初中数学拔高九年级 专题20 直线与圆的位置关系1含答案文档格式.docx
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,∠ABC=120°
,⊙O的半径为1.
(1)求弦AC,AB的长;
(2)若P为CB的延长线上一点,试确定P点的位置,使PA与⊙O相切,并证明你的结论.
(哈尔滨市中考试题)
第
(2)题是考查探索能力的开放性几何题,只要探求得PB与BC,或PC与BC的关系,或求得PB或PC的长,点P的位置即可确定.
【例3】已知△ABC是⊙O的内接三角形,BT为⊙O的切线,B为切点,P为直线AB上一点.过点P作BC的平行线交BT于点E,交直线AC于点F.
(1)当点P在线段AB上时(如图),求证:
PA•PB=PE•PF;
(2)当点P为线段BA的延长线上一点时,第
(1)题的结论还成立吗?
如果成立,请证明;
如果不成立,请说明理由.(北京市中考试题)
本例是“运动型”的开放性问题,要求点在运动变化中,判断原结论是否成立,通过观察、比较、归纳、分析等系列活动,逐步确定应有的结论.
【例4】已知:
如图1,把矩形纸片ABCD折叠,使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D,C重合),MN为折痕,点M,N分别在边BC,AD上.连接AP,MP,AM,AP与MN相较于点F,⊙O过点M,C,P.
(1)请你在图1中作出⊙O(不写作法,保留作图痕迹);
(2)与是否相等?
请说明理由;
(3)随着点P的运动,若⊙O与AM相切于点M时,⊙O又与AD相切于点H.设AB为4,请你通过计算,画出这时的图形(图2、图3供参考).
(宜昌市中考试题)
对于(3),只依靠AB的长不能画出图形,需求出关键的量,因为∠C=90°
,⊙O过点M,C,P,故将画出矩形的条件转化为求出CP(或MP)的长.当矩形确定后,依据线段CP的长,就可确定P点的位置.
【例5】如图,已知△ABC内接于⊙O,AD,BD为⊙O的切线,作DE∥BC,交AC于点E,连接EO并延长交BC于点F.求证:
BF=FC.(太原市竞赛试题)
要证明BF=FC,只需证FO⊥BC即可,连接OA,OB,OD,将问题转化为证明∠DAO=∠EFC.
【例6】如图,在等腰△ABC中,已知AB=AC,∠C的平分线与AB交于点P,M是△ABC的内切⊙I与边BC的切点,作MD∥AC,交⊙I于点D,求证:
PD是⊙I的切线.(全国初中数学联赛试题)
设⊙I切AB于点S,连接IM,IS,ID,直接证明∠PDI=90°
困难,不妨证明∠PDI=∠PSI,即证明△PIS≌△PID.
能力训练
A级
1.PA,PB切⊙O于A,B,∠APB=78°
,点C是⊙O上异于A,B的任意一点,则∠ACB=__________.
2.如图,以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于点D,过点D作⊙O的切线交AC于点E.要使DE⊥AC,则△ABC的边必须满足的条件是__________.(武汉市中考试题)
第2题图第3题图
3.如图,PA切⊙O于点A,C是上任意一点,∠PAB=62°
,则∠C的度数是__________.
(荆门市中考试题)
4.直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°
,AD+BC<DC.若腰DC上有一点P,使AP⊥BP,则这样的点()
A.不存在 B.只有一个 C.只有两个 D.有无数个
5.如图,已知AB是⊙O的直径,CD,CB是⊙O的切线,D,B为切点,OC交⊙O于点E,AE的延长线交BC于点F,连接AD,BD,给出以下四个结论:
①AD∥OC;
②E为△CDB的内心;
③FC=FE.其中正确的结论是()
A.①②B.②③C.①③D.①②③
6.如图,ABCD为⊙O的内接四边形,AC平分∠BAD并与BD相交于E点,CF切⊙O于点C并与AD的延长线相交于点F.图中的四个三角形①△CAF,②△ABC,③△ABD,④△BEC,其中一定相似的是()(连云港市中考试题)
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④
第5题图第6题图第7题图
7.如图,△ABC内接于⊙O,AE切⊙O于点A,BC∥AE.
(1)求证:
△ABC是等腰三角形;
(2)设AB=10cm,BC=8cm,点P是射线AE上的点,若以A,P,C为顶点的三角形与△ABC相似,问这样的点有几个?
(南昌市中考试题)
8.如图,Rt△ABC中,∠C=90°
,以AC为直径的⊙O交斜边AB于点E,OD∥AB.
求证:
(1)ED是⊙O的切线;
(2)2DE2=BE•OD.
9.如图,在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的边,且a,b是关于x的一元二次方程x2+4(c+2)=(c+4)x的两个根.点D在AB上,以BD为直径的⊙O切AC于点E.
△ABC是直角三角形;
(2)若tanA=时,求AE的长.(内蒙古中考试题)
10.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°
,以AB为直径作⊙O交AC边于点D,E是边BC中点,连接DE.
直线DE是⊙O的切线;
(2)连接OC交DE于点F,若OF=CF,求tan∠ACO的值.(武汉市中考试题)
11.如图,⊙O的半径r=25,四边形ABCD内接于⊙O,AC⊥BD于点H,P为CA延长线上一点,且∠PDA=∠ABD.
(1)试判断PD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若tan∠ADB=,PA=AH,求BD的长;
(3)在
(2)的条件下,求四边形ABCD的面积.(成都市中考试题)
B级
1.如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,过点C的切线与AD的延长线交于点E.若∠DAB=56°
,
∠ABC=64°
,则∠CED=__________.
2.如图,⊙O与矩形ABCD的边AD,AB,BC分别相切于点E,F,G,P是上的一点,则∠EPF=__________.(广州市中考试题)
第1题图第2题图第3题图
3.如图,直线AB,AC与⊙O分别相切于点B,C两点,P为圆上一点,P到AB,AC的距离分别为4cm,6cm,那么P到BC的距离为__________cm.(全国初中数学联赛试题)
4.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°
,⊙O分别与AB,AC相切于点E,F,圆心O在BC上,若AB=a,AC=b,则⊙O的半径等于()
A. B. C. D.
5.如图,在⊙O的内接△ABC中,∠ABC=30°
,AC的延长线与过点B的⊙O的切线相交于点D.若⊙O的半径OC=1,BD∥OC,则CD的长为()
A.1+B.C.D.
第4题图第5题图第6题图
6.如图,⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D.DF⊥AC,垂足为F,DE⊥BC,垂足为E.给出以下四个结论:
①CE=CF;
②∠ACB=∠EDF;
③DE是⊙O的切线;
④=.其中正确的结论是()(苏州市中考试题)
7.如图,已知AC切⊙O于点C,CP为⊙O的直径,AB切⊙O于点D,与CP的延长线交于点B.若AC=PC.
(1)BD=2BP;
(2)PC=3BP.(天津市中考试题)
8.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°
,AB=12cm,AD=8cm,BC=22cm,AB为⊙O的直径.动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动.P,Q分别从点A,C同时出发,当其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止.设运动时间为t(s).
(1)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?
(2)当t为何值时,PQ与⊙O相切?
(呼和浩特市中考试题)
9.如图,已知在△ABC中,∠ABC=90°
O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的半圆与AB交于点E,与AC切于点D,AD=2,AE=1.求证:
S△AOD,S△BCD是方程10x2-51x+54=0的两个根.(河南省中考试题)
10.如图,点O在∠APB的平分线上,⊙O与PA相切于点C.
(1)求证:
直线PB与⊙O相切;
(2)PO的延长线与⊙O交于点E,若⊙O的半径为3,PC=4,求弦CE的长.(武汉市中考试题)
11.如图,直线y=x+4交x轴于点B,交y轴于点A,⊙O′过A,O两点.
(1)如图1,若⊙O′交AB于点C,当O′在OA上时,求弦AC的长;
(2)如图2,当⊙O′与直线l相切于点A时,求圆心O′的坐标;
(3)当O′A平分△AOB的外角时,请画出图形,并求⊙O′的半径的长.
12.如图,AB是⊙O的直径,AB=d,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,使AC=AB,连接OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于点E.求AE的长.(四川省竞赛试题)
例1、B提示:
连接,则
例2、
(1),
(2)提示:
若是⊙的切线,则,又
,得∥,,,
,,,即当时,是
⊙的切线
例3、提示
(1)证明
(2)当为延长线上一点时,第
(1)题的
结论仍成立
例4、
(1)略
(2),理由如下:
假设,则∥。
,,与关于对称,,而与不重
合,这与“过一点()”只能作一条直线与已知直线()垂直”矛盾,假设
不成立,即
(3)证明≌,得,设,则,
,连接并延长交于,则四边形为矩形,
∥,得,,
,,,解得
即,,,由此画图
例6连切点半径,和,得四点共圆,得,
,设,则,
,则,∥,,
,
而,
,在与中,,,,≌,
,故是⊙的切线
A级
1、51︒或129︒2、
3、或4、D提示:
以为直径的圆与相交
5、6、
7、
(1)略
(2)满足条件的点有两个:
过点作∥交于点,则
,这时;
过点作⊙的切线交于点,则
,这时
8、
(1)提示:
连接,证明,,
(2)在中,,又,,又
2,,
9、
(1)由已知,得,由两根关系得,,
,是直角三角形
(2)提示:
连接,则∥,,,,
10、
(1)连接,,,是⊙的直径,,
是的中点,,,,≌,
,直线是⊙的切线
(2)作于点,由
(1)知BD⊥AC,EC=EB.∵OA=OB,∴OE∥AC且OE=,∴∠CDF=∠OEF,∠DCF=∠EOF.
∵CF=OF,∴△DCF≌△
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