专题04 解三角形-直击2020新高考数学多选题Word文档下载推荐.doc
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cosB=;
cosC= .
(3)在△ABC中,c2=a2+b2⇔C为直角;
c2>
a2+b2⇔C为钝角;
c2<
a2+b2⇔C为锐角.
知识点三 三角形面积公式
(1)S=aha=bhb=chc;
(2)S=absinC=bcsinA=casinB.
二.跟踪训练
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列结论不正确的是( )
A.a2=b2+c2﹣2bccosAB.asinB=bsinA C.a=bcosC+ccosBD.acosB+bcosA=sinC
【答案】A,B,C
【解析】由在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,知:
在A中,由余弦定理得:
a2=b2+c2﹣2bccosA,故A正确;
在B中,由正弦定理得:
,∴asinB=bsinA,故B正确;
在C中,∵a=bcosC+ccosB,∴由余弦定理得:
a=b×
+c×
,
整理,得2a2=2a2,故C正确;
在D中,由余弦定理得acosB+bcosA=a×
+b×
=+=c≠sinC,
故D错误.故选A,B,C.
2.对于△ABC,有如下命题,其中正确的有()
A.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形;
B.若sinA=cosB,则△ABC为直角三角形;
C.若sin2A+sin2B+cos2C<
1,则△ABC为钝角三角形.
D.若AB=,AC=1,B=30°
,则△ABC的面积为或
【答案】C,D
【解析】对于A:
sin2A=sin2B,∴A=B⇒△ABC是等腰三角形,或2A+2B=π⇒A+B=,即△ABC是直角三角形.故A不对;
对于B:
由sinA=cosB,∴A-B=或A+B=.∴△ABC不一定是直角三角形;
对于C:
sin2A+sin2B<
1-cos2C=sin2C,∴a2+b2<
c2.∴△ABC为钝角三角形,C正确;
对于D:
如图所示,由正弦定理,得
sinC==.而c>
b,∴C=60°
或C=120°
.∴A=90°
或A=30°
.
∴S△ABC=bcsinA=或.D正确
3.下列命题中,正确的是()
A.在△ABC中,
B.在锐角△ABC中,不等式恒成立
C.在△ABC中,若,则△ABC必是等腰直角三角形
D.在△ABC中,若,则△ABC必是等边三角形
【答案】A,B,D
【解析】在△ABC中,由,利用正弦定理可得:
∴,,
∴或,因此△ABC是等腰三角形或直角三角形,因此是假命题,C错误.
4.以下关于正弦定理或其变形正确的有( )
A.在△ABC中,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC
B.在△ABC中,若sin2A=sin2B,则a=b
C.在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B,若A>B,则sinA>sinB都成立
D.在△ABC中,=
【答案】A,C,D
【解析】由正弦定理易知A,C,D正确.对于B,由sin2A=sin2B,可得A=B,或2A+2B=π,即A=B,或A+B=,∴a=b,或a2+b2=c2,故B错误.
5.在△ABC中,下列结论错误的有()
A.a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形B.a2=b2+c2+,则∠A为45°
;
C.a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形D.若∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,则a:
b:
c=1:
3.
【答案】B,C,D
【解析】对于①,若a2>b2+c2,则b2+c2﹣a2<0,即有cosA=<0,即A为钝角,故①对;
对于②,若a2=b2+c2+bc,即b2+c2﹣a2=﹣bc,则cosA==﹣,即有A=135°
,故②错;
对于③,若a2+b2>c2,则a2+b2﹣c2>0,即cosC>0,即C为锐角,不能说明A,B也是锐角,故③错;
对于④,若A:
B:
C=1:
3,则A=30°
,B=60°
,C=90°
,故a:
c=sin30°
:
sin60°
sin90°
=1:
2.故④错.故选A.
6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(k为非零实数),则下列结论错误的是()
A.当k=5时,△ABC是直角三角形B.当k=3时,△ABC是锐角三角形
C.当k=2时,△ABC是钝角三角形D.当k=1时,△ABC是钝角三角形
【解析】当k=5时,,根据正弦定理不妨设a=5m,b=3m,c=4m,显然△ABC是直角三角形;
当k=3时,,根据正弦定理不妨设a=3m,b=3m,c=4m,
显然△ABC是等腰三角形,,说明∠C为锐角,故△ABC是锐角三角形;
当k=2时,,根据正弦定理不妨设a=2m,b=3m,c=4m,
,说明∠C为钝角,故△ABC是钝角三角形;
当k=1时,,根据正弦定理不妨设a=m,b=3m,c=4m,
此时a+b=c,不等构成三角形,故命题错误,故选A,B,C.
7.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是( )
A.b=7,c=3,C=30°
B.b=5,c=4,B=45°
C.a=6,b=3,B=60°
D.a=20,b=30,A=30°
【解析】B,C
【解析】对于A,∵b=7,c=3,C=30°
∴由正弦定理可得:
sinB===>1,无解;
对于B,b=5,c=4,B=45°
∴由正弦定理可得sinC===<1,且c<b,有一解;
对于C,∵a=6,b=3,B=60°
sinA===1,A=90°
,此时C=30°
,有一解;
对于D,∵a=20,b=30,A=30°
sinB===<1,且b>a,
∴B有两个可能值,本选项符合题意.故选B,C.
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