大学高数第五章课件PPT资料.ppt
- 文档编号:13081765
- 上传时间:2022-10-04
- 格式:PPT
- 页数:148
- 大小:5.79MB
大学高数第五章课件PPT资料.ppt
《大学高数第五章课件PPT资料.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《大学高数第五章课件PPT资料.ppt(148页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
,无关.,而与积分变量的记号无关.,13,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,1.几何意义,三、定积分的几何意义和物理意义,14,几何意义,各部分面积的代数和.,取负号.,它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条,直线x=a,x=b之间的,在x轴上方的面积取正号;
在x轴下方的面积,15,例,解,2.物理意义,t=b所经过的路程s.,作直线运动的物体从时刻t=a到时刻,定积分,表示以变速,16,定理1,定理2,或,记为,黎曼德国数学家(18261866),四、关于函数的可积性,可积.,且只有有限个间,可积.,当函数,的定积分存在时,可积.,黎曼可积,断点,充分条件,17,解,例用定义计算由抛物线,和x轴所围成的曲边梯形面积.,直线,小区间,的长度,取,18,对于任一确定的自然数,积分和,当n取不同值时,近似值精度不同.,n取得越大,近似程度越好.,19,讨论定积分的近似计算问题.,存在.,n等分,用分点,分成n个长度相等的小区间,长度,取,有,每个小区间,对任一确定的自然数,20,取,如取,矩形法,公式,矩形法的几何意义,21,对定积分的补充规定,说明,五、定积分的性质,在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小,22,证,(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况),性质1,23,证,性质2,性质1和性质2称为,线性性质.,24,补充,例,(定积分对于积分区间具有可加性),则,性质3,假设,的相对位置如何,上式总成立.,不论,25,证,性质4,性质5,如果在区间,则,26,解,令,于是,比较积分值,和,的大小.,例,27,性质5的推论1,证,如果在区间,则,于是,性质5,如果在区间,则,28,证,说明,性质5的推论2,性质5,如果在区间,则,可积性是显然的.,由推论1,29,证,(此性质可用于估计积分值的大致范围),性质6,分别是函数,最大值及最小值.,则,30,解,估计积分,例,31,解,估计积分,例,32,证,由闭区间上连续函数的介值定理:
性质7(定积分中值定理),如果函数,在闭区间,连续,则在积分区间,至少存在一点,使下式成立:
积分中值公式,至少存在一点,使,即,33,定理用途,无论从几何上,还是从物理上,都容易理解,平均值公式,求连续变量的平均值要用到.,如何去掉积分号来表示积分值.,34,解,例,定积分几何意义,求电动势,在一个周期上的,平均值,35,积分中值公式的几何解释,至少存在一点,在区间,使得以区间,为底边,以曲线,为曲边的曲边梯形的,面积,等于同一底边而高为,的一个矩形的面积.,36,例,证,由积分中值定理有,(a为常数),37,3.定积分的性质,(注意估值性质、积分中值定理的应用),4.典型问题,
(1)估计积分值;
(2)不计算定积分比较积分大小.,六、小结,1.定积分的实质:
特殊和式的极限.,2.定积分的思想和方法:
以直代曲、以匀代变.,四步曲:
分割、,取近似、,求和、,取极限.,思想,方法,38,思考题1,证,夹逼定理,即得,39,思考题2,解,由定积分几何意义可知,用定积分的几何意义计算,并求,所围成图形的,面积(如图).,图形,40,41,作业,习题5-1(233页),2.
(1)3.4.5.
(2)6.
(2)(4)8.
(1)(3)(5),42,第二节微积分基本公式,问题的提出,积分上限函数及其导数,牛顿莱布尼茨公式,小结思考题作业,(v(t)和s(t)的关系),fundamentalformulaofcalculus,第五章定积分,43,通过定积分的物理意义,例,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,(v(t)和s(t)的关系),设某物体作直线运动,已知速度,的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.,是时间间隔,一、问题的提出,其中,积分的有效、简便的方法.,找到一个计算定,44,如果能从v(t)求出s(t),这正是第四章已经解决了的微分运算的,?
定积分的计算有捷径可寻,进行一般性的讨论.,运算.,定积分,运算就可化为减法,启发,不定积分问题.,逆运算,45,定积分,积分上限函数,一定要分清函数的,如果上限x在区间a,b上任意变动,每一个取定的x值,则对于,定积分有一个对应值,所以它,在a,b上定义了一个函数,设f(x)在a,b中可积,则对任一点,与,自变量x,积分变量t.,二、积分上限函数及其导数,46,这个函数的几何意义,下面讨论这个函数的可导性.,是如图红色部分,的面积函数.,47,证,定理1(原函数存在定理),因为,从而,48,积分中值定理,定积分性质3,故,49,定理1指出:
积分联结为一个有机的整体,
(2)连续函数f(x)一定有原函数,就是f(x)的一个原函数.,
(1)积分运算和微分运算的关系,它把微分和,所以它是微积分学基本定理.,函数,微积分,50,推论,?
51,例,解,例,解,52,例,解,53,例,解,这是型不定式,分析,应用洛必达法则,54,例,解,求极限,2002年考研数学(三)5分,55,证,例,证明函数,为单调增加函数.,56,为单调增加函数.,故,57,证,令,为单调增加函数.,证明:
只有一个解.,例,所以原方程,只有一个解.,58,分析,求,必须先化掉,积分号,只要对所给积分方程两边求导即可.,解,对所给积分方程两边关于x求导,得,练习,需先求出,即,59,定理2(牛顿-莱布尼茨公式),证,牛顿(英)16421727,莱布尼茨(德)16461716,如果,是连续函数,的一个原函数,则,都是f(x)在a,b,因为,上的原函数,故有,C是待定常数,即有,三、牛顿莱布尼茨公式,60,牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz)公式,微积分基本公式,特别,61,微积分基本公式表明,求定积分问题转化为求原函数的问题.,一个连续函数在区间a,b上的定积分等于,它的任意一个原函数在区间a,b上的增量.,仍成立.,62,例,原式,解,面积,例,解,平面图形的面积.,所围成的,63,例,解,64,例,解,由图形可知,如被积函数是分段函数,应分段分成几个,再用牛莱公式.,积分,65,练习,解,66,例,解,如被积函数有绝对值,再用,去掉后,N-L公式.,应分区间将绝对值,67,例,已知函数,求积分上限的函数,解,分段函数,?
错!
68,已知函数,求积分上限的函数,正确做法,69,例,试证明:
积分中值定理中的,可在开区间,取得,即如果,则至少,存在一点,使得,证,令,由定理1(原函数存在定理)知:
可导,根据拉格朗日中值定理,至少存在一点,使得,即,70,例,解,此极限实为一积分和的极限.,定积分是代数和的推广,无穷小的无限项的代数和.,即它表示每项为,用定积分求极限时,需将
(1)式中的两个,任意量,用特殊的值处理.,71,练习,2002年考研数学
(二)填空3分,填空题,解,原式,72,练习,解,原式=,73,微积分基本公式,积分上限函数(变上限积分),积分上限函数的导数,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,四、小结,注意其推论.,74,思考题1,问:
对吗?
分析,其中的x对积分过程,是常数,而积分结果,是x的函数.,若被积函数是积分上限(或下限)的函数中的,注意,变量x及积分变量t的函数时,应注意x与t的区别.,对x求导时,绝不能用积分上限(或下限)的变量x替,换积分变量.,75,思考题1,问:
故,正确解答,因为,76,思考题2,已知两曲线,在点,处的切线相同,写出此切线方程,并求极限,解,故所求切线方程为,2002年考研数学
(一)7分,77,作业,习题5-2(240页),2.3.4.5.
(1)(3)6.
(2)(4)(6)(11)(12)7.
(2)(4)8.
(2)9.
(1)
(2)11.12.,78,第三节定积分的换元法和分部积分法,定积分的换元法,小结思考题作业,定积分的分部积分法,definiteintegralbyparts,definiteintegralbysubstitution,第五章定积分,79,上一节的牛莱公式将定积分的计算,的形式,而不定积分可用换元法,和分部积分法求积,这样定积分的计算问题,已经比较完满地解决了.,归结为求不定积分,如果将换元法和分部积分法写成定积分,常可使得计算更简单.,80,定理1,则有,定积分换元公式,假设函数,一、定积分的换元法,函数,满足条件:
(1),
(2),具有连续导数,且其值域,definiteintegralbysubstitution,81,证,故有,则,由于,N-L公式,N-L公式,则,所以存在原函数,原函数,82,由于积分限做了相应的,故积出来的原函数不必回代;
求定积分的方法有两种方法:
可用N-L公式;
从换元的观点.,
(1),换元公式仍成立;
(2),在定积分换元公式中,改变,(3),83,例,解,在用“凑”微分的方法时,不明显地写出,下限就不要变.,定积分的上、,新的变量t,84,或,例,解,原式,这是半径为a的四分之一的圆的面积.,85,例,解,原式,86,解,令,原式,练习,87,几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的例子.,换元积分,例,证,由于,由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换.,通常,作变换,还可以证明一些定积分等式,88,利用这一结果计算:
则,89,可得:
由定积分的几何意义(面积的代数和)也可得.,奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,且有,则,则,90,例,91,练习,奇,奇,偶,92,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 大学 第五 课件
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)