蹦床安全性问题数学建模Word下载.doc
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将模型适当简化为弹簧——振子系统,将弹性网面视为一质点。
考虑人体的重力,下落的高度,弹簧的刚度及承受力,蹦床与地面间的距离等,通过受力分析,建立该系统竖直方向的运动模型,并得到相应的运动方程。
并分析系统在何种条件下可以让人员安全运动。
完成对蹦床安全性能的研究。
二、基本假设
假设1质点与弹簧,弹簧与支架在任何强度下连接点都不脱离。
假设2运动过程中空气密度不变,人受空气阻力的截面积不变。
假设3系统不受风、温度、支架强度等外界干扰。
假设4所有弹簧条件完全一致且都为圆柱螺旋弹簧,
假设5设地面为参考面,
假设6人每次接触和离开弹性面时,弹性面都处于静止状态,
假设7不计弹簧的质量,不计人本身的高度,
假设8人每次接触弹性面时给系统补充的能量都一样,
三、符号定义
人体的质量
蹦床距地面间的距离
人体的速度
弹簧的自然长度(蹦床的半径)
弹簧的刚度
人体的加速度
人距参考面的最大高度
弹性网面的质量
重力加速度
弹簧数目
弹簧的阻尼系数
空气的摩擦系数
人和弹性面的平衡位置距参考面的距离
弹簧阻尼力做的功
人每次接触弹性面时给系统补充的能量
四、模型的建立与求解与分析
蹦床质点
人
弹簧
初始状态
平衡位置处:
每次人下降接触到弹性网面,人便会给系统补充能量,假设全部转化为弹簧储存的能量,这样人的速度就不会突变。
模型一:
第一次下降过程,(人走上弹性网面,并给系统能量):
此时系统的运动弹簧振子系统:
下面求振幅和相位:
下降到最低点位置处,能量守恒:
求得为:
将和代入可求出;
并且
第一次上升过程,与下降时对称,在水平面处分离,同为:
分离时人的速度满足(动能定理):
求得:
由动能定理,在空气中上升到最高点:
第二次下降的过程中:
运动方程为:
与弹性面接触下降到最低点:
不变
运动方程为:
第二次上升到水平面:
人体位移h
时间t
理想状态下人体位移h与时间t的函数图象
依次往复运动知:
最低点距离为:
令为常量
……
由此推知,每次弹性面拉长距离为:
人体最低点的位置:
人脱离蹦床时
()
人蹦起高度为:
接触次数/n
mm
由图知在此理想模型中人跳起高度越来越高,蹦床越来越长,不符合实际情况,故引入模型二。
模型二:
在实际情况中,弹簧阻尼也不可忽略(空气阻力远小于弹簧阻尼力,因此忽略)。
第一次下降到最低点的过程:
弹簧阻尼力为:
阻尼力做的功大小为:
又有:
代入式中可得:
利用梯形图法转化为:
最低点位置满足动能定理:
第一次上升至水平面的过程中,阻尼力做的功的大小为:
在此过程中满足(动能定理):
求出第一次离开蹦床速度
人和弹性面于水平面分离后在空中上升,上升过程中只受重力作用:
第二次下降至弹性面的过程中,下降时的运动方程为:
与弹性网面接触时:
即:
从接触弹性网面到下降至最低点:
阻尼力做的功为:
则有
第二次上升至水平面的过程中,阻尼力做的功的大小为:
利用上面系统运动分析..令
可求出:
每次蹦床下落距离
每次离开蹦床时动能为:
①
②
分析①②可知开始时,随着的增大,人离开水平面动能增大。
但相邻两次动能变化逐渐减小,当动能变化为0时,恒定。
人跳起高度将不再变化。
恒定一个高度。
以此推之:
当人给系统能量与阻力(阻尼)做功相等时系统平衡,恒定:
周期为:
当系统平衡时,有:
则可求出:
则有人体下降的最大距离为:
所以蹦床距地面的距离为:
到达水平面人体的速度为:
在空气中上升的最大距离为:
因此,人体下落距离随着动能增大而增大,但随着逐渐减小,知逐渐减小。
实际状态下人体位移h与时间t的函数图象
人体最低点X
最大高度H
显然,模型二更符合实际情况,不仅结合了理想状态的人体运动,也结合了实际情况中不可避免有阻尼的情况,并且,为了人身安全蹦床安装高度必须满足
五、模型评价
1、优点:
(1)、对蹦床系统进行了合理的简化建立了恰当的模型。
(2)、模型遵循由易到难的原则,建立两个模型,逐步加上条件。
2、缺点:
(1)、忽略了空气阻力对人运动的影响。
(2)、忽略了人本身运动对系统的作用。
六、参考文献
1、《大学物理》中国铁道出版社第一章
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