双勾函数的性质及应用Word格式.docx
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双勾函数的性质及应用Word格式.docx
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为常数,
)的函数称为“双勾函数”.因为函数
)在第一象限的图像如“√”,而该函数为奇函数,其图像关于原点成中心对称,故此而得名.
2.类比“二次函数”与“双勾函数”的图像
3.类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质
(1)“二次函数”的性质
①当
时,在对称轴的左侧,
随着
的增大而减小;
在对称轴的右侧,
的增大而增大;
当
时,函数
有最小值
.
②当
时,在对称轴的左侧,
在对称轴的右侧,
的增大而减小.当
时,函数
有最大值
.
(2)“双勾函数”性质的探究
时,在
左侧,
在
的右侧,
的增大而增大;
的左侧,
.
综上知,函数
和
上单调递增,在
上单调递减.
下面对“双勾函数”的性质作一证明.
证明:
定义法.设
R,且
,则
.
以下我们怎样找到增减区间的分界点呢?
首先
∴
就是一个分界点,另外我们用“相等分界法”,令
,
可得到
,因此又找到两个分界点
.这样就把
的定义域分为
四个区间,再讨论它的单调性.
设
则
∴
即
同理可得,
上单调递增;
上单调递增;
上单调递减.
故函数
上单调递增,在
性质启发:
由函数
的单调性及
在其单调区间的端点处取值的趋势,可作出函数
的图像,反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关性质.此性质是求解函数最值的强有力工具,特别是利用均值不等式而等号不成立时,更彰显其单调性的强大功能.
4.“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上的类比
(1)“二次函数”的区间最值
求
上的最大值与最小值.
分析:
将
配方,得对称轴方程
时,抛物线开口向上.
若
必在顶点取得最小值,离对称轴较远端点处取得最大值;
此时函数在
上具有单调性,故在离对称轴
较远端点处取得最大值,较近端点处取得最小值.
时,抛物线开口向下.
必在顶点取得最大值,离对称轴较远端点处取得最小值;
,此时函数在
较远端点处取得最小值,较近端点处取得最大值.
以上,作图可得结论.
时,
;
;
.
(2)“双勾函数”的区间最值
,求
时,其图像为第一象限部分.
则函数必在界点
处取得最小值,最大值需比较两个端点处的函数值;
上具有单调性,故在离直线
时,其图像为第三象限部分.
处取得最大值,最小值需比较两个端点处的函数值;
上具有单调性,故在离直线
较远端点处取得最小值,较近端点处取得最大值.
以上,作图可得结论.
时,
二、实践平台
例1某化工厂生产的某种化工产品,当年产量在
吨至
吨之间时,其生产的总成本
(万元)与年产量
(吨)之间的函数关系式近似地表示为
.问:
(1)年产量为多少吨时,每吨的平均成本最低?
并求出最低成本;
(2)每吨平均出厂价为
万元,年产量为多少吨时,可获得最大利润?
并求出最大利润.
将问题归结为“双勾函数”问题,利用“双勾函数”的性质,可使问题轻松获解.
解:
(1)由题意可知,每吨平均成本为
万元.
即
,因为函数在区间
上为减函数,在区间
上为增函数.
所以当
有最小值为
(万元),
所以当年产量为
吨时,每吨的平均成本最低,最低成本为
(2)设年获得总利润为
万元,
则
故当年产量为
吨时,可获得最大利润
万元.
评注:
本题的关键是用年产量
吨把每吨平均成本及利润表示出来,然后再求其最值,在求解最值时我们要用到“双勾函数”的单调性,记住这个结论可以简化计算过程.函数的单调性除一些理论上的应用外,它还可以灵活有效地解决现实生活中与之相关的实际问题.
例2甲、乙两地相距
km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过
km/h,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位),由可变部分和固定部分组成;
可变部分与速度
(km/h)的平方成正比,比例系数为
固定部分为
元.
(1)把全程运输成本
(元)表示为
(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域.
(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大的速度行驶.
要计算全程的运输成本
),而已知每小时的运输成本,只需计算全程的时间,由题意不难得到全程运输成本
),所要解决的问题是求
何时取最小值,显然要对
的大小进行讨论,讨论的标准也就是
与
的大小.
(1)依题意知:
汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为
因此全程运输成本为
又据题意
,故所求函数及其定义域分别为:
(2)设
上是减函数,在
上是增函数.
①若
,结合“双勾函数”的性质知,
时运输成本
最小.
②若
,函数在
上单调递减,所以当
时,全程运输成本最小.
解应用题时,首先要训练读题能力,成功地完成对数学文字语言、符号语言、图形语言的理解、接受和转换,继而对题中各元素的数量关系进行加工和提炼,分清主次,并建立数学模型解决实际问题.
例3(2006安徽高考)已知函数
在R上有定义,对任意实数
和任意实数
都有
(Ⅰ)证明
(Ⅱ)证明
其中
均为常数;
(Ⅲ)当(Ⅱ)中的
,设
讨论
内的单调性并求最值.
承接第(Ⅱ)问的结论,将问题归结为“双勾函数”的单调性与函数最值的求解问题.
证明:
(Ⅰ)令
,∵
(Ⅱ)①令
,∴
假设
R),则
,即
成立.
②令
而
成立.∴
(Ⅲ)当
,
由“双勾函数”性质知在
上为减函数,在
上为增函数,
评注:
数学高考试题注重“考基础、考能力、考思想”.所以熟悉数学化归的思想,有意识地运用数学变换的方法去灵活解决有关的数学问题,将有利于强化在解决数学问题中的应变能力,有利于提高解决数学问题的思维能力和技能、技巧.适当进行化归、转化能给人带来思维的闪光点,找到解决问题的突破口,是分析问题中思维过程的主要组成部分.本题就是转化思想应用的一个典型,通过转化将本来抽象的问题归结到“双勾函数”区间最值的求解,让我们有一种豁然开朗的感觉.
例4(2001广东高考)设计一幅宣传画,要求画面面积为
cm
画面的宽与高的比为
画面的上、下各留
cm空白,左、右各留
cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小?
如果要求
那么
为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小?
设定变元
寻找它们之间的内在联系(等量关系),选用恰当的代数式表示问题中的这种联系,建立函数模型,将问题归结为“双勾函数”区间最值问题,并运用“双勾函数”性质进行求解.
解:
设画面高为
cm,宽为
cm,则
设纸张面积为
cm
则有
代入上式得,
令
函数
上为增函数,
取最小值,
此时
,高:
cm,宽:
cm.
如果
所以函数
上为增函数,故当
取最小值,此时
函数描述了自然界中量的依存关系,是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画.要充分重视解题过程中的推理,注意运用推理来简化运算.充分利用题目给出的信息,抽象其数学特征,建立函数关系.很明显,只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中,具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维,才能构造出函数原型,达到解决问题的目的.
在高考中可以利用“双勾函数”考查均值不等式、函数的单调性、函数最值等问题,其应用相当广泛,应用效果相当明显.因此也是高考中的热点和难点,倍受命题者的青睐.但只要我们能熟知“双勾函数”的性质,便不难使此类问题获解.
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- 函数 性质 应用