最新北师大版数学八下易错题含标准答案Word文件下载.docx
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①三角形是钝角三角形时,如图1,∵∠ABD=30°
∴AD=
AB=
×
6=3,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=
∠BAD=
(90°
-30°
)=30°
,
∴∠ABD=∠ABC,
∴底边上的高AE=AD=3;
②三角形是锐角三角形时,如图2,∵∠ABD=30°
∴∠A=90°
-30°
=60°
∴△ABC是等边三角形,
∴底边上的高为
6=
综上所述,底边上的高是3或
5.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形(B)的交点.
A.三个内角平分线B.三边垂直平分线 C.三条中线D.三条高
考查的知识点:
三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三个顶点的距离相等【归纳为:
点到点距离相等,为垂直平分线上的点】还有一个:
三角形三个内角平分线的交点到三角形三边的距离相等【归纳为:
点到线的距离相等,为角平分线的交点,此时的距离有“垂直”】
6.如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC的垂直平分线交AB于D,交BC于E,则△ADC的周长等于8
考查的知识点:
垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
7. 用反证法证明:
一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°
答案:
已知:
△ABC,求证:
△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
证明:
假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°
,即每一内角都大于60°
则∠A>
60°
∠B>60°
,∠C>
60°
∴∠A+∠B+∠C>
60°
+60°
+60°
=180°
即∠A+∠B+∠C>180°
这与三角形的内角和为180度矛盾.假设不成立.ﻫ ∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
考查知识:
反证法,用反证法进行证明时先写出已知、求证,再假设求证的反面成立,推出与题设、定理等相矛盾的结论,从而肯定原结论成立【注意:
反证法一般很少用到,除非是题目要求用反证法证明,否则一般不考虑该方法】
8. 如图所示,∠AOB=30°
OC平分∠AOB,P为OC上任意一点,PD∥OA交OB于点D,PE⊥OA于点E,若PE=2cm,则PD=_________cm.
过点P作PF⊥OB于F,
∵∠AOB=30°
,OC平分∠AOB,
∴∠AOC=∠BOC=15°
∵PD∥OA,
∴∠DPO=∠AOP=15°
∴∠DPO=∠AOP=15°
∴∠BOC=∠DPO,
∴PD=OD=4cm,
∵∠AOB=30°
,PD∥OA,
∴∠BDP=30°
∴在Rt△PDF中,PF=
PD=2cm,
∵OC为角平分线,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴PE=PF,∴PE=PF=2cm
9.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为( ) A.6 B.7 C.8 D.9
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,
∴∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB,
∵MN∥BC,
∴∠EBC=∠EBC,∠ECN=∠ECB,
∴BM=ME,EN=CN,
∴MN=BM+CN,
∵BM+CN=9,
∴MN=9
平行+平分,必有等腰三角形
10.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和39,则△EDF的面积为(B)A.11 B.5.5 C.7 D.3.5
作DM=DE交AC于M,作DN⊥AC,
∵在△AED和△AMD中
∴△AED≌△AMD
∴
∵DE=DG,DM=DE,
∴DM=DG,
∵AD是△ABC的外角平分线,DF⊥AB,
∴DF=DN,
在Rt△DEF和Rt△DMN中,
Rt△DEF≌Rt△DMN(HL),
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39,
=50-39=11
=
11=5.5
考查知识点:
角平分线上的点到角两边的距离相等及三角形的全等
11.在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是(A)
A.
B.
C.
D.
解:
在Rt△ABC中,AC=9,BC=12,
根据勾股定理得:
AB=
过C作CD⊥AB,交AB于点D,
则由
=
AC.BC=
AB.CD,得CD=
考查知识:
利用面积相等法
12.如图,在△ABC中AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长是(A)A.1B.2C.3 D.4
∵AD⊥BC,
∴∠EAH+∠B=90°
∵CE⊥AB,
∴∠EAH+∠AHE=90°
∴∠B=∠AHE,
∵EH=EB,
在△AEH和△CEB中,
∴△AEH≌△CEB(ASA)
∴CE=AE,
∵EH=EB=3,AE=4,
∴CH=CE-EH=4-3=1
利用三角形全等求线段长度.
13.如图,在△ABC中,AD是中线,AE是角平分线,CF⊥AE于点F,AB=5,AC=2,则DF的长为
延长CF交AB于点G,
∵AE平分∠BAC,
∴∠GAF=∠CAF,
∵AF垂直CG,
∴∠AFG=∠AFC,
在△AFG和△AFC中,
∴△AFG≌△AFC(ASA)
∴AC=AG,GF=CF,
又∵点D是BC的中点,
∴DF是△CBG的中位线,
∴DF=
BG=
(AB-AG)=
(AB-AC)=
点评:
本题考查了三角形的中位线定理,解答本题的关键是作出辅助线,一般出现既是角平分线又是高的情况,我们就需要寻找等腰三角形.
14.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,FE垂直平分AD,交AD于E,交BC的延长线于F.
求证:
∠CAF=∠B.
∠B=∠CAF.
∵FE垂直平分AD,
∴FA=FD,
∴∠FAD=∠ADF
∵AD为∠BAC的平分线,
∴∠CAD=∠BAD
又∵∠CAF=∠FAD=∠CAD,∠B=∠ADF-∠BAD,
∴∠B=∠CAF
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义及三角形的外角等知识点.
15.如图,OA、OB表示两条相交的公路,点M、N是两个工厂,现在要在∠AOB内建立一个货物中转站P,使中转站到公路OA、OB的距离相等,并且到工厂M、N的距离也相等,用尺规作出货物中转站P的位置.
①作∠AOB的角平分线;
②连接MN,作MN的垂直平分线,交OM于一点,交点就是所求货物中转站的位置.
16.如图,在△ABC中,∠C=90°
,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.
(1)求证:
△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°
,CD=1,求BD的长.
(1)证明:
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠EAD
∵DE⊥AB,∠C=90°
∴∠ACD=∠AED=90°
又∵AD=AD,
∴△ACD≌△AED
(2)解:
∵△ACD≌△AED
∴DE=CD=1
∵∠B=30°
,∠DEB=90°
∴BD=2DE=2
17.如图,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°
,AD与BE交于点F,连接CF.
(1)求证:
BF=2AE;
(2)若CD=
求AD的长.
(1)证明:
∵AD⊥BC,∠BAD=45°
∴∠ABD=∠45°
=∠BAD
∴AD=BD
∵BE⊥AC
∴∠CAD+∠AFE=90°
∵AD⊥BC
∴∠FBD=∠BFD=90°
又∠AFE=∠BFD
∴∠CAD=∠FBD
又∠ADC=∠BDF=90°
∴△ADC≌△BDF
∴AC=BF
∵AB=BC,BE⊥AC
∴AC=2AE
∴BF=2AE
设AD=x,则BD=x
∴AB=BC=
+x
∵△ABD是等腰直角三角形
∴AB=
AD
+x=
x
解得x=2+
即AD=2+
18.如图,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在BA、BC的延长线上,且AD=BE.
求证:
DC=DE
延长BE至F,使EF=BC
∵△ABC是等边三角形
∴∠B=60°
AB=BC
∴AB=BC=EF
∵AD=BE,BD=AB+AD,BF=BE+EF
∴BD=BF
∴△BDF是等边三角形
∴∠F=60°
,BD=FD
在△BCD和△FED中,
BC=EF
∠B=∠F=60°
BD=FD
∴△BCD≌△FED(SAS)
∴DC=DE
19.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°
,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于E,且AE=
BD,求证:
BD是∠ABC的角平分线.
证明:
延长AE、BC交于点F
∵AE⊥BE
∴∠BEF=90°
,又∠ACF=∠ACB=90°
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°
∴∠DBC=∠FAC
在△ACF和△BCD中
∴△ACF≌△BCD(ASA)
∴AF=BD
又AE=
BD
∴AE=EF,即点E是AF的中点
∴AB=BF
∴BD是∠ABC的角平分线
20.如图,在△ABC中,分别以AC、AB为边,向外作正△ACD,正△ABE,BD与AE相交于F,连接AF,求证:
AF平分∠DME
过点A分别作AM⊥BD,AN⊥CE,分别交BD,CE于M,N两点
∵△ABE和△ACD均为等边三角形,
∴∠EAB=∠CAD=60°
AD=AC,AB=AEﻫ∵∠EAC=∠BAD=60°
+∠BAC,ﻫ∴△EAC≌△BAD,ﻫ∴
CE=BD
∴AN=AM
∴AF平分∠DME(在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上)
21.如图,已知:
AB=AC,∠A=90°
AF=BE,BD=DC.求证:
FD⊥ED.
连接AD.
∵∠A=90°
AB=AC D是BC的中点
∴AD⊥BC∠ADB=90°
∠B=45°
=∠CADAD=BD(直角三角形中,中线等于斜边的一半)且BE=AFﻫ∴易证△BED≌△AFD (SAS)
∴∠BDE=∠ADF∵∠ADE+∠EDB=∠ADB=90°
ﻫ∴∠ADF+∠ADE=90°
∴ED⊥FD
第二章 不等式(组)
不等式基本性质
例:
如果x>
y,那么下列各式中正确的是(C)
A.x-2<y-2B.
<
C.-2x<
-2y D.-x>-y
1.系数含有字母的不等式(组)
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