代数学期末考试题Word下载.docx
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+……+(-1)
))。
11、在二阶方阵环(实数域上)中找出两个零因子(
×
=
12、素元素的定义为(p|a×
b
p|a或p|b)。
13、不可约元素的定义为(a=b×
c
b是可逆元或c是可逆元)。
14、
=(C
15、在剩余类环
中不可逆的元素为(1,3,5,7)。
16、若|A|=m,|B|=n,则A→B的所有不同映射的个数为(B)
A、
B、
C、n×
m
17、皮阿罗公理中的归纳公式为(1←M由a←M
a←M)。
18、由A→B的单映射的定义为(a≠b
(b))。
19、自然数a与b加法的定义中两个条件为(
a+1=a'
②a+b'
=(a+b)'
20、若f(x)=
为上凸函数则(B)。
A、k>
1B、0<
k<
1C、k<
21、自然数的加法的定义中两个条件为(①a=1=a
②a=b
=(a+b)
)。
22、自然数a>
b的定义为(a=b+k)。
23、在整数集合中求两个数的最大公因数(A)。
A、是代数运算B、不是代数运算
24、若集合|A|=n,则集合A→A的映射共有(n
)种。
25、素元素的定义为(P|a×
P|a或p|b)。
二.计算题
1.若a>
b>
c>
0,且a+b+c=1,求
(1)、2abc的极大值。
(2)a×
b×
c=1,求2a+b+4c的极小值。
答:
≥
∴(
)
是a×
c的极大值
2abc的极大值为
≥
=2∴2a+b+4c的极小值为6
2.上11阶台阶,每次可上一阶或二阶,共有多少种不同的法?
f
=f(n-1)+f(n-2)∴f(11)=144
3.在
中,求一个多项式f(x)使得f(
)=
,f(
f(x)=(x-
)(x-
)=x
4.n对夫妻一起跳舞,问刚好有K对夫妻为舞伴的方法有多少种?
C
•k!
5.从8个数字中取3个数字,但不准取连续两个数字的方法有多少种?
(其中1和8这两个数字也算连续数字)。
g(83)=f(52)+f(7,3)
6.若R是因式分解唯一环,求证:
(1)、((a,b),c)~(a,(b,c))
(2)、(ab,ac)~a(b,c)
((ab),c)=d则d|cd|ad|b
∴d|(bc)∴d|(a(bc))同理可证明相反情况
②(abac)=f(bc)=d
∴ad|abad|acad|ff=adz
f|abf|acab=fx=adxzac=fy=adyz
∴b=dxzc=dyz∴dz是bc的公因式∴z是可逆元
7.若x>
0,y>
0,z>
0且满足9
+12
+5
=9,求3x+6y+5z的极大值。
3x+6y=5z=1×
3x+6
y+5•
z≤
(1
+(
)(ax
+12y
+5z
)=(1+
)•9=81
而3x+6y=5z极大值为81
8.求证半径为R的圆内接n边形以正n边形的面积最大。
圆内接n边形的面积为S则:
S=
R
(SinQ
+SinQ
+……+SinQ
但f(x)=Sinx是上凸函数
Sin
只有当Q
=Q
=……=Q
时等号成立
只有当正n边形时面积最大
9.若环R={
|m∈Z,k∈Z},求证R是整环,并求出R中的所有可逆元素和不可约元素。
可逆元素为
K为整数
不可约元素
P为不等于2的素数
10.求在剩余类环
中,(
)(
的根。
(x-
的根为x=
x=
11.求多项式
展开合并同类项后
(1)共有多少项?
(2)
的系数为多少?
=C
12.从不大于100的正整数中,能被2,或3,或5整除的自然数共有多少个?
=50
=33
=20
=16
=10
=6
=3
所求数为:
50+33+20-16-10-6+3=74
13、求自然数集合N到整数集合Z的一个满映射,但不是单映射。
(n)=n-1,n
N
14求证代数系统(
)与代数系统(R,+)是同构的,其中
表示正实数集合,R表示实数集合,
与+就是通常的实数乘法与加法。
(x)=lnx是R
R的双射
(x
x
)=lnx
x
=lnx
+lnx
)+
)
是同构映射
15、若x>
0且满足3
+4
=20求9x+16y+7z的极大值。
9x+16y+7z=9×
x+16×
y+7×
(3x
+4y
)=(27+64+
20=2016
9x+16y+7z的极大值为2016
《高观点下中学数学—代数学》练习题二
一、填空
1、给出一个由整数集合Z到自然数集合N的双射(f(0)=1f(-n)=2n(n>
0)
f(n)=2n=3(n>
0))。
2、素元素的定义为(p|ab
p|a或p|b)。
3、不可约元素的定义为(a=b
b或c是可逆元)。
4、
中的可逆元素为(1,3,5,7)。
5、
=10方程的非负整数解的个数为(C
6、自然数a>
b的定义为(a=b+k)。
7、在整环R={a+b
|a∈Z,b∈Z}中2是(A)
A、不可约元素B、素元素
=(C
)。
9、若|A|=m|B|=n,则A→B的所有不同映射的个数为(B)
B、
10、f(x)=
,g(x)=Sinx(0<
x<
),k(x)=㏑(x)中上凸函数为()。
下凸函数为()。
11、自然数a>
12、皮阿罗公理中没有前元的元素为
(1)。
13、自然数的加法的定义中两个条件为(
14、柯西不等式
等号成立的条件为(C)。
i=1,2…nB、
=0i=1,2…nC、
=…=
15、整环中因式分解不是唯一的例子是(R=
|a,b
4=2
2=(1+
)(1-
16、
是有理数环上的(A)。
A、代数元B、超越元
17、n个数码的扰乱排列总数为(n!
+…(-1)
18、在剩余类环
中不可逆的元素为(
19、有理系数n次多项式在有理数域内(B)。
A、最少有n个根B、最多有n个根C、最少有一个根D、没有根
20、从n个元素中取n+1个元素(允许重复取)有(C
)种方法。
21、不可约元素的定义为(a=b×
b或者c是可逆元)。
22、由n个数码中取n+1个数码(允许重复取)有(C
)种方法。
23、在剩余类环
中可逆的元素为(
24、柯西不等式
等号成立的条件为(
=……=
25、f(x)为上凸函数的定义为(f(q
+q
)≥q
f(x
)+q
))。
1.已知x>
0。
且满足3
=15求2x+3y+4z的极大值。
2x+3y+4z=2•••
x+3y+4z≤(2
+3
)(3x
+y
+z
)=29×
15=435
2x+3y+4z极大值为435
2.若0<
1,求证
其中
=1,i=1,2,…n
f(x)=x
0<
1时上凸函数所以有(
3.上12阶台阶,每次可上一阶或二阶,共有多少种不同的上法
f(n)=f(n-1)+f(n-2)f
(1)=1f
(2)=2f(11)=144
4.求出1---10000中,能被3,或5,或7整除的自然数共有多少个?
=3333
=2000
=1428
=666
=476
=285
=95
3333+2000+1428-666-476-285+95=5429
5.若环R={
|m∈Z,k∈Z}找出所有可逆元素和不可约元素。
可逆元素
K为整数不可约元素
P≠2的素数
6.若数域F含有无穷多个元素,求证:
域F上的两个多项式f(x)与g(x)相等的代数定义与分析定义是一致的。
代数相等
分析相等
反之若
Ff(
)=g(
)f(x)=Q
+……+Q
g(x)=b
+……+b
则f(x)-g(x)=(a
-b
)x
+……+(a
)有无穷多个根
a
=b
7.令
为正有理数集合,若规定
问
(1){
}是否构成代数体系,是否满足结合律。
构成代数体系,但不满足结全律
(2){
•
不构成代数体系
8.分别利用归纳法与反归纳法证明n个数的算术平均值大于等于这n个数的几何平均值。
n=2成立设k=n成立
S
S
K=n-1时命题成立
9.求证整数环是主理想环。
证明若I是Z的理数
设a为I中最小正数
若a=1则I=Z若a=1对I中任意元素b
b=a×
q+rr<
ar
I
r=0
b=aq
I=(a)即Z为主理
10.举出一个整环例子,在这个环中因式分解不是唯一的,且有的不可约元素不是素元素(这里要说明整环为什么是整环,且该元素为什么是不可约元素)。
R=
|a,b,
分解不是唯一的4=2×
2是不可约元素,但不是素元素
11.求从不大于1000中,能被3,或5,或11整除的自然数
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- 代数 学期末 考试题