关于双曲线的一类直线对数问题高考数学考点分类解析.docx
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关于双曲线的一类直线对数问题高考数学考点分类解析
关于双曲线的一类“直线对数”问题
题1(2013年高考重庆卷文科第10题)设双曲线
的中心为点
,若有且只有一对相交于点
、所成的角为
的直线
和
,使
,其中
、
和
、
分别是这对直线与双曲线
的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
解A.可不妨设双曲线
的方程是
.由题设“相交于点
、所成的角为
的直线
和
,使
,其中
、
和
、
分别是这对直线与双曲线
的交点”及双曲线的对称性可知,直线
和
关于
轴、
轴均对称,所以这一对直线只能是图1中的一对直线(
和
)(它们与
轴的夹角均是30°)或一对直线(
和
)(它们与
轴的夹角均是30°).再由双曲线与渐近线逐渐靠近及双曲线
的渐近线斜率的绝对值是
,可得(设双曲线
的离心率是
)
图1
(1)当且仅当
即
时,使
的直线是0对;
(2)当且仅当
即
时,使
的直线是1对;
(3)当且仅当
即
时,使
的直线是2对.
由此题的解法还可得到一个关于双曲线“条数”问题的一般结论:
定理若双曲线
的中心为点
(设其离心率是
),一对夹角是
的直线过点
且被双曲线
截得的线段长相等,则
(1)当
时:
当且仅当
即
时,满足题设的直线对数是1;其余的情形直线对数都是0.
(2)当
时:
①当且仅当
即
时,满足题设的直线对数是0;
②当且仅当
即
时,满足题设的直线对数是1;
③当且仅当
即
时,满足题设的直线对数是2.
文献[1]由下面的三道题也提出并解决了一些立体几何中的“条数”问题,读者可以参阅.
题2(2004年高考湖北卷理科第11题)已知平面
与
所成的锐二面角为
,
为
外一定点,过点
的一条直线与
所成的角都是
,则这样的直线有且仅有()
A.1条B.2条C.3条D.4条
题3(2009年高考重庆卷理科第9题)已知二面角
的大小为
,
为空间中任意一点,则过点
且与平面
和平面面
所所成的角都是
的直线的条数为()
A.2B.3C.4D.5
题4(2011年华约自主招生第6题)已知异面直线a,b成60°角,A为空间一点,则过A与a,b都成45°角的平面()
A.有且只有一个B.有且只有两个C.有且只有三个D.有且只有四个
解B.在问题3的答案
(1)③中选
后立得答案.
(这三道题的答案分别是D,B,B.)
参考文献
1甘志国.先解决一个问题,再解决一串问题[J].数学教学,2012(9):
35-37用排除法简解2015年高考全国卷I理科第12题
高考题(2015年高考全国卷I理科第12题)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解法1(数形结合法)D.令g(x)=ex(2x-1),得g′(x)=ex(2x+1).
由g′(x)>0得x>-
,由g′(x)<0得x<-
,所以函数g(x)在
上分别是减函数、增函数.
又函数g(x)在x<
时g(x)<0,在x>
时g(x)>0,所以其大致图象如图1所示.
图1
直线y=ax-a过点(1,0).
若a≤0,则f(x)<0的整数解有无穷多个,因此只能a>0.
结合函数图象可知,存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,即存在唯一的整数x0,使得点(x0,ax0-a)在点(x0,g(x0))的上方,得x0只能是0,所以实数a应满足
即
解得
≤a<1.
即实数a的取值范围是
.
解法2(分离常数法)D.令
后,得题设即关于t的不等式
有唯一的整数解.
若
,由a<1,可得
所以题设即关于t的不等式
即
有唯一的整数解,也即关于t的不等式
有唯一的整数解.
设
,得
,所以函数
在
上是增函数,得最大值为
.
又
,由此可作出函数
的图象如图2所示:
图2
注意到图象
过点
且
,所以由图2可得:
当
时,满足
的整数t有
,所以此时不满足题意.
当
时,满足
的整数t只有
,所以此时满足题意.
得所求a的取值范围是
.
解法3(排除法)D.当
时,不等式f(x)<0即ex(2x-1)<0也即
,它有无数个整数解,不满足题设.由此可排除选项A,B.
令g(x)=ex(2x-1),得g′(x)=ex(2x+1).
由g′(x)>0得x>-
,由g′(x)<0得x<-
,所以函数g(x)在
上分别是减函数、增函数.
又g′(0)=1,所以可得曲线
在点
处的切线为
,如图3所示.
图3
所以当a<1且
时满足题设(此时满足题设的唯一整数x0=0).由此可排除选项C.
所以选D.
注小题不大做,还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.
例谈用验证法解题
——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解
题1解方程:
(1)
;
(2)
;(3)
.
解
(1)容易观察出
均是该方程的解.
按常规方法解此方程时,先去分母得到一元二次方程,该一元二次方程最多两个解,再检验(舍去使原方程中分母为零的解),所以原方程最多有两个解.
而已经找到了原方程的两个解
,所以这两个解就是原方程的所有解.
(2)同理,可得原方程的所有解是
.
(3)容易观察出
均是该方程的解.
同上得原方程最多有两个解,而已经找到了原方程的两个解
(因为对于任意的非零实数
,
和
都是原方程的解,所以应当把
和
理解成原方程的两个解),所以这两个解就是原方程的所有解.
题2解方程
.
解设函数
,易知它是增函数,所以方程
至多有一个根(当2在函数
的值域中时有一个根,否则没有根),……所以原方程的根是
.
题3已知
,求
.
解由
及“勾三股四弦五”可以猜出该方程组有两组解:
或
该方程组即
因为关于
的一元二次方程
最多有两个解,所以该方程组也最多有两组解,……所以上面猜出的两组解就是该方程组的全部解,……
.
题4
(2007年高考陕西卷理科第22
(1)题)已知各项全不为零的数列
的前
项和为
,且
N*),其中
,求数列
的通项公式.
解由题设得
,所以当
确定时,
也唯一确定.所以由
知,数列
是唯一确定的.
可以观察出
满足题设的所有条件,所以数列
是满足题设的唯一数列,得
.
另解
因为
①
由题设得
,再由①知
是唯一确定的数列
.再同上得
.
题5
(2005年高考江苏卷第23
(1)
(2)题)设数列
的前
项和为
,已知
,且
N*),其中
为常数.
(1)求
与
的值;
(2)证明数列
为等差数列;
解
(1)
.
(2)
N*),
②
所以
是唯一确定的数列,
也是唯一确定的数列.
又由
知,若
为等差数列,则
,于是
.
容易验证
满足②,所以题中的
,
为等差数.
题6
已知数列
满足
,求
;
解首先,由首项
及递推关系
知,满足题意的数列
是唯一确定的.所以,若能找到一个数列满足该题目的所有条件,则该数列的通项公式就是所求的答案.
易得
,即
(k是常数)满足递推关系
,再由
,得
满足题目的所有条件,所以本题的答案就是
.
题7
已知数列
满足
,求
.
解易知本题的答案是是唯一确定的,所以只需寻求一个数列满足该题目的所有条件.
易得
是非零常数),即
满足递推关系
,再由
,得
满足题目的所有条件,所以本题的答案就是
.
注因为绝大部分求数列通项公式的题目答案都是唯一的,所以只要能观察或求出满足所有题设的一个通项公式,则该通项公式就是所求的唯一答案.
对于要求解的问题
,若能证明它最多有
是确定的正整数)个解,又找出了它的
个解
,则这
个解就是该问题的所有解.这就是本文要阐述的用验证法解题.下面再用这种方法解答一道高考题:
题8(2010·安徽·理·20)设数列
中的每一项都不为0.证明
为等差数列的充分必要条件是:
对任何
N*,都有
.
证明先证必要性.若数列
是公差为
的等差数列:
当
时,易得欲证成立.
当
时,有
再证充分性.只需对
用数学归纳法证明加强的结论:
若
恒成立,则
成等差数列,且
.
当
时成立:
当
时,得
,所以
成等差数列,还可证
(因为由
可得
,而由
时成立立知
.
假设
时成立:
即
成等差数列,且
.
由
时均成立及
知,当
确定时,数列
也是确定的,而由必要性的证明知,由
确定的等差数列
满足题设,所以由题设及
确定的数列就是这个等差数列,即
成等差数列,同上还可证
,即
时成立.所以要证结论成立,得充分性成立.
参考文献
1甘志国.例谈用验证法求数列通项[J].中学数学月刊,2008(3):
46
2甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨:
哈尔滨工业大学出版社,2009.416-417用排除法简解2015年高考全国卷I理科第12题
高考题(2015年高考全国卷I理科第12题)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解法1(数形结合法)D.令g(x)=ex(2x-1),得g′(x)=ex(2x+1).
由g′(x)>0得x>-
,由g′(x)<0得x<-
,所以函数g(x)在
上分别是减函数、增函数.
又函数g(x)在x<
时g(x)<0,在x>
时g(x)>0,所以其大致图象如图1所示.
图1
直线y=ax-a过点(1,0).
若a≤0,则f(x)<0的整数解有无穷多个,因此只能a>0.
结合函数图象可知,存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,即存在唯一的整数x0,使得点(x0,ax0-a)在点(x0,g(x0))的上方,得x0只能是0,所以实数a应满足
即
解得
≤a<1.
即实数a的取值范围是
.
解法2(分离常数法)D.令
后,得题设即关于t的不等式
有唯一的整数解.
若
,由a<1,可得
所以题设即关于t的不等式
即
有唯一的整数解,也即关于t的不等式
有唯一的整数解.
设
,得
,所以函数
在
上是增函数,得最大值为
.
又
,由此可作出函数
的图象如图2所示:
图2
注意到图象
过点
且
,所以由图2可得:
当
时,满足
的整数t有
,所以此时不满足题意.
当
时,满足
的整数t只有
,所以此时满足题意.
得所求a的取值范围是
.
解法3(排除法)D.当
时,不等式f(x)<0即ex(2x-1)<0也即
,它有无数个整数解,不满足题设.由此可排除选项A,B.
令g(x)=ex(2x-1),得g′(x)=ex(2x+1).
由g′(x)>0得x>-
,由g′(x)<0得x<-
,所以函数g(x)在
上分别是减函数、增函数.
又g′(0)=1,所以可得曲线
在点
处的切线为
,如图3所示.
图3
所以当a<1且
时满足题设(此时满足题设的唯一整数x0=0).由此可排除选项C.
所以选D.
注小题不大做,还是解法3(排除法)简洁.本题对
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