运筹学(熊伟)Ch2对偶理论PPT课件下载推荐.ppt
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这一决策问题可用下列线性规划数学模型来表示。
2.1线性规划的对偶模型DualmodelofLP,2022年10月6日星期四,设y1,y2,y3及y4分别表示四种资源的单位增值价格(售价成本增值),总增值最低可用,minw=500y1+450y2+300y3+550y4,表示。
企业生产一件产品A用了四种资源的数量分别是9,5,8和7个单位,利润是100,企业出售这些数量的资源所得的利润不能少于100,即,同理,对产品B和C有,价格不可能小于零,即有yi0,i=1,4.从而企业的资源价格模型为,2.1线性规划的对偶模型DualmodelofLP,2022年10月6日星期四,这是一个线性规划数学模型,称这一线性规划模型是前面生产计划模型的对偶线性规划模型,这一问题称为对偶问题。
生产计划的线性规划问题称为原始线性规划问题或原问题。
2.1线性规划的对偶模型DualmodelofLP,2022年10月6日星期四,上面两种形式的线性规划称为规范形式。
原问题和对偶问题是互为对偶的两个线性规划问题,已知一个问题就可写出另一个问题。
规范形式(CanonicalForm)的定义:
目标函数求极大值时,所有约束条件为号,变量非负;
目标函数求极小值时,所有约束条件为号,变量非负。
规范形式的线性规划的对偶问题亦是规范形式。
以上是依据经济问题推导出对偶问题,还可以用代数方法推导出对偶问题。
2.1线性规划的对偶模型DualmodelofLP,2022年10月6日星期四,原始问题Maxz=CTXs.t.AXbX0,对偶问题Minw=bTys.t.ATyCy0,max,b,A,CT,C,AT,bT,max,m,n,m,n,对偶的定义,2022年10月6日星期四,规范对偶问题,2022年10月6日星期四,表2-2,表23,2.1线性规划的对偶模型DualmodelofLP,2022年10月6日星期四,设线性规划模型是式(2.1)的规范形式由表2-3知,当检验数,时得到最优解,是的检验数,和,令,由得,在两边有乘b,则有,又因Y0无上界,从而只存在最小值,得到另一个线性规划问题,2.1线性规划的对偶模型DualmodelofLP,2022年10月6日星期四,即是原线性规划问题式(2.1)的对偶线性规划问题,反之,式(2.3)的对偶问题是式(2.1)原问题和对偶问题是互为对偶的两个线性规划问题,规范形式的线性规划的对偶仍然是规范形式,参数矩阵的对应关系参看表2-4因此已知一个规范形式问题就可写出另一个对偶问题,2.1线性规划的对偶模型DualmodelofLP,2022年10月6日星期四,【例2.2】写出下列线性规划的对偶问题,【解】这是一个规范形式的线性规划,设Y=(y1,y2),则有,2.1线性规划的对偶模型DualmodelofLP,2022年10月6日星期四,从而对偶问题为,对偶变量yi也可写成xi的形式。
2.1线性规划的对偶模型DualmodelofLP,2022年10月6日星期四,【例2.3】写出下列线性规划的对偶问题,【解】这是一个规范形式的线性规划,它的对偶问题求最小值,有三个变量且非负,有两个“”约束,即,2.1线性规划的对偶模型DualmodelofLP,2022年10月6日星期四,若给出的线性规划不是规范形式,可以先化成规范形式再写对偶问题。
也可直接按表2-1中的对应关系写出非规范形式的对偶问题。
将上述原问题与对偶问题的对应关系列于表2-1,例如,原问题是求最小值,按表2-1有下列关系:
1.第i个约束是“”约束时,第i个对偶变量yj0,2第i个约束是“=”约束时,第i个对偶变量yi无约束;
3当xj0时,第j个对偶约束为“”约束,当xj无约束时,第j个对偶约束为“=”约束。
2.1线性规划的对偶模型DualmodelofLP,2022年10月6日星期四,表2-4,2.1线性规划的对偶模型DualmodelofLP,2022年10月6日星期四,当原问题为求极小值时,对偶问题为求极大值。
原始问题中目标函数的系数变成对偶问题中约束条件的右端;
原始问题中约束条件的右端变成对偶问题中目标函数的系数。
原始问题约束条件系数矩阵的转置对应对偶问题中约束条件的系数矩阵。
原始问题的约束条件个数决定对偶问题变量的个数;
原始问题变量个数,决定对偶问题的约束个数。
原始问题的约束方程的匹配形式决定对偶问题变量的符号;
原始问题决策变量的符号决定所对应对偶问题的约束方程的匹配形式。
2022年10月6日星期四,【例2.4】写出下列线性规划的对偶问题,【解】目标函数求最小值,应将表24的右边看作原问题,左边是对偶问题,原问题有3个约束4个变量,则对偶问题有3个变量4个约束,对照表21的对应关系,对偶问题为:
2.1线性规划的对偶模型DualmodelofLP,=,y10,,y20,,y3无约束,2022年10月6日星期四,minz=2x1+4x2-x3s.t.3x1-x2+2x36-x1+2x2-3x3122x1+x2+2x38x1+3x2-x315,maxw=6y1+12y2+8y3+15y4s.t.3y1-y2+2y3+y42-y1+2y2+y3+3y442y1-3y2+2y3-y4-1y10,y2,y30,y40,=,unr,=,x10,x20,x3:
unr,练习,2022年10月6日星期四,1.本节以实例引出对偶问题;
2.介绍了如何写规范与非规范问题的对偶问题;
作业:
教材P61T1、2,2.1线性规划的对偶模型DualmodelofLP,下一节:
对偶性质,2.2对偶性质Dualproperty,2022年10月6日星期四,对偶问题是(记为DP):
这里A是mn矩阵X是n1列向量,Y是1m行向量。
假设Xs与Ys分别是(LP)与(DP)的松驰变量。
【性质1】对称性对偶问题的对偶是原问题。
【证】设原问题是,设原问题是(记为LP):
2.2对偶性质Dualproperty,2.2.1对偶性质,2022年10月6日星期四,它与下列线性规划问题是等价的:
再写出它的对偶问题。
它与下列线性规划问题是等价的,即是原问题。
由表2-4知,它的对偶问题是,2.2对偶性质Dualproperty,2022年10月6日星期四,【证】因为X、Y是可行解,故有AXb,X0及YAC,Y0,将不等式AXb,【性质2】弱对偶性设X、Y分别为LP(max)与DP(min)的可行解,则,两边左乘Y,得Y0AXY0b,再将不等式YAC两边右乘X,得CXYAX,故CXYAXYb,这一性质说明了两个线性规划互为对偶时,求最大值的线性规划的任意目标值都不会大于求最小值的线性规划的任一目标值,不能理解为原问题的目标值不超过对偶问题的目标值。
2.2对偶性质Dualproperty,2022年10月6日星期四,由这个性质可得到下面几个结论:
(1)(LP)的任一可行解的目标值是(DP)的最优值下界;
(DP)的任一可行解的目标是(LP)的最优值的上界;
(2)在互为对偶的两个问题中,若一个问题可行且具有无界解,则另一个问题无可行解;
(3)若原问题可行且另一个问题不可行,则原问题具有无界解。
注意上述结论
(2)及(3)的条件不能少。
一个问题无可行解时,另一个问题可能有可行解(此时具有无界解)也可能无可行解。
2.2对偶性质Dualproperty,2022年10月6日星期四,例如:
无可行解,而对偶问题,有可行解,由结论(3)知必有无界解。
2.2对偶性质Dualproperty,2022年10月6日星期四,【性质3】最优准则定理设X0与Y0分别是(LP)与(DP)的可行解,则当X0、Y0是(LP)与(DP)的最优解当且仅当CX0=Y0b.,【证】若X0、Y0为最优解,B为(LP)的最优基,则有Y0=CBB1,并且,当CX0=Y0b时,由性质1,对任意可行解有,即Y0b是(DP)中任一可行解的目标值的下界,CX0是(LP)中任一可行解的目标值的上界,从而X0、Y0是最优解。
2.2对偶性质Dualproperty,2022年10月6日星期四,【性质4】若互为对偶的两个问题其中一个有最优解,则另一个也有最优解,且最优值相同。
【证】设(LP)有最优解X0,那么对于最优基B必有C-CBB-1A0与CBB-10,即有YAC与Y0,这里Y=CBB-1,从而Y是可行解,对目标函数有,由性质3知Y是最优解。
由性质4还可推出另一结论:
若(LP)与(DP)都有可行解,则两者都有最优解,若一个问题无最优解,则另一问题也无最优解。
2.2对偶性质Dualproperty,2022年10月6日星期四,【性质5】互补松弛定理设X0、Y0分别为(LP)与(DP)的可行解,XS和YS是它的松弛变量的可行解,则X0和Y0是最优解当且仅当,YSX0=0和Y0XS=0,【证】设X和Y是最优解,由性质3,CX0=Y0b,由于XS和YS是松弛变量,则有,AX0XSbY0AYS=C,将第一式左乘Y0,第二式右乘X0得,Y0AX0Y0XSY0bY0AX0YSX0=CX0,2.2对偶性质Dualproperty,2022年10月6日星期四,显然有,Y0XS=YSX0,又因为Y、Xs、Ys、X0,所以有,YXS=0和YSX=0,成立。
反之,当YXS=0和YSX=0时,有,YAXYbYAX=CX,显然有Y0b=CX,由性质3知Y与X是(LP)与(DP)的最优解。
证毕。
2.2对偶性质Dualproperty,2022年10月6日星期四,性质5告诉我们已知一个问题的最优解时求另一个问题的最优解的方法,即已知Y*求X*或已知X*求Y*。
Y*XS=0和YSX*=0,两式称为互补松弛条件。
将互补松弛条件写成下式,由于变量都非负,要使求和式等于零,则必定每一分量为零,因而有下列关系:
2.2对偶性质Dualproperty,2022年10月6日星期四,
(1)当yi*0时,,反之当时yi*=0;
利用上述关系,建立对偶问题(或原问题)的约束线性方程组,方程组的解即为最优解。
性质5的结论和证明都是假定(P)与(D)为对称形式,事实上对于非对称形式,性质5的结论仍然有效。
2.2对偶性质Dualproperty,2022年10月6日星期四,互补松弛关系,maxz=CTXs.t.AX+u=bX,u0,minw=bTys.t.ATy-v=Cy,v0,maxz=CTXs.
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- 运筹学 熊伟 Ch2 对偶 理论