专题02平面向量-直击2020新高考数学多选题Word文档下载推荐.doc
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λa=(λx1,λy1)
向量的数量积运算
a·
b=|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角)规定0·
a=0
数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积
b=x1x2+y1y2
2.两个定理
(1)平面向量基本定理
①定理:
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
②基底:
把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
(2)向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa.
3.向量的平行与垂直
a,b为非零向量,
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
a∥b
有唯一实数λ使得b=λa(a≠0)
x1y2-x2y1=0
a⊥b
b=0
x1x2+y1y2=0
二、跟踪检测
1.判断下列命题中不正确的是( )
①若向量a与b同向,且|a|>
|b|,则a>
b;
②若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;
③对于任意|a|=|b|,且a与b的方向相同,则a=b;
④向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反.
【答案】A,B,D.
【解析】对于A,因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定,即大小与方向,所以两个向量不能比较大小,故A不正确;
对于B,由|a|=|b|只能判断两向量长度相等,并不能判断方向,故B不正确;
对于C,因为|a|=|b|,且a与b同向.由两向量相等的条件可得a=b,C正确;
对于D,因为向量a与向量b若有一个是零向量,则其方向不确定故D不正确.故选A,B,D.
2.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式中正确的是( )
A.++=0B.++=0
C.++=D.++=
【答案】A,B,C
【解析】++=+=0,++=++=0,
++=+=+=,++=+0==≠.故选A,B,C.
3.下面给出的四个选项,运算结果等于0的有()
A.++B.+++C.-+-D.++-.
【答案】A,C,D
【解析】对于A,++=+=0;
对于B,+++=(+)+(+)=+=-=;
对于C,-+-=+=0;
对于D,++-=+=0.故填A,C,D.
4.已知m,n是实数,a,b是向量,则下列命题中正确的为( )
A.m(a-b)=ma-mbB.(m-n)a=ma-naC.若ma=mb,则a=bD.若ma=na,则m=n.
【答案】B
【解析】对于A和B属于数乘对向量与实数的分配律,正确;
对于C,若m=0,则不能推出a=b,错误;
对于D,若a=0,则m,n没有关系,错误.故选A,B.
5.如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么选项中正确的是( )
A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量;
B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个;
C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2);
D.若存在实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0.
【答案】A,D
【解析】由平面向量基本定理可知,A,D是正确的.
对于B,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.
对于C,当两向量的系数均为零,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个,故选A,D
6.下列选项中正确的是
A.相等向量的坐标相同;
B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标;
C.一个坐标对应于唯一的一个向量;
D.平面上一个点与以原点为始点,该点为终点的向量一一对应.
【答案】A,B,D
【解析】由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故③错误.
7.下面给出的选项中正确的是( )
A.0·
a=0;
B.a2=|a|2;
C.|a·
b|≤a·
D.(a·
b)2=a2·
b2.
【答案】A,B
【解析】A,B正确,对于C,应为|a·
b|≤|a||b|,C错误,D错误,(a·
b)2=(|a||b|·
cosθ)2=a2·
b2cos2θ≠a2·
b2,选C.
8.设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列选项,其中正确的有()
A.a·
c-b·
c=(a-b)·
c;
B.(b·
c)·
a-(c·
a)·
b不与c垂直;
C.|a|-|b|<
|a-b|;
D.(3a+2b)·
(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.
【解析】根据向量积的分配律知A正确;
因为[(b·
b]·
c=(b·
(a·
c)-(c·
(b·
c)=0,∴(b·
b与c垂直,B错误;
因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边,∴|a|-|b|<
|a-b|成立,C正确;
D正确.故正确命题的序号是A,C,D.
9.给出下列四个命题,其中正确的选项有()
A.非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角是30°
B.若(+)·
(-)=0,则△ABC为等腰三角形
C.若单位向量a,b的夹角为120°
,则当|2a+xb|(x∈R)取最小值时x=1
D.若=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m),∠ABC为锐角,则实数m的取值范围是m>-.
【解析】A中,令=a,=b.以,为邻边作平行四边形OACB.∵|a|=|b|=|a-b|,
∴四边形OACB为菱形,∠AOB=60°
,∠AOC=30°
,即a与a+b的夹角是30°
,故A正确.
B中,∵(+)·
(-)=0,∴||2=||2,故△ABC为等腰三角形.故B正确.
C中,∵(2a+xb)2=4a2+4xa·
b+x2b2=4+4xcos120°
+x2=x2-2x+4=(x-1)2+3,故|2a+xb|取最小值时x=1.故③正确.
D中,∵=-=(3,-4)-(6,-3)=(-3,-1),=-=(5-m,-3-m)-(6,-3)=(-1-m,-m),又∠ABC为锐角,∴·
>0,即3+3m+m>0,∴m>-.又当与同向共线时,m=,故当∠ABC为锐角时,m的取值范围是m>-且m≠.故D不正确.故选A,B,C.
10.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,如图,则下列等式不成立的是( )
A.||2=·
B.||2=·
C.||2=·
D.||2=
【解析】·
=·
(+)=2+·
=2=||2,A正确;
同理||2=·
成立,B正确;
又=
==||2,D正确.故选A,B,D.
11.给出下列四个选项,正确的有()
A.已知,则;
B.A、B、M、N为空间四点,若不构成空间的一个基底,则A、B、M、N共面;
C.已知,则与任何向量不构成空间的一个基底;
D.已知是空间的一个基底,则基向量可以与向量构成空间另一个基底.
【解析】对于A,若,则=0,故=++﹣=0+=,故A正确;
对于B,若不构成空间的一个基底,则这3个向量共面,故A、B、M、N共面,故B正确;
对于C,当时,若与这3个向量不共面,则构成空间的一个基底,故C不正确;
对于D,若是空间的一个基底,设,则与这3个向量不共面,故构成空间的另一个基底,故D正确.故选A,B,D.
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