高级微观经济学消费理论.docx
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高级微观经济学消费理论
高级微观经济学
课本:
参考书:
1)AndreuMas-Colell,MichaelD.WhinstonandJerryR.Green,1995,MicroeconomicTheory,OxfordUniversityPress;中译本:
《微观经济理论》,经济科学出版社
2)DavidKreps,1992,
3)HalVarian,MicroeconomicAnalysis,中译本,
4)EugeneSilberbergandWingSun,2000,TheStructureofEconomics:
aMathematicalAnalysis,3rdedition,McGraw-HillHigherEducation
第一章:
消费理论(关于消费者的行为研究理论。
其研究方法有两种,其一是古典需求理论或者说偏好理论;其二是显示偏好理论)
1.基本概念
2.偏好关系和效用函数
3.消费者的优化问题
4.间接效用函数和支出最小化
5.需求的特征
一、基本概念
1、选择集(消费集合)
定义:
所有可能的(能实现的和不能实现的)消费(选择)方案的集合。
消费方案:
商品:
1)商品数量无限可分:
,商品数量是连续的。
2)商品数量非负:
3)商品种类为:
消费方案(选择方案,消费束):
特征:
1、非空集(,否则没有研究意义)
2、X闭集(连续性)
3、凸集
4、包含原点:
(消费者可以选择不消费,这也是选择集合的下限)
2、可行集(可选择的消费束):
制度约束、经济约束等限制之后仍保留下来的消费集合。
3、偏好关系(指在同一消费集中,两个消费束哪个更受消费者偏好。
)
4、行为假设
Theconsumerseekstoidentifyandselectanavailablealternativethatismostpreferredinthelightofhispersonaltastes.
在各种能够实现的消费方案中,消费者选择他最偏好的消费方案。
4行为假设
二、偏好关系和效用函数
Debreu(1959)
1、偏好关系
①、关系、两元关系
②、两元关系的定义:
定义在消费集上,反映中任意两个点之间的关系:
,如果有,则对该消费者而言,“至少和一样好”,或者,“在和之间,消费者弱偏好”
③、偏好公理(实际上界定了消费者的理性状态。
)
④⑤⑥
公理一:
完备性公理:
对于选择集中任意的两个要素和,有或
含义:
◆消费者能够做出选择
◆消费者具有无限的认知能力
◆消费者具有无限的判断能力
公理二:
传递性公理:
对于选择集中任何的三个要素、和,如果和,则有。
含义:
◆消费者的选择具有一致性
◆保证了消费者能够选择一个最偏好的商品组合
偏好关系
◆(弱)偏好关系:
消费集上的两元关系,如果满足公理一和公理二,就是偏好关系。
理性偏好:
公理一+公理二
理性偏好意味着消费者能够完整地给消费集X中任何有限数目的要素排序,从最坏到最好,可能有些要素相同。
利用(弱)偏好关系,我们可以得到其它两个重要的偏好关系:
即严格偏好关系和无差异偏好关系。
◆严格偏好关系:
◆无差异关系:
注意:
严格偏好关系与无差异关系并不具有完备性。
有了这两个互补关系,则对任何一对,三种互相排斥的可能性中只有一种存在:
为了建立偏好关系与效用函数之间的关系,在理性偏好公理的基础上,还要对偏好做出性质上的其它假设。
公理三:
连续性公理:
对于选择集中的任何元素,和在中为闭集。
(偏好关系的连续性排除了消费者行为的不连续性即跳跃性。
该公理也可以表述为:
如果一个消费序列中的每一个消费束都至少和另一个消费束一样好,那么该消费束的极限也应至少好于那个消费束。
,便好关系的连续性排除了无差异曲线的开区间。
无差异曲线是上面两个闭集的交集,故还是闭集。
同时也意味着严格偏好集是一个开集。
)
公理四‘:
局部非饱和性公理:
对于任何,,始终存在着某个,有。
含义:
不存在任何消费束令消费者达到满足的极限,总有更为偏好的消费束存在。
)
局部非饱和性使得与无差异的消费集是一个(n-1)为空间,在二维空间中表现为一条直线。
公理四:
严格单调性公理:
对于所有的,如果,有;如果,那么
含义:
◆多多益善(如果消费束的每一种商品至少和一样多,那么至少和一样好;如果消费束的每一种商品至少和一样多,且至少有某一个商品严格地多于相应的商品,那么严格偏好)
严格单调性公理使得与无差异的消费集一定是一条向下倾斜的直线。
)
由公理4可以推出公理3,但反之不行。
公理五:
凸性定理:
如果,那么,对于所有的,有。
公理五:
严格凸性定理:
如果,那么,对于所有的,有。
凸性但非严格凸性
严格凸性
含义:
◆平均优于极端
◆边际替代率递减
它排除了无差异曲线向原点凹的部分。
递减
不变和上升
效用函数
由于偏好关系不便于进行数理推导,人们希望采用效用函数来代表偏好关系,从而简化消费者理论的分析。
一个效用函数被定义为:
定义代表偏好关系的效用函数
定义:
实值函数,如果对于所有的,有,则该函数被称为反映偏好关系的效用函数。
(即:
如果一个效用函数分派一个较大的数给所偏好的消费束,那么该函数则代表了一个消费者的偏好关系。
)
从数学上,此问题便是代表偏好关系的一个连续效用函数的存在性问题。
人们可以证明:
任何一个具备完备性、传递性与连续性的二元关系才能够被用一个连续实值函数来表达。
可代表性并不依赖于凸性或单调性。
但为了证明的简化,我们加上单调性。
定理1.1:
代表偏好关系的实值函数的存在性
如果二元关系是完备的、可传递的、连续的及严格单调的,那么,必存在一个连续的实值函数代表偏好关系。
定理1.2:
效用函数对正的单调转换的不变性
令是上的一个偏好关系,并设是一个代表此偏好关系的效用函数。
对于每个X,当且仅当——这里,在由所确定的值集上是严格单调递增的,那么也代表偏好关系。
定理1.3:
偏好性质与效用函数
令是上的一个偏好关系,并设是一个代表此偏好关系的效用函数,那么:
1、当且仅当是严格单调的,是严格递增的;
2、当且仅当是凸的,是拟凹的;
3、当且仅当是严格凸的,是严格拟凹的。
消费者选择
消费者选择能够支付得起的最优商品组合。
“支付得起”——预算集
“最优”——偏好关系
预算集:
⏹消费者从预算集中选择最偏好的商品组合(点):
,且对于所有的,有。
⏹消费者从预算集中选择最大化效用函数的点:
消费者的问题:
此最大化问题是否有解:
是否有唯一解:
定理A1.10:
极值的存在性定理
设是非空紧集,是连续的实值映射,则存在向量和向量,对于所有的,有
证明:
连续
:
非空、闭集、有界集
定理A2.14:
目标函数严格拟凹
消费者的问题:
的解:
马歇尔需求函数
1、两维空间:
预算线和无差异曲线之间的关系相交相切不相交
预算线与无差异曲线相切:
预算线的斜率:
无差异曲线的斜率:
解得马歇尔需求函数
2、假设效用函数连续可导,可以用拉格朗日方法求消费者问题的解:
(1)、根据偏好关系的严格单调性定理,约束条件必然为
:
预算平衡性定理
构造拉格朗日函数:
一阶条件:
二阶条件:
加边海赛矩阵为负半定
解得马歇尔需求函数
(2)、不等约束条件下的极值Kuhn-Tucker定理:
构造拉格朗日函数:
一阶条件:
二阶条件:
加边海赛矩阵为负半定
解得马歇尔需求函数
例题:
消费者的效用函数为,求马歇尔需求函数。
解:
设商品1和商品2的价格分别为,消费者收入为。
消费者的决策为:
构造拉格朗日函数:
最优解满足一阶条件:
解得马歇尔需求函数:
消费者的最大效用为:
间接效用函数为:
定理1.5
马歇尔需求函数的可导性:
作用:
比较静态分析——参数或模型结构的变化对模型解的影响——价格变化或收入变化导致的解的变化:
,或
设是消费者最大化问题的解,需求函数可导性的条件是:
效用函数二阶可导
某些或全部商品的边际效用大于零
效用函数的海赛加边矩阵有非零行列式
间接效用函数
直接效用函数:
间接效用函数:
间接效用函数的特征:
间接效用函数
1)在上连续
2)在上零阶齐次性
3)在上严格递增
4)在上严格递减
5)在上拟凹
6)罗伊恒等式:
如果在上可导,并且,有:
间接效用函数的特征
1、间接效用函数在上连续
p.505最大值定理:
如果目标函数和约束条件在参数上连续,定义域为紧集,则值函数在参数上连续。
2、间接效用函数在上零阶齐次性
间接效用函数在上零阶齐次性:
3、间接效用函数在上严格递增
应用包络定理:
构造拉格朗日函数
根据包络定理,:
的符号?
5、间接效用函数在价格上递减
设价格向量,求证
6、间接效用函数在上拟凸
定理A1.18:
拟凸性和劣集(quasiconvexityandinferiorsets)
当且仅当对于所有的,劣集是凸集,函数是拟凸函数。
劣集的定义:
证明间接效用函数在上拟凸,只需证明其劣集为凸集。
在中选两点,设,,取,我们要证明
。
也就是说,对于任何满足的最优解,我们得证明。
三种可能性:
和
6、间接效用函数
例题:
证明满足间接效用函数的特征
支出函数
给定价格实现某一效用水平所需的最小支出:
最优解为希克斯需求函数,最小支出为
支出函数为:
两元空间支出最小化:
希克斯需求函数(补偿需求函数,或实际收入不变的需求函数):
效用函数严格单调递增,所以有唯一的无差异曲线与相对应,因此可以把所要实现的效用水平写作。
可以写为:
支出函数可以表述为在给定价格下,实现消费束所带来的效用,所需的最小支出。
实际购买力用商品数量表示,所以支出函数又可以表述为在给定价格下,实现实际购买力所带来的效用,所需的最小支出。
因此,希克斯需求函数又可以称为“实际购买力固定的需求函数”。
在效用最大化中,货币收入不变,马歇尔需求函数又被称为“货币收入固定的需求函数”。
支出函数的特征
1.在取最低效用水平时,支出函数为零
2.在定义域上连续
3.对于所有的,支出函数在上递增并且无上界
4.在价格上递增
5.在价格上一阶齐次性
6.在价格上为凹函数
7.如果效用函数严格拟凹,有谢菲尔德引理:
证明:
1、在取最低效用水平时,支出函数为零
取最低效用水平:
,即
支出函数
2、在定义域上连续
3、对于所有的,支出函数在上递增并且无上界
根据包络定理:
拉格朗日函数:
(一阶条件)
4、在价格上递增
5、在价格上一阶齐次性
6、在价格上为凹函数
固定效用为,取价格,,设在价格为时最优解为,支出函数为
7、如果效用函数严格拟凹,有谢菲尔德引理:
根据包络定理
例子:
消费者的效用函数为,求希克斯需求函数和支出函数。
解:
构造拉格朗日函数,利用一阶条件,解得希克斯需求函数:
,
马歇尔需求函数与希克斯需求函数的关系:
Supposethatisacontinuousutilityfunctionrepresentingalocallynonsatiatedpreferencerelationdefinedontheconsumptionsetandthepricevectoris.We
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