19全国高中数学竞赛专题三角函数Word格式.docx
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sinα=cosα;
平方关系:
sin2α+cos2α=1,tan2α+1=sec2α,cot2α+1=csc2α.
定理2诱导公式(Ⅰ)sin(α+π)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα;
(Ⅱ)sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα,cot(-α)=cotα;
(Ⅲ)sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan=(π-α)=-tanα,cot(π-α)=-cotα;
(Ⅳ)sin=cosα,cos=sinα,tan=cotα(奇变偶不变,符号看象限)。
定理3正弦函数的性质,根据图象可得y=sinx(x∈R)的性质如下。
单调区间:
在区间上为增函数,在区间上为减函数,
最小正周期:
2.奇偶性:
奇函数
有界性:
当且仅当x=2kx+时,y取最大值1,当且仅当x=3k-时,y取最小值-1,值域为[-1,1]。
对称性:
直线x=k+均为其对称轴,点(k,0)均为其对称中心。
这里k∈Z.
定理4余弦函数的性质,根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。
在区间[2kπ,2kπ+π]上单调递减,在区间[2kπ-π,2kπ]上单调递增。
2π。
奇偶性:
偶函数。
当且仅当x=2kπ时,y取最大值1;
当且仅当x=2kπ-π时,y取最小值-1。
值域为[-1,1]。
直线x=kπ均为其对称轴,点均为其对称中心。
定理5正切函数的性质:
由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-,kπ+)上为增函数,
最小正周期为π,值域为(-∞,+∞),点(kπ,0),(kπ+,0)均为其对称中心。
定理6两角和与差的基本关系式:
cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,
sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ;
tan(αβ)=
两角和与差的变式:
三角和的正切公式:
定理7和差化积与积化和差公式:
sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,
cosα+cosβ=2coscos,cosα-cosβ=-2sinsin,
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
定理8二倍角公式:
sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,tan2α=
三倍角公式及变式:
,
,
定理9半角公式:
sin=,cos=,
tan==
定理10万能公式:
,
定理11辅助角公式:
如果a,b是实数且a2+b20,则取始边在x轴正半轴,终边经过点(a,b)的一个角为β,
则sinβ=,cosβ=,对任意的角α.asinα+bcosα=sin(α+β).
定理12正弦定理:
在任意△ABC中有,
其中a,b,c分别是角A,B,C的对边,R为△ABC外接圆半径。
定理13余弦定理:
在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA,其中a,b,c分别是角A,B,C的对边。
定理14射影定理:
在任意△ABC中有,,
定理15欧拉定理:
在任意△ABC中,,其中O,I分别为△ABC的外心和内心。
定理16面积公式:
在任意△ABC中,外接圆半径为R,内切圆半径为r,半周长
则
定理17与△ABC三个内角有关的公式:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
定理18图象之间的关系:
y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象;
经左右平移得y=sin(x+)的图象(相位变换);
纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=sin()的图象(周期变换);
横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);
y=Asin(x+)(>
0)的图象(周期变换);
y=Asin(x+)(,>
0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。
定义4函数y=sinx的反函数叫反正弦函数,记作y=arcsinx(x∈[-1,1]),
函数y=cosx(x∈[0,π])的反函数叫反余弦函数,记作y=arccosx(x∈[-1,1]).
函数y=tanx的反函数叫反正切函数。
记作y=arctanx(x∈[-∞,+∞]).
函数y=cotx(x∈[0,π])的反函数称为反余切函数,记作y=arccotx(x∈[-∞,+∞]).
定理19三角方程的解集,如果a∈(-1,1),方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina,n∈Z}。
方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa,k∈Z}.
如果a∈R,方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana,k∈Z}。
恒等式:
arcsina+arccosa=;
arctana+arccota=.
定理20若干有用的不等式:
(1)若,则sinx<
x<
tanx.
(2)函数在上为减函数;
函数在上为增函数。
(3)嵌入不等式:
设A+B+C=π,则对任意的x,y,z∈R,
有
等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC.
二、方法与例题
1.结合图象解题。
例1求方程sinx=lg|x|的解的个数。
【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象,由图象可知两者有6个交点,故方程有6个解。
2.三角函数性质的应用。
例2设x∈(0,π),试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。
【解】若,则-1<
cosx≤0,所以cos,
所以sin(cosx)≤0,又0<
sinx≤1,所以cos(sinx)>
0,所以cos(sinx)>
sin(cosx).
若,则因为sinx+cosx=sin(x+)≤<
,所以0<
sinx<
-cosx<
所以cos(sinx)>
cos(-cosx)=sin(cosx).
综上,当x∈(0,π)时,总有cos(sinx)<
3.最小正周期的确定。
例3求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。
【解】因为cos(-x)=cosx,所以cos|x|=cosx,所以T=2π是函数的周期;
4.三角最值问题。
例4已知函数y=sinx+,求函数的最大值与最小值。
【解法一】令sinx=,
则有y=
因为,所以,所以≤1,
所以当,即x=2kπ-(k∈Z)时,ymin=0,当,即x=2kπ+(k∈Z)时,ymax=2.
【解法二】因为y=sinx+=2(因为(a+b)2≤2(a2+b2)),
且|sinx|≤1≤,所以0≤sinx+≤2,
所以当=sinx,即x=2kπ+(k∈Z)时,ymax=2,
当=-sinx,即x=2kπ-(k∈Z)时,ymin=0。
5.换元法的使用。
例5求的值域。
【解】设t=sinx+cosx=
因为所以
又因为t2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=,所以,所以
因为t-1,所以,所以y-1.所以函数值域为
6.图象变换:
y=sinx(x∈R)与y=Asin(x+)(A,,>
0).
例6已知f(x)=sin(x+)(>
0,0≤≤π)是R上的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调函数,求和的值。
【解】由f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),所以sin(x+)=sin(-x+),
所以cossinx=0,对任意x∈R成立。
又0≤≤π,解得=,
因为f(x)图象关于对称,所以=0。
取x=0,得=0,所以sin所以(k∈Z),即=(2k+1)(k∈Z).
又>
0,取k=0时,此时f(x)=sin(2x+)在[0,]上是减函数;
取k=1时,=2,此时f(x)=sin(2x+)在[0,]上是减函数;
取k=2时,≥,此时f(x)=sin(x+)在[0,]上不是单调函数,
综上,=或2。
7.三角公式的应用。
例7已知sin(α-β)=,sin(α+β)=-,且α-β∈,α+β∈,求sin2α,cos2β的值。
【解】因为α-β∈,所以cos(α-β)=-
又因为α+β∈,所以cos(α+β)=
所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,
cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.
例8已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且,试求的值。
【解】因为A=1200-C,所以cos=cos(600-C),
又由于
=,
所以=0。
解得或。
0,所以。
例9求证:
tan20+4cos70=
【解】tan20+4cos70=+4sin20
例10证明:
分析:
等号左边涉及角7x、5x、3x、x右边仅涉及角x,可将左边各项逐步转化为、
的表达式,但相对较繁.观察到右边的次数较高,可尝试降次.
证明:
因为
从而有
评述:
本题看似“化简为繁”,实质上抓住了降次这一关键,很是简捷.另本题也可利用复数求解.令,展开即可.
例11已知
例12证明:
对任一自然数n及任意实数为任一整数),
思路分析:
本题左边为n项的和,右边为2项之差,故尝试将左边各项“裂”成两项之差,并希冀能消去其中许多中间项.
同理……
①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.
②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性,类似可证下列各题:
.
例13设的内角所对的边成等比数列,则的取值范围是()
A.B.C.D.
[解]设的公比为,则,而
.
因此,只需求的取值范围.
因成等比数列,最大边只能是或,因此要构成三角形的三边,必需且只需且.即有不等式组
即解得
从而,因此所求的取值范围是.故选C
例14△ABC内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1,
则的值为()
A.2B.4C.6D.8
解:
如图,连BA1,则AA1=2sin(B+
同理
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- 19 全国 高中数学 竞赛 专题 三角函数