线要交于一点,上、下两个底面要平行,二者缺一不可.据此,图
(1)中多面体侧棱延长线不相交于同一点,故不是棱台;图
(2)中多面体不是由棱锥截得的,不是棱台;图(3)中多面体虽是由棱锥截得的,但截面与底面不平行,因此也不是棱台.
棱锥、棱台结构特征问题的判断方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法
[针对训练2] 有下列三个命题:
①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;
②两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;
③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
其中正确的有( )
A.0个B.1个
C.2个D.3个
[解析] ①中的平面不一定平行于底面,故①错;②③可用反例去检验,如图所示,侧棱延长线不能相交于一点,故②③错.故选A.
[答案] A
题型三多面体的识别和判断
【典例3】 如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1.用平面BCFE把这个长方体分成两部分后,各部分形成的几何体还是棱柱吗?
如果是,是几棱柱?
如果不是,说明理由.
[思路导引] 根据棱柱的定义及分类判定.
[解] 截面BCFE上方部分是棱柱,且是三棱柱BEB1-CFC1,其中△BEB1和△CFC1是底面.
截面BCFE下方部分也是棱柱,且是四棱柱ABEA1-DCFD1,其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面.
解答此类题目的关键是正确掌握棱柱的几何特征,在利用几何体的概念进行判断时,要紧扣定义,注意几何体间的联系与区别,不要认为底面就是上下位置.
[针对训练3] 如图所示,关于该几何体的正确说法有________.
①这是一个六面体;
②这是一个四棱台;
③这是一个四棱柱;
④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到;
⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.
[解析] ①正确,因为有六个面,属于六面体的范畴;②错误,因为侧棱的延长线不能交于一点,所以不正确;③正确,若把几何体放倒就会发现是一个四棱柱;④⑤都正确,如图所示.
[答案] ①③④⑤
1.下列几何体中,不属于多面体的是( )
A.立方体B.三棱柱C.长方体D.球
[解析] 利用多面体的定义:
由平面多边形围成的几何体,很容易能判定出来.
[答案] D
2.如图所示的几何体是( )
A.五棱锥B.五棱台
C.五棱柱D.五面体
[解析] 由图知,该几何体底面是五边形,且为柱体,所以是五棱柱.
[答案] C
3.下列几何体中棱柱有( )
A.5个B.4个
C.3个D.2个
[解析] 由棱柱的定义及几何特征可知,①③为棱柱.
[答案] D
4.对有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体,以下说法正确的是( )
A.棱柱B.棱锥
C.棱台D.一定不是棱柱、棱锥
[解析] 根据棱柱、棱锥、棱台的特征可知,一定不是棱柱、棱锥.
[答案] D
多面体表面距离最短问题
表面距离最短问题,一般方法是展成平面图形,利用两点间距离最短来解决.
【示例】 如图①所示,在侧棱长为2
的正棱锥V-ABC中(底面为正三角形,过顶点与底面垂直的直线过底面的中心),∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°,过A作截面△AEF,求截面△AEF周长的最小值.
[思路分析] 把正三棱锥的侧面展开成平面图形,当△AEF的各边在同一直线上时,其周长最小.
[解] 将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图②所示,线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值,
取AA1的中点D,则VD⊥AA1,∠AVD=60°,可求AD=3,则AA1=6.
[题后反思] 有关几何体的距离的最值问题有两类基本方法:
(1)函数思想:
设出变量,把所求距离写成关于变量的函数表达式,再利用函数方法求最值.
(2)转化思想:
通过表面展开,转化为平面问题变曲为直,利用几何性质求解.
[针对训练] 某城市中心广场主题建筑为一三棱锥,且所有边长均为10m,如图所示,其中E,F分别为AD,BC的中点.
(1)画出该几何体的表面展开图,并注明字母;
(2)为迎接国庆,城管部门拟对该建筑实施亮化工程,现预备从底边BC中点F处分别过AC,AB上某点向AD中点E处架设LED灯管,所用灯管长度最短为多少?
[解]
(1)该几何体的表面展开图如图所示
(2)由该几何体的展开图知,四边形ACBD为菱形,四边形ABCD为菱形.若使由F向E所架设灯管长度最短,可由其展开图中连接线段EF.这两条线段均为10,故所用灯管最短为20m.
课后作业
(二)
(时间45分钟)
学业水平合格练(时间20分钟)
1.下面的几何体中是棱柱的有( )
A.3个B.4个C.5个D.6个
[解析] 棱柱有三个特征:
(1)有两个面相互平行;
(2)其余各面是四边形;(3)侧棱相互平行.本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征,而①②③④⑤符合,故选C.
[答案] C
2.下面图形中,为棱锥的是( )
A.①③B.①③④C.①②④D.①②
[解析] 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②④是棱锥,③不是棱锥.故选C.
[答案] C
3.下列图形中,是棱台的是( )
[解析] 由棱台的定义知,A、D的侧棱延长线不交于一点,所以不是棱台;B中两个面不平行,不是棱台,只有C符合棱台的定义,故选C.
[答案] C
4.一个棱锥的各棱长都相等,那么这个棱锥一定不是( )
A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥
[解析] 由题意可知,每个侧面均为等边三角形,每个侧面的顶角均为60°,如果是六棱锥,因为6×60°=360°,所以顶点会在底面上,因此不是六棱锥.
[答案] D
5.下列图形中,不能折成三棱柱的是( )
[解析] C中,两个底面均在上面,因此不能折成三棱柱,其余均能折为三棱柱.
[答案] C
6.面数最少的棱柱为________棱柱,共有________个面围成.
[解析] 棱柱有相互平行的两个底面,其侧面至少有3个,故面数最少的棱柱为三棱柱,共有五个面围成.
[答案] 三 5
7.以三棱台的顶点为三棱锥的顶点,这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为________.
[解析] 如图所示,在三棱台ABC-A1B1C1中,分别连接A1B,A1C,BC1,则将三棱台分成3个三棱锥,即三棱锥A-A1BC,B1-A1BC1,C-A1BC1.
[答案] 3
8.下列说法正确的是________.
①一个棱锥至少有四个面;
②如果四棱锥的底面是正方形,那么这个四棱锥的四条侧棱都相等;
③五棱锥只有五条棱;
④用与底面平行的平面去截三棱锥,得到的截面三角形和底面三角形相似.
[解析] ①正确.②不正确.四棱锥的底面是正方形,它的侧棱可以相等,也可以不等.③不正确.五棱锥除了五条侧棱外,还有五条底边,故共10条棱.④正确.
[答案] ①④
9.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥;
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥;
(3)三棱柱.
[解]
(1)如图所示,三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).
(2)如图所示,三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).
(3)如图所示,三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).
10.如图所示,长方体的长、宽、高分别为5cm,4cm,3cm.一只蚂蚁从A点到C1点沿着表面爬行的最短路程是多少?
[解] 依题意,长方体ABCD-A1B1C1D1的表面可有如图所示的三种展开图.
展开后,A,C1两点间的距离分别为:
=
(cm),
=4
(cm),
=3
(cm),
三者比较得
cm为蚂蚁从A点沿表面爬行到C1点的最短路程.
应试能力等级练(时间25分钟)
11.能保证棱锥是正棱锥的一个条件是( )
A.底面为正多边形
B.各侧棱都相等
C.各侧面与底面都是全等的正三角形
D.各侧面都是等腰三角形
[解析] 正棱锥的底面是正多边形,且顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上.故底面为正多边形的棱锥不一定是正棱锥;各侧棱都相等(或各侧面都是等腰三角形)的棱锥不一定是正棱锥;各侧面与底面都是全等的正三角形的棱锥是正三棱锥.
[答案] C
12.下列说法正确的是( )
A.各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
B.四面体一定是三棱锥
C.棱锥的侧面是全等的等腰三角形,该棱锥一定是正棱锥
D.底面多边形既有外接圆又有内切圆,且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥
[解析] 对于A,只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起,所得多面体的每个面都是三角形,但这个多面体不是棱锥,错误;B显然正确;对于C,举反例,如图所示,在棱锥A-BCD中,AB=BD=AC=CD=3,BC=AD=2,满足侧面是全等的等腰三角形,但该棱锥不是正棱锥,错误;对于D,底面多边形既有内切圆又有外接圆,如果不同心,则不是正多边形,因此不是正棱锥,错误.
[答案] B
13.下列几种说法中正确的有( )
①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;
②棱台的侧面一定不会是平行四边形;
③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
A.0个B.1个C.2个D.3个
[解析] 必须用一个平行于底面的平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分才是棱台,故①不正确;棱台的侧面一定是梯形,故②正确;有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台,因为各条侧棱不一定相交于一点,故③不正确.
[答案] B
14.正五棱台的上、下底面面积分别为1cm2、49cm2,平行于底面的截面面积为25cm2,那么截面到上、下底面的距离的比值为________.
[解析] “还台于锥”,利用相似比求.
[答案] 2
15.给出两块正三角形纸片(如图所示),要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型,另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型,请设计一种剪拼方案,分别用虚线标示在图中,并作简要说明.
[解] 如图①所示,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个底面为正三角形的三棱锥.
如图②所示,正三角形三个角上剪出三个相同的四边形,其较长的一组邻边边长为三角形边长的
,有一组对角为直角,余下部分按虚线折成,可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底.
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