第十组数学建模第三次作业Word格式.doc
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模型三,设易拉罐整体厚度相同,利用LINGO软件对模型进行分析,得出当(为圆台的高,为圆台上盖的半径)时,设计最优;
模型四,假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍,同样利用软件LINGO对其进行分析,得出,时材料最省,即顶部为圆锥时材料最省,模型的结果在理论上成立,但与实际数据不符。
原因是厂商在制作易拉罐时,不仅要考虑材料最省,还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。
在第四问中,本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差,调整了的设计标准,在材料最省的基础上,加入了方便使用,物理结构更稳定等标准。
通过比较发现,前面四个模型中,模型二和模型四体现了硬度方面的要求。
进一步对模型二、四进行比较,发现模型四的结论更优。
为此,将模型四结论中的底部也设计为圆锥。
此时,材料最省。
但是,两端都设计为圆锥时,无法使用。
因此,将项部和底部设计为圆台,并考虑拉环长度和手指厚度(易于拉动拉环)时,得到圆台顶端和底部半径都为2.7。
此时,易拉罐形状和尺寸最优。
如果设计为旋转式拉环,时,可以得到优于现实中易拉罐的设计方案。
最后,本文总结了此次数学建模中有益的经验--在数学建模过程必须灵活应用从简到繁、由易到难不断扩展的研究方法,并且要充分发挥数学软件在优化设计中无可比拟的优势。
文中符号注解
R:
圆柱半径
r:
圆台半径
H:
圆柱高
h:
圆台高
S:
易拉罐表面积
V:
易拉罐体积
MIN:
最小化
为方便在LINGO软件中计算,定义:
X1:
在软件LINGO中的圆柱半径(R)
X2:
在软件LINGO中的圆柱高(H)
X3:
在软件LINGO中的圆台半径(r)
X4:
在软件LINGO中的圆台高(h)
第一问:
取一个饮料量为355毫升的易拉罐,例如355毫升的可口可乐饮料罐,测量验证模型所需要的数据,例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等。
表1:
数据测量结果
1(mm)
2(mm)
3(mm)
4(mm)
平均(mm)
D1(罐盖直径)
57.84
58.30
58.04
58.60
58.20
D2(罐身直径)
65.70
65.56
65.51
65.58
65.60
D3(罐底直径)
47.56
47.62
47.18
47.74
47.53
X1(罐盖厚度)
0.314
0.302
0.315
0.310
X2(罐身厚度)
0.108
0.110
0.114
0.111
X3(罐底厚度)
0.327
0.320
0.339
0.344
0.333
H1(罐盖高度)
10.30
10.98
10.42
9.96
H2(罐身高度)
101.98
102.06
102.36
101.92
102.08
H3(罐底高度)
5.62
5.30
5.12
4.86
5.23
L(罐盖斜边长度)
0.193
0.204
0.210
0.201
0.202
拉环长度
42.53
42.48
42.51
42.50
注:
数据由测量可口可乐355ml易拉罐所得。
本文测量以上数据是为了在以下建模中,提供数据和验证结果。
重要的是,拉环长度与易拉罐项部直径相差约1.53厘米左右,正好是指头厚度。
显然是使用方便设计的。
第二问:
设易拉罐是一个正圆柱体。
其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸,例如说,半径和高之比,等等。
一问题重述
一个饮料量为355毫升的易拉罐,找出易拉罐的最优设计。
假设它是一个正圆柱体,在不考虑易拉罐受外界影响下,求在正圆柱体的表面积最小时,底半径r与高度h的比值。
二问题分析
假设最优化条件为保证容积的情况下,使制作易拉罐所需材料最省(表面积为最小)。
在表面积为最小时,设圆柱形的体积V为常数,求底半径r与高度h的比值,如果能求出一定比例,就能找出模型最优设计。
在建立模型之前,必须考虑易拉罐的厚度,一种是在考虑节约材料前提下,另一种是在考虑材料受力的情况。
三模型假设、建立与求解
(一)易拉罐整体厚度相同时的最优设计模型
1、假设:
(1)易拉罐是正圆柱体
(2)易拉罐整体厚度均相同
2、确定变量和参数:
设易拉罐内半径为R,高为H,,厚度为a,体积为V,其中r和h是自变量,所用材料的面积S是因变量,而V是固定参数,则S和V分别为:
,
设
3、模型建立:
其中S是目标函数,是约束条件,V是已知的,即要在体积一定的条件下求S的最小值时,r和h的取值是多少
4、模型求解
因为按照实际测量数据可知,所以带,的项可以忽略,且,则有
求的最小值,令其导数为零,即,解得临界点为
,则
因为,则,所以当R:
H=1:
2时,是S最优解
5.模型结论
在假设易拉罐是正圆柱体且厚度均相同的条件下,当体积为固定参数,而表面积最小时,通过对面积求导,得到高是半径的两倍,r:
h=1:
2,此时,模型最优。
(二)易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同时的最优设计模型
1、假设:
(2)易拉罐顶盖、底盖厚度为3a,其它部分厚度为a
2、确定变量和参数:
设饮料内半径为R,高为H,体积为V,易拉罐顶盖、
底盖厚度为a,其它部分厚度为b。
其中r和h是自变量,所用材料的体积S
是因变量,而a,b,c和V是固定参数。
则S和V分别为:
,
设
3、模型建立:
其中S是目标函数,是约束条件,厚度比例与V是已知的,即要在体积V一定的条件下求r和h的取值是多少时体积S最小
4、模型求解
因为按照实际测量数据可知,所以带,的项可以忽略,且,则
因为,则,因此当H=6R时,S为最优解
观察模型
(一)与模型
(二),可见当厚度比例不同时,半径与高的比不同,似乎有一定的联系,因此我们假设顶与底盖厚度为ab,壁的厚度为a,其中b为比例系数,则
因为,则,因此当R:
2b时,S为最优解
在假设易拉罐是正圆柱体,且顶盖、底部的厚度是罐身的三倍的条件下,当体积为固定参数,而表面积最小时,通过对表面积求导,得到半径与高的比是一比六,R:
6,此时,观察模型
(一)与模型
(二),可见当厚度比例不同时,半径与高的比不同,似乎有一定的联系,因此本题假设顶与底盖厚度为ab,壁的厚度为a,其中b为比例系数,则R:
2b。
四、模型评价
在不考虑厚度的情况下,考虑节约材料前提下得到,底半径r是高度h的一半时,圆柱的表面积最小。
考虑易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同的情况下,考虑了材料的厚度,因此,建立顶端是侧壁的三倍厚度(因为此比例有利于罐身受力,便于开盖),高度h是底半径r的6倍时,圆柱的表面积最小。
第一二种模型相较之下,第二种模型更费材料,第一种模型设计更优。
所以,在不受力的情况下,假设易拉罐是一个正圆柱体,当底半径r是高度h的一半时,模型最优。
不过,本文通过实际数据发现,厂商制作易拉罐时,不单单是考虑材料最省,可能还考虑到开盖时所受到的压力,外形美观等因素。
第三问:
设易拉罐的中心纵断面如下图所示,即上面部分是一个正圆台,下面部分是一个正圆柱体。
一、问题描述
通常,在现实生活中,本文所见地易拉罐都不是单纯的正圆柱体,一般都是混合的三维图形。
由于实际生活中,易拉罐是受到外力的影响(如开盖时的拉力,堆放时的压力等等),因此,本文依照生活中的易拉罐,设易拉罐的中心纵断面如图1所示,即上面部分是一个正圆台,下面部分是一个正圆柱体。
通过计算和测量,在理论的基础上,建立易拉罐最优设计的模型。
图1
二、问题分析
本文假设最优化条件为保证容积的情况下,使制作易拉罐所需材料最省(表面积为最小)。
由于易拉罐形状不是单纯的正圆柱体,所以本文建立模型时,先假设易拉罐上部分是一个正圆台,下部分是一个正圆柱体。
然后,考虑易拉罐的厚度,在厚度一致时,利用lingo软件,计算出模型的最优解;
通过本文观察发现易拉罐顶盖的厚度是罐身的三倍,所以,假设另一种模型当易拉罐顶盖、底盖厚度为a,其余部分为b,且a:
b=3:
1,体积V=355ml时,同样利用lingo软件,计算出模型的最优解。
(一)第三种易拉罐形状和尺寸的最优设计模型
(1)易拉罐上部分是一个正圆台,下部分是一个正圆柱体
(2)易拉罐整体厚度均相同
设易拉罐顶盖、底部半径为R,正圆柱体高为H,正圆台高为h,体积为V,其中R,r,H,h是自变量,所用材料的体积S是因变量,而V是固定参数,则S和V分别为:
其中S是目标函数,是约束条件,V是已知的,即要在体积一定的条件下求表面积最小值时,R,r,H,h的取值各是多少
利用LINGO求解,设R=x1,r=x3,H=x2,h=x4,则
利用LINGO计算结果(见附表一),得
H+h=2R=4r时,S为最优解
在易拉罐上部分是一个正圆台,下部分是一个正圆柱体,且厚度均相同的前提下,当体积为固体参数,表面积最小时,利用软件(LINGO)计算,得到圆台
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- 第十 数学 建模 第三次 作业