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二次根式的性质及有关概念
二次根式要紧扣两个要素,即:
根指数为2;
被开方数大于或等于0。
要点4
实数的混合运算
在实数范围内进行加.减.乘.除.乘方和开方运算,运算顺序依然是从高级到低级。
值得注意的是,在进行开方运算时,正实数和零可以开任何次方,负实数能开奇次方,但不能开偶次方。
要点5
非负数
非负数,即不是负数,也即正数和零,常见的非负数主要有三种:
实数的绝对值.实数的算术平方根.实数的偶次方。
它有一个非常重要的性质:
若干个非负数的和为0,这几个非负数均为零。
要点6
数形结合题
数形结合是解决数学问题常用的思想方法,解题时必须通过所给图形抓住相关数的信息。
要点7
与二次根式有关的探究题
这类题目需要我们细心观察及思考,探究其中的规律,寻找解决问题的途径。
在中考试题中,平方根和立方根的考点有以下几个方面:
三.考查要点
1.利用平方根.算术平方根.立方根的定义与性质解题
(1)如果某数的一个平方根是-6,那么这个数为________.
2.考查实数的有关概念及实数大小的比较
(2)比较大小:
7
.(填“>
”.“=”或“<”)
3.考查二次根式的概念
(3)根号x-1 在实数范围内有意义,则x的取值范围是(
)
(A)x>1
(B)x≥l
(C)x<
1
(D)x≤1
4.考查同类二次根式
分析:
掌握同类二次根式的概念是解决此类问题的关键。
首先要把能化简的二次根式化成最简二次根式,再分别看被开方数是否相同即可。
5.考查二次根式的化简与运算
(4)化简
的结果是(
A.10
B.2
C.4
D.20
四.考试易错点
1.对平方根.算术平方根.立方根的概念与性质理解不透
理解不透平方根.算术平方根.立方根的概念与性质,往往出现以下错误:
求一个正数的平方根时,漏掉其中一个,而求立方根时,又多写一个;
求算术平方根时前面加上正负号,成了平方根等等。
2.忽略平方根成立的条件
只有非负数才能开平方,成立的条件是a≥0,这一条件解题时往往被我们忽略。
3.实数分类时只看表面形式
对实数进行分类不能只看表面形式,应先化简,再根据结果去判断。
4.二次根式的运算错误
在进行二次根式的运算时要注意运算法则与公式的正确应用,千万不要忽略公式的应用条件。
五.平方根和立方根考点例析
在中考试题中,平方根和立方根的考点有以下几个方面:
1.平方根的概念
如果一个数的平方等于A,那么这个数叫做A的平方根.
例1.9的平方根是【 】
(A) 3(B)-3 (C)81
(D)
例2.(-5)2的平方根是【 】
(A)5(B)-5(C)±
5 (D)±
例3.
的平方根是【 】
(A)±
9(B)±
3(C)9 (D)3
2.算术平方根
正数A的正的平方根叫做A的算术平方根.
例4.| -4|的算术平方根是【 】
(A)2(B)±
2 (C)4 (D) ±
4
例5.设
为正整数,若
是完全平方数,则它前面的一个完全平方数是 【 】
(A)
(B)
(C)
(D)
3.立方根
如果一个数的立方等于A,那么这个数叫做A的立方根.
例6.立方根等于3的数是【】
(A)9 (B)
(C)27 (D)
例7.
等于【 】
(A)
(B)
(C)3 (D)-3
例8.
的值为【】
(A)3.049(B)3.050 (C)3.051 (D)3.052
4.科学计算器的应用
例9.用计算器计算
的按键顺序是______,结果等于_____.
六.复习时需要强调和注意的问题
1.平方根与算术平方根的联系和区别:
(1)联系:
只有非负数有平方根和算术平方根.0的平方根,算术平方根都为0.
(2)区别:
正数的平方根有两个,互为相反数,正数的算术平方根只有一个,用a表示一个正数,其平方根为
其算术平方根为
(
为正数)
(3)当
时,
;
无意义
2.平方根与立方根的性质:
3.无理数是无限不循环小数,一般来说开方开不尽的数,如
等都是无理数,但是并不是所有的无理数都可以写成根号的形式,如π就是一个特例.
4.在实数范围内,对于非负数是可以开平方的,但负数开平方是没有意义的.
5.实数的分类
例1判断题:
(1)
的平方根是
( )
(2)
是
的平方根( )
(3)
的平方根( )
(4)
()
(5)
6.有算术平方根的数是正数.
这六道判断题,主要是考查了学生对平方根和算术平方根这两个概念的掌握.
3随堂练习
[例1]判断题:
(1)绝对值等于它本身的实数只有零. ( )
(2)倒数等于它本身的实数只有1.( )
(3)相反数等于它本身的实数只有0.( )
(4)算术平方根等于它本身的实数只有1.( )
(5)有算术平方根的数是有理数.()
(6)0是最小的实数.()
(7)无限小数都是无理数.( )
(8)带根号的数都是无理数.( )
(9)不带根号的数都是有理数.( )
(10)两个无理数的和为无理数.( )
特别注意
1.平方根是其本身的数是0;
算术平方根是其本身的数是0和1;
立方根是其本身的数是0和±
1。
2.每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;
任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。
3.
本身为非负数,有非负性,即
≥0;
有意义的条件是a≥0。
4.公式:
⑴(
)2=a(a≥0);
⑵
=
(a取任何数)。
5.区分(
)2=a(a≥0),与
=
6.非负数的重要性质:
若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0(此性质应用很广,务必掌握)。
7.易混淆的三个数:
(1)
课后练习
补充练习
(一).精心选一选
1.有下列说法:
(1)无理数就是开方开不尽的数;
(2)无理数包括正无理数.零.负无理数;
(3)无理数是无限不循环小数;
(4)无理数都可以用数轴上的点来表示。
其中正确的说法的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如果一个实数的平方根与它的立方根相等,则这个数是()
A. 0 B. 正整数 C. 0和1 D.1
3.能与数轴上的点一一对应的是( )
A整数 B有理数 C 无理数 D 实数
4. 下列各数中,不是无理数的是 ( )
A.
B.0.5 C.2
D.0.151151115…
5.
的平方根是( )
A.
B.
C.
D.
6.下列说法正确的是( )
A. 0.25是0.5的一个平方根
B..正数有两个平方根,且这两个平方根之和等于0
C.72的平方根是7
D.负数有一个平方根
7.一个数的平方根等于它的立方根,这个数是 ( )
A.0ﻩﻩB.-1 C.1D.不存在
8.下列运算中,错误的是 ( )
①
,②
,③
④
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.若
,
则
的值为 ( )
8 B.±
8C.±
2 D.±
8或±
(二).细心填一填 (每小题 分,共分)
10.在数轴上表示
的点离原点的距离是 。
设面积为5的正方形的边长为
那么
= 。
11. 9的算术平方根是;
的平方根是 ,
的立方根是 ,-125的立方根是 .
12.
的相反数是 ,
= ;
13.
;
;
= .
=.
14. 比较大小:
;
(填“>”或“<”)
15.要使
有意义,x应满足的条件是 。
16.已知
,则
的平方根是________;
17.若
= ;
18.一个正数x的平方根是2a
3与5
a,则a=________;
19.一个圆它的面积是半径为3cm的圆的面积的25倍,则这个圆的半径为_______.
(三).用心做一做
20.(6分)将下列各数填入相应的集合内。
-7,0.32,
0,
,0.1010010001…
①有理数集合{ … }
②无理数集合{ … }
③负实数集合{ …}
21.化简(每小题5分,共20分)
①
+3
—5
②
-
)
③ |
| +|
|-|
|④
22.求下列各式中的x(10分,每小题5分)
(2)
23.比较下列各组数的大少(5分)
(1)4与
(2)
24.一个正数a的平方根是3x―4与2―x,则a是多少?
(6分)
25.已知a是根号8的整数部分,b是根号8的小数部分,求(-a)³
+(2+b)²
的值
26.求值
(1).已知a.b满足
解关于
的方程
。
(2).已知x.y都是实数,且
,求
的平方根。
27.如果A=
为
的算术平方根,B=
的立方根,求A+B的平方根。
28.实数a.b互为相反数,c.d互为倒数,X的绝对值为
求代数式
的值。
5学生问题解答
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