云南压轴题精选题之5二次函数与存在直角三角形含答案Word格式.docx
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云南压轴题精选题之5二次函数与存在直角三角形含答案Word格式.docx
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,∠CAO+∠PAO=90°
.
∵∠PAO+∠APO=90°
,∴∠CAO=∠APO.
∴ΔAOC∽ΔPOA.
∴,∴,
∴点C(,0).
(3)假设除点C外还存在点M,使△MAB为直角三角形.
I.若∠ABM=90°
,可求得点B(,).
①当M在x轴上,过点B作BM1⊥AB交x轴于M1,设M1(m,0),作BD⊥x轴于点D,则△BDM1∽△PDB.
∴,∴,解得,∴M1(,0).
②当M在y轴上,则△ABM∽△AOP.
∴=,∴=,解得AM=.
∴OM=,即M2(0,-).
II.若∠AMB=90°
,则M点是以AB为直径的圆与坐标轴的交点.图中M2、M3、M4为满足条件的点.
①当点M3在y轴上时,连结BM2.
∵∠AM3B=90°
,∴四边形ODBM3为矩形.∴.∴M3(0,).
②当点M4在x轴上时,连结AM4、BM4.
设M4(n,0),则.∵ΔAOM4∽△M4DB,∴,,
解得,.
经检验n1,n2均符合题意,故M4(,0),M5(,0).
综上所述,存在使△MAB为直角三角形的点为M1,0),M2(0,-),M3(0,),M4(,0),M5(,0)共5个点.
备选变式题:
1.(2014•来宾·
T25)如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(1,0)和B(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E,点F是位于x轴上方对称轴上一点,FC∥x轴,与对称轴右侧的抛物线交于点C,且四边形OECF是平行四边形,求点C的坐标;
(3)在
(2)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点P,使△OCP是直角三角形?
若存在,求出点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
(1)把点A(1,0)和B(4,0)代入y=ax2+bx+2得,
,解得,∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+2;
(2)抛物线的对称轴为直线x=,
∵四边形OECF是平行四边形,∴点C的横坐标是×
2=5,
∵点C在抛物线上,∴y=×
52﹣×
5+2=2,∴点C的坐标为(5,2);
(3)设OC、EF的交点为D,
∵点C的坐标为(5,2),∴点D的坐标为(,1),
①点O是直角顶点时,易得△OED∽△PEO,
∴=,即=,解得PE=,∴点P的坐标为(,﹣);
②点C是直角顶点时,同理求出PF=,∴PE=+2=,∴点P的坐标为(,);
③点P是直角顶点时,由勾股定理得,OC==,
∵PD是OC边上的中线,∴PD=OC=,
若点P在OC上方,则PE=PD+DE=+1,此时,点P的坐标为(,),
若点P在OC的下方,则PE=PD﹣DE=﹣1,此时,点P的坐标为(,),
综上所述,抛物线的对称轴上存在点P(,﹣)或(,)或(,)或(,),使△OCP是直角三角形.
2.(2014·
德州·
T24)如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?
若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;
若不存在,说明理由;
(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作y轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.
(1)由A(4,0),可知OA=4,
∵OA=OC=4OB,∴OA=OC=4,OB=1,∴C(0,4),B(﹣1,0).
设抛物线的解析式是y=ax2+bx+x,则,解得:
,
则抛物线的解析式是:
y=﹣x2+3x+4;
(2)存在.
第一种情况,当以C为直角顶点时,过点C作CP1⊥AC,交抛物线于点P1.过点P1作y轴的垂线,垂足是M.
∵∠ACP1=90°
,∴∠MCP1+∠ACO=90°
.
∵∠ACO+∠OAC=90°
,∴∠MCP1=∠OAC.
∵OA=OC,∴∠MCP1=∠OAC=45°
,∴∠MCP1=∠MP1C,∴MC=MP1,
设P(m,﹣m2+3m+4),则m=﹣m2+3m+4﹣4,解得:
m1=0(舍去),m2=2.
∴﹣m2+3m+4=6,即P(2,6).
第二种情况,当点A为直角顶点时,过A作AP2,AC交抛物线于点P2,过点P2作y轴的垂线,垂足是N,AP交y轴于点F.
∴P2N∥x轴,
由∠CAO=45°
,∴∠OAP=45°
,∴∠FP2N=45°
,AO=OF.∴P2N=NF,
设P2(n,﹣n2+3n+4),则n=(﹣n2+3n+4)﹣1,解得:
n1=﹣2,n2=4(舍去),
∴﹣n2+3n+4=﹣6,则P2的坐标是(﹣2,﹣6).
综上所述,P的坐标是(2,6)或(﹣2,﹣6);
(3)连接OD,由题意可知,四边形OFDE是矩形,则OD=EF.
根据垂线段最短,可得当OD⊥AC时,OD最短,即EF最短.
由
(1)可知,在直角△AOC中,OC=OA=4,则AC==4,
根据等腰三角形的性质,D是AC的中点.
又∵DF∥OC,∴DF=OC=2,∴点P的纵坐标是2.
则﹣x2+3x+1=2,解得:
x=,
∴当EF最短时,点P的坐标是:
(,0)或(,0).
3.(2014·
漳州·
T25)已知抛物线l:
y=ax2+bx+c(a,b,c均不为0)的顶点为M,与y轴的交点为N,我们称以N为顶点,对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线,直线MN为抛物线l的衍生直线.
(1)如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是 ,衍生直线的解析式是 ;
(2)若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1,求这条抛物线的解析式;
(3)如图,设
(1)中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M,与y轴交点为N,将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行,再沿y轴向上平移1个单位得直线n,P是直线n上的动点.是否存在点P,使△POM为直角三角形?
若存在,求出所有点P的坐标;
(1)∵抛物线y=x2﹣2x﹣3过(0,﹣3),∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3.
∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=(x﹣1)2﹣4,
∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点(1,﹣4).
∴﹣4=a•1﹣3.解得a=﹣1.∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3.
设衍生直线为y=kx+b,
∵y=kx+b过(0,﹣3),(1,﹣4),∴.∴.∴衍生直线为y=﹣x﹣3.
(2)∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点,
∴将y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1联立,得.解得或.
∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为(0,1),∴原抛物线的顶点为(1,﹣1).
设原抛物线为y=a(x﹣1)2﹣1,
∵y=a(x﹣1)2﹣1过(0,1),∴1=a(0﹣1)2﹣1.解得a=2.∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1.
(3)∵N(0,﹣3),∴MN绕点N旋转到与x轴平行后,解析式为y=﹣3.
∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2.
设点P坐标为(x,﹣2),∵O(0,0),M(1,﹣4),
∴OM2=(xM﹣xO)2+(yO﹣yM)2=1+16=17,OP2=(|xP﹣xO|)2+(yO﹣yP)2=x2+4,
MP2=(|xP﹣xM|)2+(yP﹣yM)2=(x﹣1)2+4=x2﹣2x+5.
①当OM2=OP2+MP2时,有17=x2+4+x2﹣2x+5,
解得x=或x=,即P(,﹣2)或P(,﹣2).
②当OP2=OM2+MP2时,有x2+4=17+x2﹣2x+5,
解得x=9,即P(9,﹣2).
③当MP2=OP2+OM2时,有x2﹣2x+5=x2+4+17,
解得x=﹣8,即P(﹣8,﹣2).
综上所述,当P为(,﹣2)或(,﹣2)或(9,﹣2)或(﹣8,﹣2)时,△POM为直角三角形.
4.(2014·
内江·
T28)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3.0)、C(0,4),点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平分∠CAO.
(2)线段AB上有一动点P,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使△ABM是以AB为直角边的直角三角形?
如果存在,求出点M的坐标;
如果不存在,说明理由.
(1)如图1,∵A(﹣3,0),C(0,4),∴OA=3,OC=4.
∵∠AOC=90°
,∴AC=5.
∵BC∥AO,AB平分∠CAO,∴∠CBA=∠BAO=∠CAB.∴BC=AC.∴BC=5.
∵BC∥AO,BC=5,OC=4,∴点B的坐标为(5,4).
∵A(﹣3.0)、C(0,4)、B(5,4)在抛物线y=ax2+bx+c上,
∴解得:
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4.
(2)如图2,设直线AB的解析式为y=mx+n,
∵A(﹣3.0)、B(5,4)在直线AB上,∴解得:
∴直线AB的解析式为y=x+.
设点P的横坐标为t(﹣3≤t≤5),则点Q的横坐标也为t.∴yP=t+,yQ=﹣t2+t+4.
∴PQ=yQ﹣yP=﹣t2+t+4﹣(t+)=﹣(t﹣1)2+.
∵﹣<0,﹣3≤1≤5,∴当t=1时,PQ取到最大值,最大值为.
∴线段PQ的最大值为.
(3)①当∠BAM=90°
时,如图3所示.抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=.
∴xH=xG=xM=.∴yG=×
+=.∴GH=.
∵∠GHA=∠GAM=90°
,∴∠MAH=90°
﹣∠GAH=∠AGM.
∵∠AHG=∠MHA=90°
,∠MAH=∠AGM,∴△AHG∽△MHA.∴.
∴=.解得MH=11.∴点M的坐标为(,﹣11).
②当∠ABM=90°
时,如图4所示.
∵∠BDG=90°
,BD=5﹣=,DG=4﹣=,
∴BG===.
同理:
AG=.
∵∠AGH=∠MGB,∠AHG=∠MBG=90°
,∴△AGH∽△MGB.∴=.
∴=.解得:
MG=.∴MH=MG+GH=+=9.∴点M的坐标为(,9).
综上所述:
符合要求的点M的坐标为(,9)和(,﹣11).
5.(2014·
南充·
T25)如图,抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点.点A的横坐标为﹣3,点B在y轴上,点P是y轴左侧抛物线上的一动点,横坐标为m,过点P作PC⊥x轴于C,交直线AB于D
(2)当m为何值时,S四边形OBDC=2S△BPD;
(3)是否存在点P,使△PAD是直角三角形?
若不存在,说明理由.
(1)∵y=x﹣1,∴x=0时,y=﹣1,∴B(0,﹣1).
当x=﹣3时,y=﹣4,∴A(﹣3,﹣4).
∵y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点,∴.∴.
∴抛物线的解析式为:
y=x2+4x﹣1;
(2)∵P点横坐
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