96双曲线Word文档格式.docx
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对称性
对称轴:
坐标轴 对称中心:
原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
y=±
x
离心率
e=
,e∈(1,+∞),其中c=
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a,线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;
a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a,b,c的关系
c2=a2+b2(c>
a>
b>
知识拓展
巧设双曲线方程
(1)与双曲线
0)有共同渐近线的方程可表示为
=t(t≠0).
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为
+
=1(mn<
0).
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ×
)
(2)方程
=1(mn>
0)表示焦点在x轴上的双曲线.( ×
(3)双曲线方程
=λ(m>
0,n>
0,λ≠0)的渐近线方程是
=0,即
±
=0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于
.( √ )
(5)若双曲线
0)与
0)的离心率分别是e1,e2,则
=1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )
题组二 教材改编
2.[P61T1]若双曲线
0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( )
A.
B.5
C.
D.2
答案 A
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长,双曲线的渐近线方程为
=0,即bx±
ay=0,
∴2a=
=b.又a2+b2=c2,∴5a2=c2.
∴e2=
=5,∴e=
.
3.[P62A组T6]经过点A(3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.
答案
=1
解析 设双曲线的方程为
=±
1(a>
0),
把点A(3,-1)代入,得a2=8(舍负),
故所求方程为
=1.
题组三 易错自纠
4.(2016·
全国Ⅰ)已知方程
=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A.(-1,3)B.(-1,
)
C.(0,3)D.(0,
解析 ∵方程
=1表示双曲线,
∴(m2+n)·
(3m2-n)>
0,解得-m2<
n<
3m2,
由双曲线性质,知c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2(其中c是半焦距),∴焦距2c=2×
2|m|=4,解得|m|=1,
∴-1<
3,故选A.
5.若双曲线
0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )
B.
C.
D.
答案 D
解析 由条件知y=-
x过点(3,-4),∴
=4,
即3b=4a,∴9b2=16a2,∴9c2-9a2=16a2,
∴25a2=9c2,∴e=
.故选D.
6.已知双曲线过点(4,
),且渐近线方程为y=±
x,则该双曲线的标准方程为_______.
-y2=1
解析 由双曲线的渐近线方程为y=±
x,可设该双曲线的标准方程为
-y2=λ(λ≠0),已知该双曲线过点(4,
),所以
-(
)2=λ,即λ=1,故所求双曲线的标准方程为
-y2=1.
题型一 双曲线的定义及标准方程
命题点1 利用定义求轨迹方程
典例(2018·
大连调研)已知圆C1:
(x+3)2+y2=1和圆C2:
(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为____________________.
答案 x2-
=1(x≤-1)
解析 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件,
得|MC1|-|AC1|=|MA|,
|MC2|-|BC2|=|MB|,
因为|MA|=|MB|,
所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,
即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,
所以点M到两定点C2,C1的距离的差是常数且小于|C1C2|=6.
又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),
其中a=1,c=3,则b2=8.
故点M的轨迹方程为x2-
=1(x≤-1).
命题点2 利用待定系数法求双曲线方程
典例根据下列条件,求双曲线的标准方程:
(1)虚轴长为12,离心率为
;
(2)焦距为26,且经过点M(0,12);
(3)经过两点P(-3,2
)和Q(-6
,-7).
解
(1)设双曲线的标准方程为
=1或
由题意知,2b=12,e=
=
,
∴b=6,c=10,a=8.
∴双曲线的标准方程为
(2)∵双曲线经过点M(0,12),∴M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a=12.
又2c=26,∴c=13,∴b2=c2-a2=25.
(3)设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>
∴
解得
命题点3 利用定义解决焦点三角形问题
典例已知F1,F2为双曲线C:
x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=________.
解析 ∵由双曲线的定义有
|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2
∴|PF1|=2|PF2|=4
则cos∠F1PF2=
引申探究
1.本例中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=60°
”,则△F1PF2的面积是多少?
解 不妨设点P在双曲线的右支上,
则|PF1|-|PF2|=2a=2
在△F1PF2中,由余弦定理,得
cos∠F1PF2=
∴|PF1|·
|PF2|=8,
|PF1|·
|PF2|·
sin60°
=2
2.本例中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“
·
=0”,则△F1PF2的面积是多少?
∵
=0,∴
⊥
∴在△F1PF2中,有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
即|PF1|2+|PF2|2=16,
|PF2|=4,
|PF2|=2.
思维升华
(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程.
(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1-PF2|=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·
|PF2|的联系.
(3)利用待定系数法求双曲线方程要先定形,再定量,如果已知双曲线的渐近线方程,可设有公共渐近线的双曲线方程为
=λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可.
跟踪训练
(1)(2018·
沈阳调研)设椭圆C1的离心率为
,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为_________.
解析 由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),设曲线C2上的一点P,则||PF1|-|PF2||=8.
由双曲线的定义知,a=4,b=3.
故曲线C2的标准方程为
即
(2)(2016·
天津)已知双曲线
=1(b>
0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( )
=1B.
=1D.
解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y=±
x,圆的方程为x2+y2=4,
联立
或
即第一象限的交点为
由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形,其相邻两边长为
,故
=2b,得b2=12.
故双曲线的方程为
=1.故选D.
题型二 双曲线的几何性质
典例
(1)已知F1,F2是双曲线C:
0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小内角的大小为30°
,则双曲线C的渐近线方程是( )
A.
x±
y=0B.x±
y=0
C.x±
2y=0D.2x±
解析 由题意,不妨设|PF1|>
|PF2|,则根据双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a.在△PF1F2中,|F1F2|=2c,而c>
a,所以有|PF2|<
|F1F2|,所以∠PF1F2=30°
所以(2a)2=(2c)2+(4a)2-2·
2c·
4acos30°
,得c=
a,所以b=
a.所以双曲线的渐近线方程为y=±
x=±
x,即
y=0.
山东)已知双曲线E:
=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是______.
答案 2
解析 由已知得|AB|=
,|BC|=2c,
∴2×
=3×
2c.
又∵b2=c2-a2,整理得2c2-3ac-2a2=0,两边同除以a2,得2
2-3
-2=0,即2e2-3e-2=0,解得e=2.
思维升华双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线
0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=±
满足关系式e2=1+k2.
跟踪训练(2016·
全国Ⅱ)已知F1,F2是双曲线E:
=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=
,则E的离心率为( )
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- 96 双曲线