全国初中数学竞赛九年级预赛试题及答案1.docx
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全国初中数学竞赛九年级预赛试题及答案1
2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题
一.选择题(共6小题,满分30分,每小题5分)
1.(5分)从长度是2cm、2cm、4cm、4cm的四条线段中任意选三条线段,这三条线段能够组成等腰三角形的概率是( )
A.
B.
C.
D.
1
2.(5分)(2008•铜仁地区)如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,且BN⊥AN,垂足为N,且AB=6,BC=10,MN=1.5,则△ABC的周长是( )
A.
28
B.
32
C.
18
D.
25
3.(5分)已知xy≠1,且有5x2+2011x+9=0,9y2+2011y+5=0,则
的值等于()
A.
B.
C.
D.
4.(5分)已知直角三角形的一直角边长是4,以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示),已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10,那么以下四个整数中,最接近图中两个弓形(带点的阴影图形)面积之和的是( )
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
5.(5分)设a,b,c是△ABC的三边长,二次函数
在x=1时取最小值
,则△ABC是( )
A.
等腰三角形
B.
锐角三角形
C.
钝角三角形
D.
直角三角形
6.(5分)计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则.如图,堆栈
(1)的2个连续存储单元已依次存入数据b,a,取出数据的顺序是a,b;堆栈
(2)的3个连续存储单元已依次存人数据e,d,c,取出数据的顺序则是c,d,e,现在要从这两个堆栈中取出这5个数据(每次取出1个数据),则不同顺序的取法的种数有( )
A.
5种
B.
6种
C.
10种
D.
12种
二.填空题(共6小题,满分30分,每小题5分)
7.(5分)设方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0,则满足该方程的所有根之和为 _________ .
8.(5分)(人教版考生做)如图,在平行四边形ABCD中,过A、B、C三点的圆交AD于E,且与CD相切.若AB=4,BE=5,则DE的长为 _________ .
8.(5分)(北师大版考生做)如图B,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的点,AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,则
的值为 _________ .
9.(5分)已知a2﹣a﹣1=0,且
,则x= _________ .
10.(5分)甲乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相等,且每件商品的单价只有8元和9元,若两人购买商品一共花费了172元,则其中单价为9元的商品有 _________ 件.
11.(5分)如图,电线杆AB直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上,若CD与地面成45°,∠A=60°,CD=4m,
,则电线杆AB的长为 _________ 米.
12.(5分)若实数x,y,使得
这四个数中的三个相同的数值,则所有具有这样性质的数对(x,y)为 _________ .
三.解答题(共4小题,满分80分,每小题20分)
13.(20分)已知:
(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.
求证:
a=b=c
14.(20分)(2010•钦州)如图,将OA=6,AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP.
(1)点B的坐标为 _________ ;用含t的式子表示点P的坐标为 _________ ;
(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0<t<6);并求t为何值时,S有最大值?
(3)试探究:
当S有最大值时,在y轴上是否存在点T,使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分,且三角形的面积是△ONC面积的
?
若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
15.(20分)对于给定的抛物线y=x2+ax+b,使实数p、q适合于ap=2(b+q)
(1)证明:
抛物线y=x2+px+q通过定点;
(2)证明:
下列两个二次方程,x2+ax+b=0与x2+px+q=0中至少有一个方程有实数解.
2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题
参考答案与试题解析
一.选择题(共8小题,满分160分,每小题20分)
1.(5分)从长度是2cm、2cm、4cm、4cm的四条线段中任意选三条线段,这三条线段能够组成等腰三角形的概率是( )
A.
B.
C.
D.
1
考点:
概率公式;三角形三边关系;等腰三角形的判定.732662
分析:
根据随机事件概率大小的求法,找准两点:
①符合条件的情况数目;
②全部情况的总数.
二者的比值就是其发生的概率的大小.
解答:
解:
从长度是2cm、2cm、4cm、4cm的四条线段中任意选三条线段,有4种情况,由于三角形中两边之和应大于第三边,所以能构成等腰三角形的情况有2种,故能构成等腰三角形的概率=
=
.
故选C.
点评:
此题考查概率的求法:
如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=
;用到的知识点为:
等腰三角形有2条边长相等;构成三角形的基本要求为两小边之和大于第三边.
2.(5分)(2008•铜仁地区)如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,且BN⊥AN,垂足为N,且AB=6,BC=10,MN=1.5,则△ABC的周长是( )
A.
28
B.
32
C.
18
D.
25
考点:
三角形中位线定理.732662
分析:
延长线段BN交AC于E,从而构造出全等三角形,(△ABN≌△AEN),进而证明MN是中位线,从而求出CE的长.
解答:
解:
延长线段BN交AC于E.
∵AN平分∠BAC,
∴∠BAN=∠EAN,AN=AN,∠ANB=∠ANE=90°,
∴△ABN≌△AEN,
∴AE=AB=6,BN=NE,
又∵M是△ABC的边BC的中点,
∴CE=2MN=2×1.5=3,
∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25,
故选D.
点评:
本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定.解决本题的关键是作出辅助线,利用全等三角形来得出线段相等,进而应用中位线定理解决问题.
3.(5分)已知xy≠1,且有5x2+2011x+9=0,9y2+2011y+5=0,则
的值等于()
A.
B.
C.
D.
选B
4.(5分)已知直角三角形的一直角边长是4,以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示),已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10,那么以下四个整数中,最接近图中两个弓形(带点的阴影图形)面积之和的是( )
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
考点:
扇形面积的计算;三角形的面积;勾股定理.732662
专题:
计算题.
分析:
如图,AC=4,S1+S2=10,设BC=a,利用圆的面积公式得到S1+S2+S3+S4=
π×22+
π×
a2=2π+
a2,于是有S3+S4=2π+
a2﹣10①,再用以AB为直径的半圆减去三角形ABC的面积得到S3+S4,即S3+S4=
π×
﹣
×4a=
a2+2π﹣2a②,有①﹣②得到a的方程,求出a,然后代入①即可得到两个弓形(带点的阴影图形)面积之和.
解答:
解:
如图,
AC=4,S1+S2=10,设BC=a,
∴S1+S2+S3+S4=
π×22+
π×
a2=2π+
a2,
∴S3+S4=2π+
a2﹣10①,
又∵AB2=42+a2=16+a2,
∴S3+S4=
π×
﹣
×4a=
a2+2π﹣2a②,
①﹣②得,2π+
a2﹣10=
a2+2π﹣2a,解得a=5,
∴S3+S4=2π+
a2﹣10=2π+
×25﹣10≈6.1,
即最接近图中两个弓形(带点的阴影图形)面积之和的是6.
故选A.
点评:
本题考查了圆的面积公式:
S=πR2.也考查了不规则图形的面积的求法,即转化为规则的几何图形的面积的和或差来解决.
5.(5分)设a,b,c是△ABC的三边长,二次函数
在x=1时取最小值
,则△ABC是( )
A.
等腰三角形
B.
锐角三角形
C.
钝角三角形
D.
直角三角形
考点:
二次函数的最值;勾股定理的逆定理.732662
专题:
计算题.
分析:
根据二次函数在对称轴时取得最小值,然后根据题意列出方程组即可求出答案;
解答:
解:
由题意可得
,
即
,
所以
,
,因此a2+c2=b2,
所以△ABC是直角三角形,
故选D.
点评:
本题考查了二次函数的最值,难度不大,关键是掌握二次函数在二次项系数大于0时,在对称轴处取得最小值.
6.(5分)计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则.如图,堆栈
(1)的2个连续存储单元已依次存入数据b,a,取出数据的顺序是a,b;堆栈
(2)的3个连续存储单元已依次存人数据e,d,c,取出数据的顺序则是c,d,e,现在要从这两个堆栈中取出这5个数据(每次取出1个数据),则不同顺序的取法的种数有( )
A.
5种
B.
6种
C.
10种
D.
12种
考点:
加法原理与乘法原理.732662
专题:
计算题.
分析:
此题实际可以理解为a、b、c、d、e这五个字母组成的排列中,不论怎样排列,a、b先后顺序和c、d、e排列的顺序不变,这样排列开头的字母只能是a或c,由此解答问题即可.
解答:
解:
先取出堆栈
(1)的数据首次取出的只能是a,可以有下列情况,
abcde,acbde,acdbe,acdeb四种情况;
先取出堆栈
(2)的数据首次取出的只能是c,可以有下列情况,
cdeab,cdabe,cdaeb,cabde,cadbe,cadeb六种情况;
综上所知,共10种取法.
故选C.
点评:
解决此题的关键是要搞清a、b先后顺序和c、d、e排列的顺序不变,从而运用一一列举的方法解答即可.
2.填空题(共3小题,满分15分,每小题5分)
7.(5分)设方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0,则满足该方程的所有根之和为 _________ .
考点:
解一元二次方程-因式分解法;绝对值;解一元二次方程-公式法.732662
专题:
因式分解.
分析:
因为题目中带有绝对值符号,所以必须分两种情况进行讨论,去掉绝对值符号,
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- 全国 初中 数学 竞赛 九年级 预赛 试题 答案